1. 如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的“勾股点”.当这个点是直角顶点时，这个点又称为“强勾股点”.
如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$A$是$B,C$两点的“勾股点”，$B$是$A,C$两点的“勾股点”，$C$是$A,B$两点的“勾股点”，也是“强勾股点”.
（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，$A,B$两点均在格点上，线段$CD$上的8个格点中，是$A,B$两点的“勾股点”的有
（2）如图③，在$△ ABC$中，$CD⊥ AB$，垂足为$D$.若$AD＝1$，$BD＝4$，$CD＝2$，求证:$C$是$A,B$两点的“强勾股点”；
（3）如图④，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$AC＝6$，$BC＝4$，$D$是$AC$的中点，$P$是射线$BD$上一个动点，当$P$是$\mathrm{Rt}△ ABC$其中两个顶点的“强勾股点”时，直接写出$BP$的长.
如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$A$是$B,C$两点的“勾股点”，$B$是$A,C$两点的“勾股点”，$C$是$A,B$两点的“勾股点”，也是“强勾股点”.
（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，$A,B$两点均在格点上，线段$CD$上的8个格点中，是$A,B$两点的“勾股点”的有
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个；（2）如图③，在$△ ABC$中，$CD⊥ AB$，垂足为$D$.若$AD＝1$，$BD＝4$，$CD＝2$，求证:$C$是$A,B$两点的“强勾股点”；
（3）如图④，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$AC＝6$，$BC＝4$，$D$是$AC$的中点，$P$是射线$BD$上一个动点，当$P$是$\mathrm{Rt}△ ABC$其中两个顶点的“强勾股点”时，直接写出$BP$的长.
答案：
(1) 4 解析:如图①,G,H,T,R 四点分别与 A,B 两点能构成直角三角形,所以图中是 A,B 两点的“勾股点”的有 4 个.
(2) 因为 CD⊥AB,所以∠CDA=∠CDB=90°. 又 AD=1,BD=4,CD=2,所以$AC^2=AD^2+CD^2=5$,$BC^2=BD^2+CD^2=20$,AB=AD+BD=5,即$AB^2=25$. 所以$AC^2+BC^2=AB^2$. 所以△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°. 所以 C 是 A,B 两点的“强勾股点”.
(3) BP 的长为 2 或$\frac{16}{5}$或$\frac{34}{5}$或 8. 解析:若 P 是 A,C 两个顶点的“强勾股点”,且点 P 在△ABC 的内部,则∠APC=90°,如图②. 因为 D 为 AC 的中点,AC=6,所以$PD=CD=\frac{1}{2}AC=3$. 因为 BC=4,所以$BD^2=BC^2+CD^2=25$,即 BD=5. 所以 BP=BD-PD=2;若 P 是 B,C 两个顶点的“强勾股点”,则∠BPC=90°,如图③. 因为$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}BD·CP$,所以$CP=\frac{BC·CD}{BD}=\frac{12}{5}$. 所以$BP^2=BC^2-CP^2=\frac{256}{25}$,即$BP=\frac{16}{5}$;
若 P 是 A,B 两个顶点的“强勾股点”,则∠APB=90°,如图④. 因为 BC=4,AC=6,所以$AB^2=BC^2+AC^2=52$. 设 DP=x,则 BP=5+x. 又$AP^2=AD^2-DP^2=AB^2-BP^2$,所以$3^2-x^2=52-(5+x)^2$,解得$x=\frac{9}{5}$. 则$DP=\frac{9}{5}$. 所以$BP=BD+DP=\frac{34}{5}$;若 P 是 A,C 两个顶点的“强勾股点”,且点 P 在△ABC 的外部,则∠APC=90°,如图⑤. 因为 D 为 AC 的中点,所以 DP=AD=CD=3. 所以 BP=BD+DP=8. 综上,BP 的长为 2 或$\frac{16}{5}$或$\frac{34}{5}$或 8.
(1) 4 解析:如图①,G,H,T,R 四点分别与 A,B 两点能构成直角三角形,所以图中是 A,B 两点的“勾股点”的有 4 个.
(2) 因为 CD⊥AB,所以∠CDA=∠CDB=90°. 又 AD=1,BD=4,CD=2,所以$AC^2=AD^2+CD^2=5$,$BC^2=BD^2+CD^2=20$,AB=AD+BD=5,即$AB^2=25$. 所以$AC^2+BC^2=AB^2$. 所以△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°. 所以 C 是 A,B 两点的“强勾股点”.
(3) BP 的长为 2 或$\frac{16}{5}$或$\frac{34}{5}$或 8. 解析:若 P 是 A,C 两个顶点的“强勾股点”,且点 P 在△ABC 的内部,则∠APC=90°,如图②. 因为 D 为 AC 的中点,AC=6,所以$PD=CD=\frac{1}{2}AC=3$. 因为 BC=4,所以$BD^2=BC^2+CD^2=25$,即 BD=5. 所以 BP=BD-PD=2;若 P 是 B,C 两个顶点的“强勾股点”,则∠BPC=90°,如图③. 因为$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}BD·CP$,所以$CP=\frac{BC·CD}{BD}=\frac{12}{5}$. 所以$BP^2=BC^2-CP^2=\frac{256}{25}$,即$BP=\frac{16}{5}$;
若 P 是 A,B 两个顶点的“强勾股点”,则∠APB=90°,如图④. 因为 BC=4,AC=6,所以$AB^2=BC^2+AC^2=52$. 设 DP=x,则 BP=5+x. 又$AP^2=AD^2-DP^2=AB^2-BP^2$,所以$3^2-x^2=52-(5+x)^2$,解得$x=\frac{9}{5}$. 则$DP=\frac{9}{5}$. 所以$BP=BD+DP=\frac{34}{5}$;若 P 是 A,C 两个顶点的“强勾股点”,且点 P 在△ABC 的外部,则∠APC=90°,如图⑤. 因为 D 为 AC 的中点,所以 DP=AD=CD=3. 所以 BP=BD+DP=8. 综上,BP 的长为 2 或$\frac{16}{5}$或$\frac{34}{5}$或 8.