典例②【实践演练】
（1）如图①，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形.
① 拼成的大正方形的面积为，小正方形的对角线长为，
② 如图②，把图①中一个小正方形放置到数轴上，以表示1的点为圆心，小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则A，B两点表示的数分别为，；
【知识迁移】
（2）小张同学把长为5、宽为1的长方形按图③所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形.
① 大正方形的边长为；
② 请在图④的数轴中画出表示$\sqrt{5}$的点（保留作图痕迹）.
【母题分析▶（1）① 因为拼接前后面积相等，所以大正方形的面积即为两小正方形面积之和；② 由①，得到小正方形的对角线长，即可得到A，B两点分别表示的数.（2）① 运用面积相等计算大正方形的边长；② 仿照（1）②即可.】
【答案】（1）① 2 $\sqrt{2}$ ② $1-\sqrt{2}$ $1+\sqrt{2}$
（2）① $\sqrt{5}$ 解析：由题意，得大正方形的面积为$5×1=5$，即大正方形的边长为$\sqrt{5}$.
② 如图，点P即为所求.
（1）如图①，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形.
① 拼成的大正方形的面积为，小正方形的对角线长为，
② 如图②，把图①中一个小正方形放置到数轴上，以表示1的点为圆心，小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则A，B两点表示的数分别为，；
【知识迁移】
（2）小张同学把长为5、宽为1的长方形按图③所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形.
① 大正方形的边长为；
② 请在图④的数轴中画出表示$\sqrt{5}$的点（保留作图痕迹）.
【母题分析▶（1）① 因为拼接前后面积相等，所以大正方形的面积即为两小正方形面积之和；② 由①，得到小正方形的对角线长，即可得到A，B两点分别表示的数.（2）① 运用面积相等计算大正方形的边长；② 仿照（1）②即可.】
【答案】（1）① 2 $\sqrt{2}$ ② $1-\sqrt{2}$ $1+\sqrt{2}$
（2）① $\sqrt{5}$ 解析：由题意，得大正方形的面积为$5×1=5$，即大正方形的边长为$\sqrt{5}$.
② 如图，点P即为所求.
答案：解：
（1）① 拼接前后面积相等，大正方形的面积等于两个边长为1的小正方形的面积和，即$1^2+1^2=2$。
设小正方形的对角线长为$x$，由勾股定理得$x^2=1^2+1^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$，即小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$。
② 以数轴上表示1的点为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧：
点A在表示1的点左侧，到该点的距离为$\sqrt{2}$，因此A表示的数为$1-\sqrt{2}$；
点B在表示1的点右侧，到该点的距离为$\sqrt{2}$，因此B表示的数为$1+\sqrt{2}$。
（2）① 拼接前后面积相等，大正方形的面积等于长为5、宽为1的长方形的面积，即$5×1=5$。
设大正方形的边长为$a$，则$a^2=5$，解得$a=\sqrt{5}$，即大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
② 在数轴上以原点为一个顶点，作邻边长分别为2和1的长方形，由勾股定理得该长方形的对角线长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；以原点为圆心，这条对角线的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{5}$的点P，保留作图痕迹即可。
（1）① 拼接前后面积相等，大正方形的面积等于两个边长为1的小正方形的面积和，即$1^2+1^2=2$。
设小正方形的对角线长为$x$，由勾股定理得$x^2=1^2+1^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$，即小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$。
② 以数轴上表示1的点为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧：
点A在表示1的点左侧，到该点的距离为$\sqrt{2}$，因此A表示的数为$1-\sqrt{2}$；
点B在表示1的点右侧，到该点的距离为$\sqrt{2}$，因此B表示的数为$1+\sqrt{2}$。
（2）① 拼接前后面积相等，大正方形的面积等于长为5、宽为1的长方形的面积，即$5×1=5$。
设大正方形的边长为$a$，则$a^2=5$，解得$a=\sqrt{5}$，即大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
② 在数轴上以原点为一个顶点，作邻边长分别为2和1的长方形，由勾股定理得该长方形的对角线长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；以原点为圆心，这条对角线的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{5}$的点P，保留作图痕迹即可。
2. 如图，在$6×6$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且A，B，C，D四点都在格点上.
问题:比较$\sqrt{5}+2$与$\sqrt{17}$的大小.
如图①，在网格中构造$△ ABC$，可比较$\sqrt{5}+2$与$\sqrt{17}$的大小.理由如下:在$△ ABC$中，$AB+BC＞AC$.由勾股定理，得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.因为$BC=2$，所以$\sqrt{5}+2＞\sqrt{17}$.
(1)应用:请参考上述方法，在图②中构造图形，比较$\sqrt{2}+\sqrt{8}$与$\sqrt{10}$的大小，并说明理由；
(2)延伸:请在图③中构造图形，求$∠ DAB+∠ CAB$的度数.
问题:比较$\sqrt{5}+2$与$\sqrt{17}$的大小.
如图①，在网格中构造$△ ABC$，可比较$\sqrt{5}+2$与$\sqrt{17}$的大小.理由如下:在$△ ABC$中，$AB+BC＞AC$.由勾股定理，得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.因为$BC=2$，所以$\sqrt{5}+2＞\sqrt{17}$.
(1)应用:请参考上述方法，在图②中构造图形，比较$\sqrt{2}+\sqrt{8}$与$\sqrt{10}$的大小，并说明理由；
(2)延伸:请在图③中构造图形，求$∠ DAB+∠ CAB$的度数.
答案：
(1) 如图①,在网格中构造△ABC,则$\sqrt{2}+\sqrt{8}＞\sqrt{10}$. 理由如下:在△ABC 中,AB+BC＞AC. 由勾股定理,得$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$,$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,所以$\sqrt{2}+\sqrt{8}＞\sqrt{10}$.
(2) 如图②,取格点 E,连接 AE,DE. 因为 BC=BE=1,AB⊥CE,所以∠ABC=∠ABE=90°. 又 AB=AB,所以△ABC≌△ABE(SAS). 所以∠EAB=∠CAB. 由勾股定理,得$AD=DE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$AE=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$,所以$AD^2+DE^2=AE^2$. 所以△ADE 是等腰直角三角形,且∠ADE=90°. 所以∠DAE=45°,即∠DAB+∠CAB=∠DAB+∠EAB=45°.
(1) 如图①,在网格中构造△ABC,则$\sqrt{2}+\sqrt{8}＞\sqrt{10}$. 理由如下:在△ABC 中,AB+BC＞AC. 由勾股定理,得$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$,$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,所以$\sqrt{2}+\sqrt{8}＞\sqrt{10}$.
(2) 如图②,取格点 E,连接 AE,DE. 因为 BC=BE=1,AB⊥CE,所以∠ABC=∠ABE=90°. 又 AB=AB,所以△ABC≌△ABE(SAS). 所以∠EAB=∠CAB. 由勾股定理,得$AD=DE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$AE=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$,所以$AD^2+DE^2=AE^2$. 所以△ADE 是等腰直角三角形,且∠ADE=90°. 所以∠DAE=45°,即∠DAB+∠CAB=∠DAB+∠EAB=45°.