典例4 新素养 推理能力 如图，$BA⊥AD$，$CD⊥AD$，垂足分别为$A$，$D$，$BE$，$CE$分别平分$∠ABC$，$∠BCD$，交点$E$恰好在$AD$上.求证：$BC=AB+CD$.
【思路点拨】延长$CD$至点$G$，使$CG=CB$，连接$EG$，把证$BC=AB+CD$转化成证$DG=AB$，即证$△ BCE≌△ GCE$和$△ DGE≌△ ABE$.
【答案】如图，延长$CD$至点$G$，使$CG=CB$，连接$EG$.因为$CE$平分$∠BCD$，$BE$平分$∠ABC$，所以$∠BCE=∠GCE$，$∠ABE=∠CBE$.又$CE=CE$，所以$△ BCE≌△ GCE$（SAS）.所以$BE=GE$，$∠CBE=∠G$，即$∠G=∠ABE$.又$AB⊥AD$，$CD⊥AD$，所以$∠A=∠GDE=90°$.所以$△ DGE≌△ ABE$（AAS）.所以$DG=AB$.又$CG=CD+DG$，所以$CG=CD+AB$，即$BC=AB+CD$.
名师大招▶说明一条线段等于两条线段的和或差常常用“截长补短”法.“截长”是指在长线段上截取一段，使之等于一条短线段，然后说明剩下的线段等于另一条短线段；“补短”是指延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，然后说明延长后的线段等于长线段或延长短线段，使它与延长部分的和等于长线段，然后说明延长部分等于另一条短线段.
【思路点拨】延长$CD$至点$G$，使$CG=CB$，连接$EG$，把证$BC=AB+CD$转化成证$DG=AB$，即证$△ BCE≌△ GCE$和$△ DGE≌△ ABE$.
【答案】如图，延长$CD$至点$G$，使$CG=CB$，连接$EG$.因为$CE$平分$∠BCD$，$BE$平分$∠ABC$，所以$∠BCE=∠GCE$，$∠ABE=∠CBE$.又$CE=CE$，所以$△ BCE≌△ GCE$（SAS）.所以$BE=GE$，$∠CBE=∠G$，即$∠G=∠ABE$.又$AB⊥AD$，$CD⊥AD$，所以$∠A=∠GDE=90°$.所以$△ DGE≌△ ABE$（AAS）.所以$DG=AB$.又$CG=CD+DG$，所以$CG=CD+AB$，即$BC=AB+CD$.
名师大招▶说明一条线段等于两条线段的和或差常常用“截长补短”法.“截长”是指在长线段上截取一段，使之等于一条短线段，然后说明剩下的线段等于另一条短线段；“补短”是指延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，然后说明延长后的线段等于长线段或延长短线段，使它与延长部分的和等于长线段，然后说明延长部分等于另一条短线段.
答案：证明：
延长CD至点G，使$CG=CB$，连接$EG$。
∵ $CE$平分$∠ BCD$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BCE=∠ GCE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
又∵ $CE=CE$，$CG=CB$，
∴ $△ BCE ≌ △ GCE$（SAS）。
∴ $BE=GE$，$∠ CBE=∠ G$，
∴ $∠ G=∠ ABE$。
∵ $BA ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，
∴ $∠ A=∠ GDE=90°$。
在$△ DGE$和$△ ABE$中，
$\begin{cases}∠ GDE=∠ A \\∠ G=∠ ABE \\GE=BE\end{cases}$
∴ $△ DGE ≌ △ ABE$（AAS）。
∴ $DG=AB$。
∵ $CG=CD+DG$，
∴ $CG=CD+AB$，
又∵ $CG=CB$，
∴ $BC=AB+CD$。
延长CD至点G，使$CG=CB$，连接$EG$。
∵ $CE$平分$∠ BCD$，$BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BCE=∠ GCE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
又∵ $CE=CE$，$CG=CB$，
∴ $△ BCE ≌ △ GCE$（SAS）。
∴ $BE=GE$，$∠ CBE=∠ G$，
∴ $∠ G=∠ ABE$。
∵ $BA ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，
∴ $∠ A=∠ GDE=90°$。
在$△ DGE$和$△ ABE$中，
$\begin{cases}∠ GDE=∠ A \\∠ G=∠ ABE \\GE=BE\end{cases}$
∴ $△ DGE ≌ △ ABE$（AAS）。
∴ $DG=AB$。
∵ $CG=CD+DG$，
∴ $CG=CD+AB$，
又∵ $CG=CB$，
∴ $BC=AB+CD$。
6. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BD⊥CD且CD=BD.过点C作CE⊥AB于点E,与BD交于点F,连接AF,则AB、AF与CF之间的数量关系是
$CF=AB+AF$
.答案：6. $CF=AB+AF$ 解析:在线段CF上截取CH=BA,连接DH. 因为BD⊥CD,AB⊥CE,所以∠BEF=∠BDC=90°. 所以∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°. 又∠EFB=∠DFC,所以∠EBF=∠DCF. 又BD=CD,所以△ABD≌△HCD(SAS),∠DBC=∠DCB=$\frac{1}{2}(180°−∠BDC)=45°$. 所以AD=HD,∠ADF=∠HDC. 又AD//BC,所以∠ADF=∠DBC=45°,即∠HDC=45°. 所以∠HDF=∠BDC−∠HDC=45°,即∠ADF=∠HDF. 又DF=DF,所以△ADF≌△HDF(SAS). 所以AF=HF. 所以CF=CH+HF=AB+AF.
典例5 新素养 抽象能力 某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心.若要求体育中心所在位置与该市的三个城镇中心(图中以P,Q,R三点表示)的距离相等，则该体育中心的位置应选在 ()
A.$△ PQR$的三边垂直平分线的交点处
B.$△ PQR$的三条角平分线的交点处
C.$△ PQR$的三条高线的交点处
D.$△ PQR$的三条中线的交点处
【思路点拨】因为三角形的三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以该体育中心的位置应选在$△ PQR$的三边垂直平分线的交点处.
【答案】A
A.$△ PQR$的三边垂直平分线的交点处
B.$△ PQR$的三条角平分线的交点处
C.$△ PQR$的三条高线的交点处
D.$△ PQR$的三条中线的交点处
【思路点拨】因为三角形的三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以该体育中心的位置应选在$△ PQR$的三边垂直平分线的交点处.
【答案】A
答案：A
解析：
根据线段垂直平分线的性质，三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，要使体育中心到P、Q、R三个城镇中心的距离相等，该位置即为△PQR的三边垂直平分线的交点处。