7. 为打造“向往之城”，某市正在建设一批精品口袋公园. 如图所示的$△ ABC$是一个正在修建的口袋公园，要在该公园里修建一座凉亭$H$和三条小道$AH$，$BH$，$CH$，使该凉亭到公路$AB$，$AC$的距离相等，且$S_{△ ABH}=S_{△ BCH}$，则凉亭$H$是（
A.$∠ BAC$的平分线与边$AC$上中线的交点
B.$∠ BAC$的平分线与边$AB$上中线的交点
C.$∠ ABC$的平分线与边$AB$上中线的交点
D.$∠ ABC$的平分线与边$BC$上中线的交点
A
）A.$∠ BAC$的平分线与边$AC$上中线的交点
B.$∠ BAC$的平分线与边$AB$上中线的交点
C.$∠ ABC$的平分线与边$AB$上中线的交点
D.$∠ ABC$的平分线与边$BC$上中线的交点
答案：7. A 解析:取AC的中点D,连接BD. 当H是∠BAC的平分线与BD的交点时,点H到AB,AC的距离相等,$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}$,$S_{△ AHD}=S_{△ CHD}$. 所以$S_{△ ABD}-S_{△ AHD}=S_{△ CBD}-S_{△ CHD}$,即$S_{△ ABH}=S_{△ BCH}$. 所以凉亭H是∠BAC的平分线与边AC上中线的交点.
8. 作图题:如图,AC,AB是两条笔直的交叉公路,M,N是两个车站.现欲建一个加油站P,使得此加油站到公路两边的距离相等,且到M,N两个车站的距离也相等,此加油站P应建在何处?要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.
答案：
8. 如图,点P就是所求的加油站位置.
8. 如图,点P就是所求的加油站位置.
典例⑥ 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝5，△ABC的面积为15，BD平分∠ABC交AC于点D。若E，F分别是BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是 （）
A.3
B.4
C.5
D.6
【思路点拨】如图，在BA上取一点G，使BG＝BF，连接CG，EG，过点C作CH⊥AB于点H。因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD。又BE＝BE，所以△BEG≌△BEF（SAS）。所以EG＝EF。所以CE＋EF＝CE＋EG≥CG≥CH，即CE＋EF的最小值为CH的长。因为AB＝5，△ABC的面积为15，所以$\frac{1}{2}AB·CH＝15$，即CH＝6。所以CE＋EF的最小值为6。
【答案】D
A.3
B.4
C.5
D.6
【思路点拨】如图，在BA上取一点G，使BG＝BF，连接CG，EG，过点C作CH⊥AB于点H。因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD。又BE＝BE，所以△BEG≌△BEF（SAS）。所以EG＝EF。所以CE＋EF＝CE＋EG≥CG≥CH，即CE＋EF的最小值为CH的长。因为AB＝5，△ABC的面积为15，所以$\frac{1}{2}AB·CH＝15$，即CH＝6。所以CE＋EF的最小值为6。
【答案】D
答案：D
解析：
在BA上取一点G，使BG=BF，连接EG、CG，过点C作CH⊥AB于点H。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，BG=BF，
∴△BEG≌△BEF（SAS），
∴EG=EF，
则CE+EF=CE+EG。
由两点之间线段最短得CE+EG≥CG，由垂线段最短得CG≥CH，因此CE+EF的最小值为CH的长度。
已知AB=5，△ABC面积为15，由三角形面积公式$\frac{1}{2}AB·CH=15$，代入AB=5解得CH=6，即CE+EF的最小值为6。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，BG=BF，
∴△BEG≌△BEF（SAS），
∴EG=EF，
则CE+EF=CE+EG。
由两点之间线段最短得CE+EG≥CG，由垂线段最短得CG≥CH，因此CE+EF的最小值为CH的长度。
已知AB=5，△ABC面积为15，由三角形面积公式$\frac{1}{2}AB·CH=15$，代入AB=5解得CH=6，即CE+EF的最小值为6。
9. (2026·江苏扬州期末)如图，$∠ AOB=45°$，$M,N$两点分别在射线$OA$，$OB$上，$MN=8$，$△ OMN$的面积为$S$，$P$是直线$MN$上的动点，点$P$关于直线$OA$的对称点为点$P_1$，点$P$关于直线$OB$的对称点为点$P_2$，当点$P$在直线$MN$上运动时，$△ OP_1P_2$面积的最小值为________.(用含$S$的代数式表示)
答案：9. $\frac{S^2}{32}$ 解析:过点O作OC⊥MN于点C,连接OP,则$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}OC· MN$. 因为MN=8,△OMN的面积为S,所以$\frac{1}{2}OC×8=S$,解得$OC=\frac{S}{4}$. 又P是直线MN上的动点,所以$OP≥ OC=\frac{S}{4}$,即OP的长的最小值为$\frac{S}{4}$. 由题意,得$OP_1=OP_2=OP$,∠P₁OA=∠POA,∠P₂OB=∠POB,所以易得∠P₁OP₂=2∠AOB. 又∠AOB=45°,所以∠P₁OP₂=90°,即$S_{△ OP_1P_2}=\frac{1}{2}OP_1· OP_2=\frac{1}{2}OP^2$. 所以当OP的长取最小值时,$S_{△ OP_1P_2}$的值最小,即$S_{△ OP_1P_2}$的最小值为$\frac{1}{2}×(\frac{S}{4})^2=\frac{S^2}{32}$.