10. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,直线$l$是边AB的垂直平分线,P是直线$l$上的动点,连接PB,PD.若$PB+PD$的最小值为4,$CD-BD=3$,$△ ABD$的面积为6,求$△ ABC$的面积.
答案：10. 连接PA. 因为直线l是边AB的垂直平分线,所以PA=PB. 所以PB+PD=PA+PD≥AD,即当点P在高AD上时,PB+PD的值最小,且最小值为AD的长. 又PB+PD的最小值为4,所以AD=4. 又△ABD的面积为6,且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD$,所以$\frac{1}{2}×4· BD=6$,解得BD=3. 又CD−BD=3,所以CD=6,即BC=BD+CD=9. 所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=18$.
典例⑦ 如图，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，$D$是$BC$的中点，在$BC$的延长线上取一点$E$，连接$AE$.若$∠ CAD＝32°$，$∠ BAE＝84°$，则$∠ E＝$.
【思路点拨】因为$AB＝AC$，$D$是$BC$的中点，所以$AD ⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ E + ∠ DAE＝90°$，$∠ BAD＝∠ CAD$.又$∠ CAD＝32°$，$∠ BAE＝84°$，所以$∠ BAD＝32°$，即$∠ DAE＝∠ BAE - ∠ BAD＝52°$.所以$∠ E＝90° - ∠ DAE＝38°$.
【答案】$38°$
名师大招▶三线合一:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合(常用于求线段的长、角度或构造直角三角形解题).
【思路点拨】因为$AB＝AC$，$D$是$BC$的中点，所以$AD ⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ E + ∠ DAE＝90°$，$∠ BAD＝∠ CAD$.又$∠ CAD＝32°$，$∠ BAE＝84°$，所以$∠ BAD＝32°$，即$∠ DAE＝∠ BAE - ∠ BAD＝52°$.所以$∠ E＝90° - ∠ DAE＝38°$.
【答案】$38°$
名师大招▶三线合一:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合(常用于求线段的长、角度或构造直角三角形解题).
答案：$\boldsymbol{38°}$
解析：
解：
∵ $AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ BAD = ∠ CAD = 32°$，$∠ ADE = 90°$，
∴ $∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 84° - 32° = 52°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ E + ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ E = 90° - 52° = 38°$。
∵ $AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ BAD = ∠ CAD = 32°$，$∠ ADE = 90°$，
∴ $∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 84° - 32° = 52°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ E + ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ E = 90° - 52° = 38°$。
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AD和CE分别是$△ ABC$的中线和角平分线,AD和CE相交于点O.若$∠ BAC=36°$,则$∠ COD$的度数为 (
A.$54°$
B.$56°$
C.$58°$
D.$60°$
A
)A.$54°$
B.$56°$
C.$58°$
D.$60°$
答案：11. A 解析:因为AB=AC,AD是中线,所以∠B=∠ACB,AD⊥BC,即∠COD+∠BCE=90°. 又∠BAC=36°,所以∠ACB=$\frac{1}{2}(180°−∠BAC)=72°$. 又CE平分∠ACB,所以∠BCE=$\frac{1}{2}∠ACB=36°$,即∠COD=90°−∠BCE=54°.
典例⑧ 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE//AB.
（1）判断△DEF的形状,并说明理由；
（2）若AD=12,CE=8,求CF的长.
【思路点拨】（1）先根据已知条件判定△ABD是等边三角形,再利用平行线得到△DEF各角都相等,最终得出结论；（2）利用垂直平分线和等边三角形的性质求解即可.
【答案】（1）△DEF是等边三角形.理由如下:因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,即∠ABD=∠ADB=60°.因为CE//AB,所以∠CED=∠BAD=60°,∠DFE=∠ABD=60°,即∠CED=∠ADB=∠DFE.所以△DEF是等边三角形.
（2）如图,连接AC交BD于点O.因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分线,即AC⊥BD.又∠BAD=60°,所以∠BAC=∠DAC=30°.因为CE//AB,所以∠ACE=∠BAC=30°,即∠DAC=∠ACE.所以AE=CE.又AD=12,CE=8,所以AE=8,即DE=AD－AE=4.由（1）,得△DEF是等边三角形,所以EF=DE=4.所以CF=CE－EF=4.
（1）判断△DEF的形状,并说明理由；
（2）若AD=12,CE=8,求CF的长.
【思路点拨】（1）先根据已知条件判定△ABD是等边三角形,再利用平行线得到△DEF各角都相等,最终得出结论；（2）利用垂直平分线和等边三角形的性质求解即可.
【答案】（1）△DEF是等边三角形.理由如下:因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,即∠ABD=∠ADB=60°.因为CE//AB,所以∠CED=∠BAD=60°,∠DFE=∠ABD=60°,即∠CED=∠ADB=∠DFE.所以△DEF是等边三角形.
（2）如图,连接AC交BD于点O.因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分线,即AC⊥BD.又∠BAD=60°,所以∠BAC=∠DAC=30°.因为CE//AB,所以∠ACE=∠BAC=30°,即∠DAC=∠ACE.所以AE=CE.又AD=12,CE=8,所以AE=8,即DE=AD－AE=4.由（1）,得△DEF是等边三角形,所以EF=DE=4.所以CF=CE－EF=4.
答案：解：
(1) △DEF是等边三角形，理由如下：
∵ AB=AD，∠BAD=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD=∠ADB=60°。
∵ CE//AB，
∴ ∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴ ∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴ △DEF是等边三角形。
(2) 连接AC交BD于点O。
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD。
∵ ∠BAD=60°，△ABD为等边三角形，AC⊥BD，
∴ ∠BAC=∠DAC=30°。
∵ CE//AB，
∴ ∠ACE=∠BAC=30°，
∴ ∠DAC=∠ACE，
∴ AE=CE=8。
∵ AD=12，
∴ DE=AD-AE=12-8=4。
由(1)得△DEF是等边三角形，
∴ EF=DE=4，
∴ CF=CE-EF=8-4=4。
(1) △DEF是等边三角形，理由如下：
∵ AB=AD，∠BAD=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD=∠ADB=60°。
∵ CE//AB，
∴ ∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴ ∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴ △DEF是等边三角形。
(2) 连接AC交BD于点O。
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD。
∵ ∠BAD=60°，△ABD为等边三角形，AC⊥BD，
∴ ∠BAC=∠DAC=30°。
∵ CE//AB，
∴ ∠ACE=∠BAC=30°，
∴ ∠DAC=∠ACE，
∴ AE=CE=8。
∵ AD=12，
∴ DE=AD-AE=12-8=4。
由(1)得△DEF是等边三角形，
∴ EF=DE=4，
∴ CF=CE-EF=8-4=4。