12. 如图，$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ BC$于点$D$，$P$是$BA$延长线上一点，$O$是线段$AD$上一点，$OP=OC$。有下列结论：① $∠ APO+∠ DCO=30°$；② $∠ APO=∠ DCO$；③ $△ OPC$是等边三角形；④ $AB=AO+AP$。其中正确的是________。(填序号)
答案：12. ①③④ 解析:连接OB. 因为AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°,所以BD=CD,∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=60°$,即AD垂直平分BC. 所以OB=OC. 又∠ABC+∠BAD=90°,所以∠ABC=90°−∠BAD=30°. 又OP=OC,所以OB=OC=OP,即∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO. 所以∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABC=30°. 故①正确; 因为O是线段AD上一点,所以∠ABO与∠DBO不一定相等,即∠APO与∠DCO不一定相等. 故②错误; 因为∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,∠PBC=∠ABC,所以∠APC+∠DCP=150°. 所以∠OPC+∠OCP=120°,即∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°. 又OP=OC,所以△OPC是等边三角形. 故③正确; 所以∠OPC=60°,PO=PC. 在AC上截取AE=AP,连接PE,则∠OPE+∠EPC=60°. 因为∠PAE=180°−∠BAC=60°,所以△APE是等边三角形. 所以∠PEA=∠APE=60°,EP=AP. 所以∠APO+∠OPE=60°. 所以∠APO=∠EPC. 所以△OPA≌△CPE(SAS). 所以AO=EC. 所以AB=AC=EC+AE=AO+AP. 故④正确. 综上,正确的是①③④.
典例⑨ 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，以BC为斜边向上作Rt△BCD，连接AD，则∠ADB的度数为。
【思路点拨】如图，取BC的中点E，连接AE，DE。因为∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，所以AE⊥BC，AE=BE=DE=$\frac{1}{2}$BC，即∠AEC=90°，∠ADE=∠DAE，∠BDE=∠DBE。设∠BDE=∠DBE=α，则∠CED=∠BDE+∠DBE=2α。所以∠AED=∠AEC−∠CED=90°−2α。又∠AED+∠DAE+∠ADE=180°，所以∠ADE=$\frac{1}{2}$(180°−∠AED)=45°+α，即∠ADB=∠ADE−∠BDE=45°。
【答案】45°
【思路点拨】如图，取BC的中点E，连接AE，DE。因为∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，所以AE⊥BC，AE=BE=DE=$\frac{1}{2}$BC，即∠AEC=90°，∠ADE=∠DAE，∠BDE=∠DBE。设∠BDE=∠DBE=α，则∠CED=∠BDE+∠DBE=2α。所以∠AED=∠AEC−∠CED=90°−2α。又∠AED+∠DAE+∠ADE=180°，所以∠ADE=$\frac{1}{2}$(180°−∠AED)=45°+α，即∠ADB=∠ADE−∠BDE=45°。
【答案】45°
答案：$\boldsymbol{45°}$
解析：
解：取BC的中点E，连接AE，DE。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，E为BC中点，
∴ AE⊥BC，AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC。
∵ Rt△BCD中，∠BDC=90°，E为BC中点，
∴ DE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴ AE=DE，可得∠ADE=∠DAE；DE=BE，可得∠BDE=∠DBE。
设∠BDE=∠DBE=α，
则∠CED=∠BDE+∠DBE=2α，
∴ ∠AED=∠AEC−∠CED=90°−2α。
在△ADE中，∠AED+∠DAE+∠ADE=180°，
又∠DAE=∠ADE，
∴ ∠ADE=$\frac{1}{2}$(180°−∠AED)=$\frac{1}{2}$×[180°−(90°−2α)]=45°+α，
∴ ∠ADB=∠ADE−∠BDE=45°+α−α=45°。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，E为BC中点，
∴ AE⊥BC，AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC。
∵ Rt△BCD中，∠BDC=90°，E为BC中点，
∴ DE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴ AE=DE，可得∠ADE=∠DAE；DE=BE，可得∠BDE=∠DBE。
设∠BDE=∠DBE=α，
则∠CED=∠BDE+∠DBE=2α，
∴ ∠AED=∠AEC−∠CED=90°−2α。
在△ADE中，∠AED+∠DAE+∠ADE=180°，
又∠DAE=∠ADE，
∴ ∠ADE=$\frac{1}{2}$(180°−∠AED)=$\frac{1}{2}$×[180°−(90°−2α)]=45°+α，
∴ ∠ADB=∠ADE−∠BDE=45°+α−α=45°。