12. 已知在平面直角坐标系中，点$P_1(1,1),P_2(2,4),P_3(3,9),P_4(4,16),···$，按此规律，解答下列各题。
（1）求点$P_5$的坐标；
（2）求点$P_n$（$n$为正整数）的坐标；
（3）若点$P_n$到$x$轴的距离为625，求$n$的值。
（1）求点$P_5$的坐标；
（2）求点$P_n$（$n$为正整数）的坐标；
（3）若点$P_n$到$x$轴的距离为625，求$n$的值。
答案：12. （1）因为点 $P_1$ 的坐标为 $(1,1)$, 即 $(1,1^2)$; 点 $P_2$ 的坐标为 $(2,4)$, 即 $(2,2^2)$; 点 $P_3$ 的坐标为 $(3,9)$, 即$(3,3^2)$; 点 $P_4$ 的坐标为 $(4,16)$, 即 $(4,4^2)······$ 所以点 $P_n(n$ 为正整数 $)$ 的坐标为 $(n,n^2)$. 当 $n=5$ 时, 点$P_5$ 的坐标为 $(5,5^2)$, 即 $(5,25)$.
（2）由(1), 得点 $P_n(n$ 为正整数 $)$ 的坐标为 $(n,n^2)$.
（3）由(2), 得 $P_n(n,n^2)$. 又点 $P_n$ 到 $x$ 轴的距离为 625, 所以 $n^2=625$. 又 $n$ 为正整数, 所以 $n=25$.
（2）由(1), 得点 $P_n(n$ 为正整数 $)$ 的坐标为 $(n,n^2)$.
（3）由(2), 得 $P_n(n,n^2)$. 又点 $P_n$ 到 $x$ 轴的距离为 625, 所以 $n^2=625$. 又 $n$ 为正整数, 所以 $n=25$.
典例 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(5,0)$,点 B 的坐标为$(0,7)$,动点 P,Q 分别按照$A→O→B$和$B→O→A$的路线同时开始运动,到各自的终点时停止.直线$l$经过原点$O$,且$l// AB$,过$P,Q$两点分别作$l$的垂线段,垂足分别为$E,F$.若点$P$的速度为每秒$2$个单位长度,点$Q$的速度为每秒$4$个单位长度,运动时间为$t$秒,当$△ OPE$与$△ OQF$全等时,$t$的值为.
【思路点拨】因为点$A$的坐标为$(5,0)$,点$B$的坐标为$(0,7)$,所以$OA=5$,$OB=7$.由题意,得当点$P$运动到点$O$时,$t=\dfrac{5}{2}=2.5$;当点$P$运动到点$B$时,$t=\dfrac{5+7}{2}=6$;当点$Q$运动到点$O$时,$t=\dfrac{7}{4}=1.75$;当点$Q$运动到点$A$时,$t=\dfrac{5+7}{4}=3$.又$OP$和$OQ$是两直角三角形的斜边,所以当$△ OPE$与$△ OQF$全等时,$OP=OQ$.分类讨论如下:① 当点$P$在$OA$上,点$Q$在$OB$上,即$0≤ t≤1.75$时.因为$AP=2t$,$BQ=4t$,所以$OP=OA-AP=5-2t$,$OQ=OB-BQ=7-4t$.所以$5-2t=7-4t$,解得$t=1$;② 当$P,Q$两点都在$OA$上,即$1.75＜t≤2.5$时,$P,Q$两点重合.因为$OB+OQ=4t$,$AP=2t$,$OB+OQ+AP=OB+OA$,所以$2t+4t=5+7$,解得$t=2$;③ 当点$Q$与点$A$重合,点$P$在$OB$上,即$3≤ t≤6$时.又$OA+OP=2t$,所以$2t-5=5$,解得$t=5$.综上,当$△ OPE$与$△ OQF$全等时,$t$的值为$1$或$2$或$5$.
【答案】$1$或$2$或$5$
【要点提示】由于$△ OPE$与$△ OQF$全等,$OP$和$OQ$是两直角三角形的斜边,判断出$OP=OQ$,再分三种情况讨论,用含$t$的代数式表示出$OP$,$OQ$的长,根据等量关系列一元一次方程求解.
【思路点拨】因为点$A$的坐标为$(5,0)$,点$B$的坐标为$(0,7)$,所以$OA=5$,$OB=7$.由题意,得当点$P$运动到点$O$时,$t=\dfrac{5}{2}=2.5$;当点$P$运动到点$B$时,$t=\dfrac{5+7}{2}=6$;当点$Q$运动到点$O$时,$t=\dfrac{7}{4}=1.75$;当点$Q$运动到点$A$时,$t=\dfrac{5+7}{4}=3$.又$OP$和$OQ$是两直角三角形的斜边,所以当$△ OPE$与$△ OQF$全等时,$OP=OQ$.分类讨论如下:① 当点$P$在$OA$上,点$Q$在$OB$上,即$0≤ t≤1.75$时.因为$AP=2t$,$BQ=4t$,所以$OP=OA-AP=5-2t$,$OQ=OB-BQ=7-4t$.所以$5-2t=7-4t$,解得$t=1$;② 当$P,Q$两点都在$OA$上,即$1.75＜t≤2.5$时,$P,Q$两点重合.因为$OB+OQ=4t$,$AP=2t$,$OB+OQ+AP=OB+OA$,所以$2t+4t=5+7$,解得$t=2$;③ 当点$Q$与点$A$重合,点$P$在$OB$上,即$3≤ t≤6$时.又$OA+OP=2t$,所以$2t-5=5$,解得$t=5$.综上,当$△ OPE$与$△ OQF$全等时,$t$的值为$1$或$2$或$5$.
【答案】$1$或$2$或$5$
【要点提示】由于$△ OPE$与$△ OQF$全等,$OP$和$OQ$是两直角三角形的斜边,判断出$OP=OQ$,再分三种情况讨论,用含$t$的代数式表示出$OP$,$OQ$的长,根据等量关系列一元一次方程求解.
答案：解：
由点$A(5,0)$，点$B(0,7)$，得$OA=5$，$OB=7$。
根据运动速度计算各节点时间：
点$P$到达点$O$的时间为$\frac{5}{2}=2.5$秒，到达终点$B$的时间为$\frac{5+7}{2}=6$秒；
点$Q$到达点$O$的时间为$\frac{7}{4}=1.75$秒，到达终点$A$的时间为$\frac{5+7}{4}=3$秒。
由$PE⊥ l$，$QF⊥ l$，可知$△ OPE$和$△ OQF$均为直角三角形，斜边分别为$OP$、$OQ$。若$△ OPE$与$△ OQF$全等，则必有$OP=OQ$，分类讨论如下：
① 当$0≤ t≤1.75$，点$P$在$OA$上，点$Q$在$OB$上时：
$AP=2t$，$BQ=4t$，
$OP=5-2t$，$OQ=7-4t$，
令$5-2t=7-4t$，解得$t=1$，符合取值范围；
② 当$1.75＜ t≤2.5$，点$P$、$Q$都在$OA$上时：
点$Q$走过的路程为$7+OQ=4t$，点$P$走过的路程为$AP=2t$，
由$OP=OQ$得$2t+4t=5+7$，解得$t=2$，符合取值范围；
③ 当$3≤ t≤6$，点$Q$停在点$A$，点$P$在$OB$上时：
$OQ=OA=5$，点$P$走过的路程为$5+OP=2t$，即$OP=2t-5$，
令$2t-5=5$，解得$t=5$，符合取值范围。
综上，$t$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{5}$。
由点$A(5,0)$，点$B(0,7)$，得$OA=5$，$OB=7$。
根据运动速度计算各节点时间：
点$P$到达点$O$的时间为$\frac{5}{2}=2.5$秒，到达终点$B$的时间为$\frac{5+7}{2}=6$秒；
点$Q$到达点$O$的时间为$\frac{7}{4}=1.75$秒，到达终点$A$的时间为$\frac{5+7}{4}=3$秒。
由$PE⊥ l$，$QF⊥ l$，可知$△ OPE$和$△ OQF$均为直角三角形，斜边分别为$OP$、$OQ$。若$△ OPE$与$△ OQF$全等，则必有$OP=OQ$，分类讨论如下：
① 当$0≤ t≤1.75$，点$P$在$OA$上，点$Q$在$OB$上时：
$AP=2t$，$BQ=4t$，
$OP=5-2t$，$OQ=7-4t$，
令$5-2t=7-4t$，解得$t=1$，符合取值范围；
② 当$1.75＜ t≤2.5$，点$P$、$Q$都在$OA$上时：
点$Q$走过的路程为$7+OQ=4t$，点$P$走过的路程为$AP=2t$，
由$OP=OQ$得$2t+4t=5+7$，解得$t=2$，符合取值范围；
③ 当$3≤ t≤6$，点$Q$停在点$A$，点$P$在$OB$上时：
$OQ=OA=5$，点$P$走过的路程为$5+OP=2t$，即$OP=2t-5$，
令$2t-5=5$，解得$t=5$，符合取值范围。
综上，$t$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{5}$。