典例7 新素养 运算能力 已知在平面直角坐标系中有$A(0,3),B(4,0)$两点,把$△ AOB$绕原点$O$旋转,使$A,B$两点分别落在$A',B'$两点处.若$A'B'// x$轴,点$B'$在第一象限,则点$A$的对应点$A'$的坐标为 （）
A.$(-1.8,2.4)$
B.$(-2.4,1.8)$
C.$(-3.2,2.4)$
D.$(-2.4,3.2)$
【思路点拨】设$A'B'$交$y$轴于点$C$.因为$A(0,3),B(4,0)$,所以$OA=3,OB=4$.由旋转的性质,得$OA'=OA=3,OB'=OB=4,∠ A'OB'=∠ AOB=90°$.所以$A'B'=\sqrt{OA'^2 + OB'^2}=5$.又$A'B'// x$轴,所以$OC⊥ A'B'$.因为点$B'$在第一象限,所以点$A'$在第二象限.又$S_{△ A'OB'}=\frac{1}{2}OA'· OB'=\frac{1}{2}A'B'· OC$,所以$OC=2.4$.又$A'C=\sqrt{OA'^2 - OC^2}=1.8$,所以点$A'$的坐标为$(-1.8,2.4)$.
【答案】A
上分大招▶先找到已知点在平面直角坐标系的位置,再根据变换过程找到对应点,最后结合旋转的角度和图形的特殊性质计算求解.
A.$(-1.8,2.4)$
B.$(-2.4,1.8)$
C.$(-3.2,2.4)$
D.$(-2.4,3.2)$
【思路点拨】设$A'B'$交$y$轴于点$C$.因为$A(0,3),B(4,0)$,所以$OA=3,OB=4$.由旋转的性质,得$OA'=OA=3,OB'=OB=4,∠ A'OB'=∠ AOB=90°$.所以$A'B'=\sqrt{OA'^2 + OB'^2}=5$.又$A'B'// x$轴,所以$OC⊥ A'B'$.因为点$B'$在第一象限,所以点$A'$在第二象限.又$S_{△ A'OB'}=\frac{1}{2}OA'· OB'=\frac{1}{2}A'B'· OC$,所以$OC=2.4$.又$A'C=\sqrt{OA'^2 - OC^2}=1.8$,所以点$A'$的坐标为$(-1.8,2.4)$.
【答案】A
上分大招▶先找到已知点在平面直角坐标系的位置,再根据变换过程找到对应点,最后结合旋转的角度和图形的特殊性质计算求解.
答案：A
解析：
设$A'B'$交$y$轴于点$C$，由$A(0,3)$，$B(4,0)$得$OA=3$，$OB=4$。根据旋转的性质，$OA'=OA=3$，$OB'=OB=4$，$∠ A'OB'=∠ AOB=90°$，由勾股定理得$A'B'=\sqrt{OA'^2+OB'^2}=5$。由$A'B'// x$轴可得$OC⊥ A'B'$，结合$B'$在第一象限，可知$A'$在第二象限。利用面积法，$S_{△ A'OB'}=\frac{1}{2}· OA'· OB'=\frac{1}{2}· A'B'· OC$，代入数值解得$OC=2.4$。在$\mathrm{Rt}△ A'OC$中，由勾股定理得$A'C=\sqrt{OA'^2-OC^2}=1.8$，因此点$A'$的横坐标为$-1.8$，纵坐标为$2.4$，坐标为$(-1.8,2.4)$。
11. 如图，在平面直角坐标系中，线段OA的端点A的坐标为$(-3,4)$，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转$90°$后，点A的对应点为$A_1$，则点$A_1$的坐标为（
A.$(3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(4,-3)$
D.$(4,3)$
D
）A.$(3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(4,-3)$
D.$(4,3)$
答案：11. D 解析: 过点 $A$ 作 $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$, 过点 $A_1$ 作$A_1B_1 ⊥ x$ 轴于点 $B_1$, 则 $∠ ABO=∠ OB_1A_1=90°$. 由旋转的性质, 得 $OA=A_1O, ∠ AOA_1=90°$. 所以$∠ AOB+∠ A_1OB_1=180°-∠ AOA_1=90°$. 又$∠ AOB+∠ OAB=90°$, 所以 $∠ OAB=∠ A_1OB_1$. 所以 $△ OAB ≌ △ A_1OB_1$ (AAS). 所以 $AB=OB_1$,$OB=A_1B_1$. 因为 $A(-3,4)$, 所以 $AB=4, OB=3$,即 $OB_1=4, A_1B_1=3$. 又点 $A_1$ 在第一象限, 所以$A_1(4,3)$.
典例⑧ 如图,在平面直角坐标系中,将点$A_1(1,1)$先向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度得到点$A_2$;将点$A_2$向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度得到点$A_3$;将点$A_3$向上平移4个单位长度,再向右平移8个单位长度得到点$A_4$……按这个规律平移得到点$A_n$($n$为正整数),则点$A_n$的横坐标为.
【思路点拨】因为点$A_1$的坐标为$(1,1)$,所以点$A_1$的横坐标为$1=2^1 -1$,点$A_2$的横坐标为$3=2^2 -1$,点$A_3$的横坐标为$7=2^3 -1$,点$A_4$的横坐标为$15=2^4 -1$……所以点$A_n$的横坐标为$2^n -1$.
【答案】$2^n -1$
【思路点拨】因为点$A_1$的坐标为$(1,1)$,所以点$A_1$的横坐标为$1=2^1 -1$,点$A_2$的横坐标为$3=2^2 -1$,点$A_3$的横坐标为$7=2^3 -1$,点$A_4$的横坐标为$15=2^4 -1$……所以点$A_n$的横坐标为$2^n -1$.
【答案】$2^n -1$
答案：$\boldsymbol{2^n -1}$
解析：
解：
点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$，
点$A_2$的横坐标为$1+2=3=2^2-1$，
点$A_3$的横坐标为$3+4=7=2^3-1$，
点$A_4$的横坐标为$7+8=15=2^4-1$，
……
以此类推，点$A_n$的横坐标为$2^n -1$。
最终
点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$，
点$A_2$的横坐标为$1+2=3=2^2-1$，
点$A_3$的横坐标为$3+4=7=2^3-1$，
点$A_4$的横坐标为$7+8=15=2^4-1$，
……
以此类推，点$A_n$的横坐标为$2^n -1$。
最终