8. （亮点原创）已知在平面直角坐标系中，将点$ M(a+1, 3-a) $向上平移2个单位长度得到点N。若点N在x轴上，则$ a+4 $的平方根为（
A.$ \sqrt{5} $
B.$ \pm\sqrt{5} $
C.3
D.$ \pm3 $
D
）A.$ \sqrt{5} $
B.$ \pm\sqrt{5} $
C.3
D.$ \pm3 $
答案：8. D 解析: 因为点 $M(a+1,3-a)$ 向上平移 2 个单位长度得到点 $N$, 所以 $N(a+1,3-a+2)$. 又点 $N$ 在$x$ 轴上, 所以 $3-a+2=0$, 解得 $a=5$. 所以 $a+4=$9. 又 9 的平方根为 $\pm3$, 所以 $a+4$ 的平方根为 $\pm3$.
9. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1).若将线段AB平移,使其中一个端点平移到点C(3,2),则平移后另一个端点的坐标为
$(1,3)$或$(5,1)$
.答案：9. $(1,3)$或$(5,1)$ 解析: 分类讨论如下: 若点 $A$ 的对应点为点 $C$, 则线段 $AB$ 先向右平移 1 个单位长度, 再向上平移 2 个单位长度. 所以平移后另一个端点的坐标为 $(0+1,1+2)$, 即 $(1,3)$; 若点 $B$ 的对应点为点 $C$,则线段 $AB$ 先向右平移 3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度. 所以平移后另一个端点的坐标为 $(2+$$3,0+1)$, 即 $(5,1)$. 综上, 平移后另一个端点的坐标为 $(1,3)$ 或 $(5,1)$.
典例⑥已知点$P_1(a-1,5)$和点$P_2(2,b-1)$关于$x$轴对称，则$(a+b)^{2026}$的值为（）
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：C
解析：
根据关于x轴对称的点的坐标性质：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
1. 横坐标相等：$a-1=2$，解得$a=3$；
2. 纵坐标互为相反数：$b-1=-5$，解得$b=-4$。
计算得$a+b=3+(-4)=-1$，因此$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
1. 横坐标相等：$a-1=2$，解得$a=3$；
2. 纵坐标互为相反数：$b-1=-5$，解得$b=-4$。
计算得$a+b=3+(-4)=-1$，因此$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
10. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$三个顶点的坐标分别是$A(1,3),B(-2,-2),C(2,-1)$.
（1）画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,写出$A_{1},B_{1},C_{1}$三点的坐标；
（2）在$y$轴上找一点$Q$,使$QA_{1}+QB$最小；
（3）求$△ ABC$的面积.
（1）画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,写出$A_{1},B_{1},C_{1}$三点的坐标；
（2）在$y$轴上找一点$Q$,使$QA_{1}+QB$最小；
（3）求$△ ABC$的面积.
答案：
10. （1）如图, $△ A_1B_1C_1$ 即为所求, $A_1(-1,3)$,$B_1(2,-2),C_1(-2,-1)$.
（2）如图, 点 $Q$ 即为所求.
（3）由题意, 得 $S_{△ ABC}=4×5-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×4×$$1-\frac{1}{2}×3×5=8.5$.
10. （1）如图, $△ A_1B_1C_1$ 即为所求, $A_1(-1,3)$,$B_1(2,-2),C_1(-2,-1)$.
（2）如图, 点 $Q$ 即为所求.
（3）由题意, 得 $S_{△ ABC}=4×5-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×4×$$1-\frac{1}{2}×3×5=8.5$.