1. 计算下面各三角形的面积。
答案：1. (1) $6×5÷2=15(\mathrm{cm}^2)$ (2) $8×4÷2=16(\mathrm{dm}^2)$
解析：
【分析】
计算三角形面积需要用到三角形面积公式：三角形面积=底×对应高÷2。解题时先找到每个三角形中一组相互垂直的底和高：
(1) 第一幅图中三角形的底是6cm，这条底对应的高是5cm，直接代入公式计算即可；
(2) 第二幅图中长度为8dm的边作为底时，对应的高是垂直于它的4dm，图中的6dm是无关干扰条件，不要误用，代入对应底和高计算即可。
【解析】
(1) 代入三角形面积公式计算，底为6cm，对应高为5cm：
$6×5÷2=15(\mathrm{cm}^2)$
(2) 选取底8dm和对应的高4dm代入公式计算：
$8×4÷2=16(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
(1) $6×5÷2=15(\mathrm{cm}^2)$
(2) $8×4÷2=16(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
三角形面积计算，底高对应关系
【点评】
本题是三角形面积公式的基础应用，解题关键是准确找到与底相互对应的高，避免被无关边长干扰，计算时注意不要忘记除以2。
【难度系数】
0.8
计算三角形面积需要用到三角形面积公式：三角形面积=底×对应高÷2。解题时先找到每个三角形中一组相互垂直的底和高：
(1) 第一幅图中三角形的底是6cm，这条底对应的高是5cm，直接代入公式计算即可；
(2) 第二幅图中长度为8dm的边作为底时，对应的高是垂直于它的4dm，图中的6dm是无关干扰条件，不要误用，代入对应底和高计算即可。
【解析】
(1) 代入三角形面积公式计算，底为6cm，对应高为5cm：
$6×5÷2=15(\mathrm{cm}^2)$
(2) 选取底8dm和对应的高4dm代入公式计算：
$8×4÷2=16(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
(1) $6×5÷2=15(\mathrm{cm}^2)$
(2) $8×4÷2=16(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
三角形面积计算，底高对应关系
【点评】
本题是三角形面积公式的基础应用，解题关键是准确找到与底相互对应的高，避免被无关边长干扰，计算时注意不要忘记除以2。
【难度系数】
0.8
2. 画出下面每个三角形底边上的高，测量需要的数据并算出它们的面积。（测量结果保留整厘米数）
(1)
(2)
(1)
(2)
答案：
2. (1)
$3×2÷2=3(\mathrm{cm}^2)$
(2)
$2×2÷2=2(\mathrm{cm}^2)$
2. (1)
$3×2÷2=3(\mathrm{cm}^2)$(2)
$2×2÷2=2(\mathrm{cm}^2)$解析：
【分析】
要解决这道题，首先要掌握三角形底边上高的画法：找到给定底边相对的顶点，将三角尺的一条直角边与底边重合，平移三角尺使另一条直角边经过对顶的顶点，从顶点向底边作垂线段，这条垂线段就是底边上的高，注意标注直角符号。其次回忆三角形面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2。最后测量出每个三角形的底和对应高的长度，代入公式计算就能得到面积。
【解析】
(1) 先规范画出底边上的高，测量可知底长3cm，对应的高长2cm，代入面积公式计算：
$3×2÷2=3(\mathrm{cm}^2)$
(2) 先规范画出底边上的高，测量可知底长2cm，对应的高长2cm，代入面积公式计算：
$2×2÷2=2(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $3×2÷2=3(\mathrm{cm}^2)$
(2) $2×2÷2=2(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
三角形高的画法、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查三角形高的规范绘制和面积公式的应用，作图时要注意高与底边垂直且标注直角符号，计算面积时切记不要遗漏除以2的步骤。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要掌握三角形底边上高的画法：找到给定底边相对的顶点，将三角尺的一条直角边与底边重合，平移三角尺使另一条直角边经过对顶的顶点，从顶点向底边作垂线段，这条垂线段就是底边上的高，注意标注直角符号。其次回忆三角形面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2。最后测量出每个三角形的底和对应高的长度，代入公式计算就能得到面积。
【解析】
(1) 先规范画出底边上的高，测量可知底长3cm，对应的高长2cm，代入面积公式计算：
$3×2÷2=3(\mathrm{cm}^2)$
(2) 先规范画出底边上的高，测量可知底长2cm，对应的高长2cm，代入面积公式计算：
$2×2÷2=2(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)
$3×2÷2=3(\mathrm{cm}^2)$(2)
$2×2÷2=2(\mathrm{cm}^2)$【知识点】
三角形高的画法、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查三角形高的规范绘制和面积公式的应用，作图时要注意高与底边垂直且标注直角符号，计算面积时切记不要遗漏除以2的步骤。
【难度系数】
0.8
3.一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果三角形的面积是12平方厘米，那么平行四边形的面积是(
24
)平方厘米；如果平行四边形的面积是12平方厘米，那么三角形的面积是(6
)平方厘米。答案：3. 24 6
解析：
【分析】
解题前先回忆三角形和平行四边形的面积公式：三角形面积=底×高÷2，平行四边形面积=底×高。当两个图形等底等高时，对比两个公式就能发现，平行四边形的面积是和它等底等高的三角形面积的2倍。解题时就利用这个倍数关系计算：已知三角形面积求平行四边形面积，直接乘2；已知平行四边形面积求三角形面积，直接除以2即可。
【解析】
因为三角形和平行四边形等底等高，所以平行四边形面积 = 与它等底等高的三角形面积 × 2。
1. 已知三角形面积是12平方厘米，平行四边形面积为：$12×2=24$（平方厘米）
2. 已知平行四边形面积是12平方厘米，三角形面积为：$12÷2=6$（平方厘米）
【答案】
24；6
【知识点】
三角形面积计算；平行四边形面积计算；等底等高图形面积关系
【点评】
本题是几何面积的基础题型，核心是掌握等底等高的三角形与平行四边形的面积倍数关系，熟练运用面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆三角形和平行四边形的面积公式：三角形面积=底×高÷2，平行四边形面积=底×高。当两个图形等底等高时，对比两个公式就能发现，平行四边形的面积是和它等底等高的三角形面积的2倍。解题时就利用这个倍数关系计算：已知三角形面积求平行四边形面积，直接乘2；已知平行四边形面积求三角形面积，直接除以2即可。
【解析】
因为三角形和平行四边形等底等高，所以平行四边形面积 = 与它等底等高的三角形面积 × 2。
1. 已知三角形面积是12平方厘米，平行四边形面积为：$12×2=24$（平方厘米）
2. 已知平行四边形面积是12平方厘米，三角形面积为：$12÷2=6$（平方厘米）
【答案】
24；6
【知识点】
三角形面积计算；平行四边形面积计算；等底等高图形面积关系
【点评】
本题是几何面积的基础题型，核心是掌握等底等高的三角形与平行四边形的面积倍数关系，熟练运用面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）新趋势 思维过程 可以体现图中大三角形面积计算的推导过程的是(
A.底×高÷2
B.底÷2×高
C.底×(高÷2)
D.(上底+下底)×高÷2
C
)。A.底×高÷2
B.底÷2×高
C.底×(高÷2)
D.(上底+下底)×高÷2
答案：4. (1) C
解析：
【分析】
首先明确题目要求是选出符合图中推导过程的面积计算式子，不能直接选通用的三角形面积公式。观察图形可知，推导时是将三角形沿高的中点的水平线段分割，把上方的小三角形拼接后得到一个平行四边形：该平行四边形的底和原三角形的底完全相等，平行四边形的高只有原三角形高的一半。由于拼接前后面积不变，平行四边形面积=底×高，代入对应量就能得到该推导方式下的三角形面积计算式子。
【解析】
观察图中的推导操作：
1. 拼接得到的平行四边形的底与原三角形的底相等；
2. 拼接得到的平行四边形的高是原三角形高的一半，即平行四边形的高=原三角形的高÷2；
3. 拼接前后面积不变，即平行四边形面积=原三角形面积。
已知平行四边形面积=底×高，把对应量代入可得：
三角形面积=底×(高÷2)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积推导；平行四边形面积计算；图形转化
【点评】
本题考查三角形面积公式的推导过程，需要结合图形操作理解转化前后各边的对应关系，不能直接套用通用公式，要注意题目限定的“体现图中推导过程”这一要求。
【难度系数】
0.6
首先明确题目要求是选出符合图中推导过程的面积计算式子，不能直接选通用的三角形面积公式。观察图形可知，推导时是将三角形沿高的中点的水平线段分割，把上方的小三角形拼接后得到一个平行四边形：该平行四边形的底和原三角形的底完全相等，平行四边形的高只有原三角形高的一半。由于拼接前后面积不变，平行四边形面积=底×高，代入对应量就能得到该推导方式下的三角形面积计算式子。
【解析】
观察图中的推导操作：
1. 拼接得到的平行四边形的底与原三角形的底相等；
2. 拼接得到的平行四边形的高是原三角形高的一半，即平行四边形的高=原三角形的高÷2；
3. 拼接前后面积不变，即平行四边形面积=原三角形面积。
已知平行四边形面积=底×高，把对应量代入可得：
三角形面积=底×(高÷2)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积推导；平行四边形面积计算；图形转化
【点评】
本题考查三角形面积公式的推导过程，需要结合图形操作理解转化前后各边的对应关系，不能直接套用通用公式，要注意题目限定的“体现图中推导过程”这一要求。
【难度系数】
0.6
（2）下图中三角形的面积等于平行四边形面积的一半的是(
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①②③④
B
)。A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①②③④
答案：4. (2) B
解析：
【分析】
要判断哪个三角形的面积是平行四边形面积的一半，我们可以先利用面积公式算出平行四边形的面积，得出它的一半是多少，再分别计算4个三角形的面积，与平行四边形面积的一半对比即可；也可以直接对比三角形的底×高的乘积是否和平行四边形的底×高的乘积相等，若相等，则三角形面积就是平行四边形的一半。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算平行四边形的面积：
平行四边形的底是6，高是6，根据平行四边形面积公式：面积=底×高，得面积=6×6=36，它面积的一半为36÷2=18。
2. 分别计算四个三角形的面积，三角形面积公式：面积=底×高÷2：
三角形①：底为6，高为6，面积=6×6÷2=18，符合要求；
三角形②：底为6，高为6，面积=6×6÷2=18，符合要求；
三角形③：底为9，高为4，面积=9×4÷2=18，符合要求；
三角形④：底为9，高为3，面积=9×3÷2=13.5≠18，不符合要求。
因此符合要求的是①②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形面积计算、三角形面积计算、面积与底高的关系
【点评】
本题重点考查平行四边形和三角形面积公式的灵活应用，解题时既可以通过计算具体面积对比判断，也可以通过底和高的乘积关系快速推导，注意不要误认为只有等底等高的三角形面积才是平行四边形的一半，只要底与高的乘积相等即可满足条件。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形的面积是平行四边形面积的一半，我们可以先利用面积公式算出平行四边形的面积，得出它的一半是多少，再分别计算4个三角形的面积，与平行四边形面积的一半对比即可；也可以直接对比三角形的底×高的乘积是否和平行四边形的底×高的乘积相等，若相等，则三角形面积就是平行四边形的一半。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算平行四边形的面积：
平行四边形的底是6，高是6，根据平行四边形面积公式：面积=底×高，得面积=6×6=36，它面积的一半为36÷2=18。
2. 分别计算四个三角形的面积，三角形面积公式：面积=底×高÷2：
三角形①：底为6，高为6，面积=6×6÷2=18，符合要求；
三角形②：底为6，高为6，面积=6×6÷2=18，符合要求；
三角形③：底为9，高为4，面积=9×4÷2=18，符合要求；
三角形④：底为9，高为3，面积=9×3÷2=13.5≠18，不符合要求。
因此符合要求的是①②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形面积计算、三角形面积计算、面积与底高的关系
【点评】
本题重点考查平行四边形和三角形面积公式的灵活应用，解题时既可以通过计算具体面积对比判断，也可以通过底和高的乘积关系快速推导，注意不要误认为只有等底等高的三角形面积才是平行四边形的一半，只要底与高的乘积相等即可满足条件。
【难度系数】
0.7
（3）新素养 推理意识 若一个三角形的底扩大为原来的3倍，高扩大为原来的2倍，则面积扩大为原来的(
A.5
B.6
C.9
D.12
B
)倍。A.5
B.6
C.9
D.12
答案：4. (3) B
解析：
【分析】
解题时首先回忆三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2。我们可以用两种思路推导面积扩大的倍数：一是假设法，给原来的底和高设具体的简单数值，分别计算出原来的面积和扩大后的面积，再用除法求倍数；二是利用积的变化规律，因为面积公式中“÷2”是固定不变的，底扩大3倍、高扩大2倍时，底和高的乘积会扩大3×2倍，所以面积也对应扩大相同的倍数。
【解析】
方法一：假设法
设原来三角形的底为1，高为1。
原来的面积：$1×1÷2=0.5$
扩大后的底：$1×3=3$，扩大后的高：$1×2=2$
扩大后的面积：$3×2÷2=3$
扩大的倍数：$3÷0.5=6$
方法二：公式推导
设原来三角形的底为$a$，高为$h$，原来的面积$S_1=ah÷2$
底扩大3倍后是$3a$，高扩大2倍后是$2h$，现在的面积$S_2=3a×2h÷2=6ah÷2=6×(ah÷2)=6S_1$
因此面积扩大为原来的6倍。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，积的变化规律
【点评】
本题考查三角形面积公式的应用和积的变化规律的灵活运用，通过赋值法将抽象的倍数关系转化为具体的数值计算，能更直观快速地得到结果，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2。我们可以用两种思路推导面积扩大的倍数：一是假设法，给原来的底和高设具体的简单数值，分别计算出原来的面积和扩大后的面积，再用除法求倍数；二是利用积的变化规律，因为面积公式中“÷2”是固定不变的，底扩大3倍、高扩大2倍时，底和高的乘积会扩大3×2倍，所以面积也对应扩大相同的倍数。
【解析】
方法一：假设法
设原来三角形的底为1，高为1。
原来的面积：$1×1÷2=0.5$
扩大后的底：$1×3=3$，扩大后的高：$1×2=2$
扩大后的面积：$3×2÷2=3$
扩大的倍数：$3÷0.5=6$
方法二：公式推导
设原来三角形的底为$a$，高为$h$，原来的面积$S_1=ah÷2$
底扩大3倍后是$3a$，高扩大2倍后是$2h$，现在的面积$S_2=3a×2h÷2=6ah÷2=6×(ah÷2)=6S_1$
因此面积扩大为原来的6倍。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，积的变化规律
【点评】
本题考查三角形面积公式的应用和积的变化规律的灵活运用，通过赋值法将抽象的倍数关系转化为具体的数值计算，能更直观快速地得到结果，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
5. 一个三角形果园，底是60米，高是40米。如果每15平方米种一棵苹果树，那么这个果园一共可以种多少棵苹果树？
答案：5. $60×40÷2=1200$(平方米) $1200÷15=80$(棵)
答:这个果园一共可以种80棵苹果树。
答:这个果园一共可以种80棵苹果树。
解析：
【分析】
要解决这个问题，我们需要分两步思考：第一步先求出三角形果园的总面积，第二步用总面积除以每棵苹果树的占地面积，就能得到可以种植的苹果树总棵数。计算三角形面积时，要牢记三角形的面积公式，千万不要忘记除以2哦。
【解析】
首先计算三角形果园的面积：
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
代入数据得：$60×40÷2 = 1200$（平方米）
再计算可以种植的苹果树数量：总棵数 = 果园总面积 ÷ 每棵树占地面积
代入数据得：$1200÷15 = 80$（棵）
答：这个果园一共可以种80棵苹果树。
【答案】
80棵
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 除法的实际应用
【点评】
本题是几何知识结合生活实际的基础应用题，解题核心是先准确算出三角形的面积，注意不要漏掉面积公式里的“÷2”，再根据除法的包含意义求出总棵数即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要分两步思考：第一步先求出三角形果园的总面积，第二步用总面积除以每棵苹果树的占地面积，就能得到可以种植的苹果树总棵数。计算三角形面积时，要牢记三角形的面积公式，千万不要忘记除以2哦。
【解析】
首先计算三角形果园的面积：
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
代入数据得：$60×40÷2 = 1200$（平方米）
再计算可以种植的苹果树数量：总棵数 = 果园总面积 ÷ 每棵树占地面积
代入数据得：$1200÷15 = 80$（棵）
答：这个果园一共可以种80棵苹果树。
【答案】
80棵
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 除法的实际应用
【点评】
本题是几何知识结合生活实际的基础应用题，解题核心是先准确算出三角形的面积，注意不要漏掉面积公式里的“÷2”，再根据除法的包含意义求出总棵数即可。
【难度系数】
0.8
6. 新素养 空间观念 利用旋转拼接，可以将复杂图形转化成简单图形，发现其中的数学技巧之美。如图，大三角形ABC被分成一个正方形和两个三角形甲、乙。甲、乙的面积之和为39平方厘米，正方形的边长是多少厘米？
答案：
6. $39×2÷(4+9)=6$(厘米)
答:正方形的边长是6厘米。
解析:如图,将三角形乙绕点E逆时针旋转90°,与三角形甲合拼成三角形EDC,则三角形EDC的面积是39平方厘米,底是4+9=13(厘米),据此求出高EF,即正方形的边长。
6. $39×2÷(4+9)=6$(厘米)
答:正方形的边长是6厘米。
解析:如图,将三角形乙绕点E逆时针旋转90°,与三角形甲合拼成三角形EDC,则三角形EDC的面积是39平方厘米,底是4+9=13(厘米),据此求出高EF,即正方形的边长。
解析：
【分析】
我们的目标是求正方形的边长，已知甲、乙两个三角形的面积和为39平方厘米，但单独求两个三角形的面积条件不足，因此考虑用图形转化的思路解题。由于正方形的四条边长度相等，我们可以将三角形乙绕正方形的右上角顶点逆时针旋转90°，此时乙的长为4厘米的竖直边会与正方形的边重合，转到水平方向后和甲的长为9厘米的水平边拼接成一个新三角形的底，这个新三角形的面积就是甲、乙的面积和39平方厘米，且新三角形的高恰好等于正方形的边长，最后利用三角形面积公式反推高即可得到正方形的边长。
【解析】
解：将三角形乙绕点E逆时针旋转90°，与三角形甲拼接成一个新的三角形，该三角形的面积等于甲、乙的面积之和，即39平方厘米。
新三角形的底长为：$4+9=13$（厘米）
根据三角形面积公式$面积=底×高÷2$，可得高 = $面积×2÷底$，这个高就是正方形的边长，代入数值计算：
$39×2÷13$
$=78÷13$
$=6$（厘米）
【答案】
$39×2÷(4+9)=6$（厘米）
答：正方形的边长是6厘米。
【知识点】
三角形面积计算，图形旋转拼接，转化策略
【点评】
本题巧妙运用旋转拼接的方法，将分散的两个三角形转化为规则可计算的大三角形，利用旋转前后图形面积不变、对应边长度不变的特点，建立已知条件和未知边长之间的联系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
我们的目标是求正方形的边长，已知甲、乙两个三角形的面积和为39平方厘米，但单独求两个三角形的面积条件不足，因此考虑用图形转化的思路解题。由于正方形的四条边长度相等，我们可以将三角形乙绕正方形的右上角顶点逆时针旋转90°，此时乙的长为4厘米的竖直边会与正方形的边重合，转到水平方向后和甲的长为9厘米的水平边拼接成一个新三角形的底，这个新三角形的面积就是甲、乙的面积和39平方厘米，且新三角形的高恰好等于正方形的边长，最后利用三角形面积公式反推高即可得到正方形的边长。
【解析】
解：将三角形乙绕点E逆时针旋转90°，与三角形甲拼接成一个新的三角形，该三角形的面积等于甲、乙的面积之和，即39平方厘米。
新三角形的底长为：$4+9=13$（厘米）
根据三角形面积公式$面积=底×高÷2$，可得高 = $面积×2÷底$，这个高就是正方形的边长，代入数值计算：
$39×2÷13$
$=78÷13$
$=6$（厘米）
【答案】
$39×2÷(4+9)=6$（厘米）
答：正方形的边长是6厘米。
【知识点】
三角形面积计算，图形旋转拼接，转化策略
【点评】
本题巧妙运用旋转拼接的方法，将分散的两个三角形转化为规则可计算的大三角形，利用旋转前后图形面积不变、对应边长度不变的特点，建立已知条件和未知边长之间的联系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6