五、运用等积变形解决面积问题
8. 如图，平行四边形中有三角形①②③，关于这三个三角形面积间的关系，下面的说法中正确的是(
A.①＞②+③
B.①＜②+③
C.①=②=③
D.①=②+③
8. 如图，平行四边形中有三角形①②③，关于这三个三角形面积间的关系，下面的说法中正确的是(
D
)。A.①＞②+③
B.①＜②+③
C.①=②=③
D.①=②+③
答案：
8. D 解析:如图
,在平行四边形中,三角形①的面积+空白三角形④的面积=三角形②的面积+三角形③的面积+空白三角形④的面积=平行四边形面积的一半,所以三角形①的面积=三角形②的面积+三角形③的面积。
8. D 解析:如图
,在平行四边形中,三角形①的面积+空白三角形④的面积=三角形②的面积+三角形③的面积+空白三角形④的面积=平行四边形面积的一半,所以三角形①的面积=三角形②的面积+三角形③的面积。解析：
【分析】
解题时我们可以利用等底等高的三角形与平行四边形的面积关系逐步推导：第一步先回忆基础规律：和平行四边形等底等高的三角形，面积是平行四边形面积的一半。第二步观察图形，找到两个符合上述规律的三角形：一个是由①和空白④组成的大三角形，另一个是由②、③和空白④组成的大三角形，二者面积都等于平行四边形面积的一半。第三步，两个大三角形都包含公共的空白部分④，同时减去这个公共部分后剩余面积仍然相等，即可推导出①、②、③的面积关系。
【解析】
解：根据“等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半”，结合分析：
三角形①的面积 + 空白三角形④的面积 = 平行四边形面积的一半
三角形②的面积 + 三角形③的面积 + 空白三角形④的面积 = 平行四边形面积的一半
将两个等式同时减去公共的空白三角形④的面积，可得：
三角形①的面积 = 三角形②的面积 + 三角形③的面积
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等积变形、三角形面积、平行四边形面积
【点评】
本题考查等积变形在图形面积问题中的实际应用，解题核心是找到面积等于平行四边形面积一半的两个三角形，通过消去公共部分推导目标图形的面积关系，能够有效锻炼学生对图形面积关系的观察、分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用等底等高的三角形与平行四边形的面积关系逐步推导：第一步先回忆基础规律：和平行四边形等底等高的三角形，面积是平行四边形面积的一半。第二步观察图形，找到两个符合上述规律的三角形：一个是由①和空白④组成的大三角形，另一个是由②、③和空白④组成的大三角形，二者面积都等于平行四边形面积的一半。第三步，两个大三角形都包含公共的空白部分④，同时减去这个公共部分后剩余面积仍然相等，即可推导出①、②、③的面积关系。
【解析】
解：根据“等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半”，结合
分析：三角形①的面积 + 空白三角形④的面积 = 平行四边形面积的一半
三角形②的面积 + 三角形③的面积 + 空白三角形④的面积 = 平行四边形面积的一半
将两个等式同时减去公共的空白三角形④的面积，可得：
三角形①的面积 = 三角形②的面积 + 三角形③的面积
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等积变形、三角形面积、平行四边形面积
【点评】
本题考查等积变形在图形面积问题中的实际应用，解题核心是找到面积等于平行四边形面积一半的两个三角形，通过消去公共部分推导目标图形的面积关系，能够有效锻炼学生对图形面积关系的观察、分析能力。
【难度系数】
0.7
9. 新情境 环保意识 阳春三月，同学们到某小区参加绿化美化活动。他们要在不同区域分别种上不同颜色的月季。如图，四边形ABCD是长方形，四边形CDEF是平行四边形。涂色部分的面积是多少？
答案：9. $(8-6+8)×12÷2=60$(平方米)
答:涂色部分的面积是 60 平方米。
解析:因为长方形ABCD的长与平行四边形CDEF的底相等,长方形ABCD的宽和平行四边形CDEF的高相等,所以长方形ABCD和平行四边形CDEF面积相等。它们各自减去三角形DCG的面积,则剩下的四边形ADGB和四边形GCFE的面积也相等。所以可以通过求四边形ADGB的面积来求涂色部分的面积。
答:涂色部分的面积是 60 平方米。
解析:因为长方形ABCD的长与平行四边形CDEF的底相等,长方形ABCD的宽和平行四边形CDEF的高相等,所以长方形ABCD和平行四边形CDEF面积相等。它们各自减去三角形DCG的面积,则剩下的四边形ADGB和四边形GCFE的面积也相等。所以可以通过求四边形ADGB的面积来求涂色部分的面积。
解析：
【分析】
解题时先观察图形特征：首先平行四边形CDEF和长方形ABCD同底等高，底均为12米，高均为8米，因此二者面积相等。两个图形的公共重叠部分是三角形DCG，那么平行四边形减去重叠部分得到的涂色面积，与长方形减去重叠部分得到的梯形ADGB面积相等，这样就可以把求不规则涂色部分面积的问题，转化为求规则梯形面积的问题，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
1. 首先确认面积关系：长方形ABCD的长是12米、宽是8米，平行四边形CDEF的底等于长方形的长12米，高等于长方形的宽8米，因此二者面积相等。
2. 等积转化：两个图形同时减去公共重叠部分三角形DCG的面积，剩余部分面积仍然相等，即涂色部分面积 = 梯形ADGB的面积。
3. 计算梯形面积：梯形ADGB的上底为$8-6=2$米，下底为8米，高为12米，根据梯形面积公式$S=(a+b)×h÷2$，代入得：
$(8-6+8)×12÷2=10×12÷2=60$（平方米）
【答案】
60平方米
【知识点】
等积变换，梯形面积计算，平行四边形面积特征
【点评】
本题结合生活情境考查图形面积的转化思想，无需直接计算不规则涂色部分的面积，通过观察图形间的面积关系转化为熟悉的梯形面积求解，能够锻炼图形特征识别能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：首先平行四边形CDEF和长方形ABCD同底等高，底均为12米，高均为8米，因此二者面积相等。两个图形的公共重叠部分是三角形DCG，那么平行四边形减去重叠部分得到的涂色面积，与长方形减去重叠部分得到的梯形ADGB面积相等，这样就可以把求不规则涂色部分面积的问题，转化为求规则梯形面积的问题，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
1. 首先确认面积关系：长方形ABCD的长是12米、宽是8米，平行四边形CDEF的底等于长方形的长12米，高等于长方形的宽8米，因此二者面积相等。
2. 等积转化：两个图形同时减去公共重叠部分三角形DCG的面积，剩余部分面积仍然相等，即涂色部分面积 = 梯形ADGB的面积。
3. 计算梯形面积：梯形ADGB的上底为$8-6=2$米，下底为8米，高为12米，根据梯形面积公式$S=(a+b)×h÷2$，代入得：
$(8-6+8)×12÷2=10×12÷2=60$（平方米）
【答案】
60平方米
【知识点】
等积变换，梯形面积计算，平行四边形面积特征
【点评】
本题结合生活情境考查图形面积的转化思想，无需直接计算不规则涂色部分的面积，通过观察图形间的面积关系转化为熟悉的梯形面积求解，能够锻炼图形特征识别能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
六、运用割补法解决面积问题
10. 红光小学有一条“Z”字形绿化带（如图，单位：米），这条绿化带的面积是多少平方米？
10. 红光小学有一条“Z”字形绿化带（如图，单位：米），这条绿化带的面积是多少平方米？
答案：
10. $50-10=40$(米) $(40+38)×5+20×5=490$(平方米)
答:这条绿化带的面积是 490 平方米。
解析:如图(单位:米),运用割补法将“Z”字形进行转化。
10. $50-10=40$(米) $(40+38)×5+20×5=490$(平方米)
答:这条绿化带的面积是 490 平方米。
解析:如图(单位:米),运用割补法将“Z”字形进行转化。
解析：
【分析】
遇到不规则的“Z”字形绿化带，直接计算面积比较困难，我们可以用割补平移的方法将图形转化为已经学过的规则图形来求解。首先把绿化带拆分为上下两个横向的长方形和中间的平行四边形三部分：先计算上下两个长方形的总面积，两个长方形的宽都是5米，下方长方形的长可通过总长度50米减去右上角的10米得到，上方长方形的长已知为38米，用两个长的和乘宽就能得到这两部分的面积；再计算中间平行四边形的面积，它的底是5米，高是中间空白部分的高度20米，用底乘高即可算出；最后把两部分面积相加就是绿化带的总面积。
【解析】
第一步：计算下方横向长方形的长：
$50-10=40$（米）
第二步：计算上下两个横向长方形与中间平行四边形的总面积，列综合算式计算：
$(40+38)×5+20×5$
$=78×5+100$
$=390+100$
$=490$（平方米）
【答案】
10. $50-10=40$(米) $(40+38)×5+20×5=490$(平方米)
答:这条绿化带的面积是 490 平方米。
解析:如图(单位:米),运用割补法将“Z”字形进行转化。
【知识点】
割补法求面积、长方形面积计算、平行四边形面积计算
【点评】
本题考查不规则组合图形的面积计算，核心是通过割补平移的方法将陌生的不规则图形转化为熟悉的长方形、平行四边形等规则图形，再代入对应面积公式求解，能有效培养图形转化能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
遇到不规则的“Z”字形绿化带，直接计算面积比较困难，我们可以用割补平移的方法将图形转化为已经学过的规则图形来求解。首先把绿化带拆分为上下两个横向的长方形和中间的平行四边形三部分：先计算上下两个长方形的总面积，两个长方形的宽都是5米，下方长方形的长可通过总长度50米减去右上角的10米得到，上方长方形的长已知为38米，用两个长的和乘宽就能得到这两部分的面积；再计算中间平行四边形的面积，它的底是5米，高是中间空白部分的高度20米，用底乘高即可算出；最后把两部分面积相加就是绿化带的总面积。
【解析】
第一步：计算下方横向长方形的长：
$50-10=40$（米）
第二步：计算上下两个横向长方形与中间平行四边形的总面积，列综合算式计算：
$(40+38)×5+20×5$
$=78×5+100$
$=390+100$
$=490$（平方米）
【答案】
10. $50-10=40$(米) $(40+38)×5+20×5=490$(平方米)
答:这条绿化带的面积是 490 平方米。
解析:如图(单位:米),运用割补法将“Z”字形进行转化。
【知识点】
割补法求面积、长方形面积计算、平行四边形面积计算
【点评】
本题考查不规则组合图形的面积计算，核心是通过割补平移的方法将陌生的不规则图形转化为熟悉的长方形、平行四边形等规则图形，再代入对应面积公式求解，能有效培养图形转化能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
11.如图(单位:厘米),涂色部分是5个正方形,它们的总面积是多少平方厘米？
答案：11. $(4+10+4)×4×2+10×10=244$(平方厘米)
答:它们的总面积是 244 平方厘米。
解析:通过割补,可以把涂色部分转化成两个长为 $4+10+4=18$(厘米)、宽为 4 厘米的长方形和一个边长为10厘米的正方形。
答:它们的总面积是 244 平方厘米。
解析:通过割补,可以把涂色部分转化成两个长为 $4+10+4=18$(厘米)、宽为 4 厘米的长方形和一个边长为10厘米的正方形。
解析：
【分析】
这道题求5个涂色正方形的总面积，不要直接计算中间斜放正方形的面积（暂未学习相关边长计算方法），我们可以用割补法转化图形计算：观察图形可知，我们可以把4个角落的小涂色正方形和中间斜正方形周围的部分进行拼接，转化成我们学过的长方形和正方形，分别计算面积再求和即可；也可以用“整体面积-空白部分面积”的思路，先算外侧大正方形面积，减去4个空白直角三角形的面积得到结果。
【解析】
按照割补法计算：
1. 先计算拼接后长方形的长：$4+10+4=18$（厘米）
2. 2个长18厘米、宽4厘米的长方形总面积：$18×4×2=144$（平方厘米）
3. 中间边长10厘米的正方形面积：$10×10=100$（平方厘米）
4. 涂色部分总面为两部分面积之和：$144+100=244$（平方厘米）
【答案】
它们的总面积是244平方厘米。
【知识点】
割补法求面积、长方形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是把无法直接计算的不规则图形面积，通过转化思想变成熟悉的规则图形面积求解，能有效锻炼图形观察能力和转化思维。
【难度系数】
0.6
这道题求5个涂色正方形的总面积，不要直接计算中间斜放正方形的面积（暂未学习相关边长计算方法），我们可以用割补法转化图形计算：观察图形可知，我们可以把4个角落的小涂色正方形和中间斜正方形周围的部分进行拼接，转化成我们学过的长方形和正方形，分别计算面积再求和即可；也可以用“整体面积-空白部分面积”的思路，先算外侧大正方形面积，减去4个空白直角三角形的面积得到结果。
【解析】
按照割补法计算：
1. 先计算拼接后长方形的长：$4+10+4=18$（厘米）
2. 2个长18厘米、宽4厘米的长方形总面积：$18×4×2=144$（平方厘米）
3. 中间边长10厘米的正方形面积：$10×10=100$（平方厘米）
4. 涂色部分总面为两部分面积之和：$144+100=244$（平方厘米）
【答案】
它们的总面积是244平方厘米。
【知识点】
割补法求面积、长方形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是把无法直接计算的不规则图形面积，通过转化思想变成熟悉的规则图形面积求解，能有效锻炼图形观察能力和转化思维。
【难度系数】
0.6
一、运用推理法解决面积问题
12. 新素养 推理意识 如图，在三角形ABC中，AD与DC的长度相等，BE与EC的长度相等。已知涂色部分的面积是10 m²，则三角形ABC的面积是(
思路提示：根据同高三角形对应的底之间的关系找出面积之间的关系。
12. 新素养 推理意识 如图，在三角形ABC中，AD与DC的长度相等，BE与EC的长度相等。已知涂色部分的面积是10 m²，则三角形ABC的面积是(
40
)m²。思路提示：根据同高三角形对应的底之间的关系找出面积之间的关系。
答案：12. 40 解析:等底同高的两个三角形面积相等。因为BE与EC的长度相等,所以三角形BED的面积和三角形DEC的面积相等,所以三角形BDC的面积是 $10×2=20(\mathrm{m}^2)$。因为AD与DC的长度相等,所以三角形BDC和三角形ABD的面积相等,所以三角形ABC的面积是 $20×2=40(\mathrm{m}^2)$。
解析：
【分析】
解题时我们可以依据“等底同高的三角形面积相等”的性质逐步推导。首先观察涂色部分是△DEC，第一步先看BC边上的点E，BE和EC长度相等，说明△BED和△DEC是同高且底相等的两个三角形，二者面积相等，可先求出△BDC的面积；第二步再看AC边上的点D，AD和DC长度相等，说明△ABD和△BDC也是同高且底相等的两个三角形，面积也相等，用△BDC的面积乘2即可得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 因为BE=EC，△BED与△DEC同高，根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ BED}=S_{△ DEC}=10\mathrm{m}^2$，
所以$S_{△ BDC}=10×2=20\mathrm{m}^2$。
2. 因为AD=DC，△ABD与△BDC同高，根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABD}=S_{△ BDC}=20\mathrm{m}^2$，
所以$S_{△ ABC}=20×2=40\mathrm{m}^2$。
【答案】
40
【知识点】
等底同高三角形面积相等、三角形面积与底的关系
【点评】
本题考查利用三角形底和高的关系推导面积，解题的关键是准确找到有公共高、底相等的三角形，逐步推导各部分面积的关系，能有效锻炼逻辑推理意识。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以依据“等底同高的三角形面积相等”的性质逐步推导。首先观察涂色部分是△DEC，第一步先看BC边上的点E，BE和EC长度相等，说明△BED和△DEC是同高且底相等的两个三角形，二者面积相等，可先求出△BDC的面积；第二步再看AC边上的点D，AD和DC长度相等，说明△ABD和△BDC也是同高且底相等的两个三角形，面积也相等，用△BDC的面积乘2即可得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 因为BE=EC，△BED与△DEC同高，根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ BED}=S_{△ DEC}=10\mathrm{m}^2$，
所以$S_{△ BDC}=10×2=20\mathrm{m}^2$。
2. 因为AD=DC，△ABD与△BDC同高，根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABD}=S_{△ BDC}=20\mathrm{m}^2$，
所以$S_{△ ABC}=20×2=40\mathrm{m}^2$。
【答案】
40
【知识点】
等底同高三角形面积相等、三角形面积与底的关系
【点评】
本题考查利用三角形底和高的关系推导面积，解题的关键是准确找到有公共高、底相等的三角形，逐步推导各部分面积的关系，能有效锻炼逻辑推理意识。
【难度系数】
0.7
二、作辅助线巧求面积
13. 新素养 创新意识 如图，$AB=3$厘米，$CF=8$厘米，$CD=7$厘米，$AE=4$厘米，则四边形$ABCD$(涂色部分)的面积是(
思路提示:连接$AC$，涂色部分被分割成了怎样的图形？
13. 新素养 创新意识 如图，$AB=3$厘米，$CF=8$厘米，$CD=7$厘米，$AE=4$厘米，则四边形$ABCD$(涂色部分)的面积是(
26
)平方厘米。思路提示:连接$AC$，涂色部分被分割成了怎样的图形？
答案：13. 26 解析:连接AC,则涂色部分的面积是三角形ADC的面积与三角形ABC的面积之和。
解析：
【分析】
我们要求的四边形ABCD是不规则图形，无法直接用公式计算面积。根据思路提示，我们可以连接AC作辅助线，把涂色部分分割成△ABC和△ADC两个三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，就能得到四边形ABCD的总面积。计算三角形面积时，要找到每个三角形对应的底和高：△ABC的底是AB，AB边上的高是垂直于AB延长线的CF；△ADC的底是CD，CD边上的高是垂直于CD所在直线的AE，再用三角形面积公式分别计算即可。
【解析】
解：连接AC，将四边形ABCD分为△ABC和△ADC两部分。
①计算△ABC的面积：
底AB=3厘米，AB对应的高CF=8厘米
$S_{△ ABC}=底×高÷2=3×8÷2=12$（平方厘米）
②计算△ADC的面积：
底CD=7厘米，CD对应的高AE=4厘米
$S_{△ ADC}=底×高÷2=7×4÷2=14$（平方厘米）
③四边形ABCD的总面积：
$S_{总}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=12+14=26$（平方厘米）
【答案】
26
【知识点】
辅助线分割法，三角形面积计算，不规则图形求面积
【点评】
本题核心是运用转化思想，通过添加辅助线将陌生的不规则图形转化为已经学过的三角形来求解，解题时要注意准确匹配每个三角形对应的底和高，避免混淆高的对应关系。
【难度系数】
0.7
我们要求的四边形ABCD是不规则图形，无法直接用公式计算面积。根据思路提示，我们可以连接AC作辅助线，把涂色部分分割成△ABC和△ADC两个三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，就能得到四边形ABCD的总面积。计算三角形面积时，要找到每个三角形对应的底和高：△ABC的底是AB，AB边上的高是垂直于AB延长线的CF；△ADC的底是CD，CD边上的高是垂直于CD所在直线的AE，再用三角形面积公式分别计算即可。
【解析】
解：连接AC，将四边形ABCD分为△ABC和△ADC两部分。
①计算△ABC的面积：
底AB=3厘米，AB对应的高CF=8厘米
$S_{△ ABC}=底×高÷2=3×8÷2=12$（平方厘米）
②计算△ADC的面积：
底CD=7厘米，CD对应的高AE=4厘米
$S_{△ ADC}=底×高÷2=7×4÷2=14$（平方厘米）
③四边形ABCD的总面积：
$S_{总}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=12+14=26$（平方厘米）
【答案】
26
【知识点】
辅助线分割法，三角形面积计算，不规则图形求面积
【点评】
本题核心是运用转化思想，通过添加辅助线将陌生的不规则图形转化为已经学过的三角形来求解，解题时要注意准确匹配每个三角形对应的底和高，避免混淆高的对应关系。
【难度系数】
0.7
14. 新趋势 思维过程 下面是一个机器零件的示意图(单位:厘米)。它的面积是(
56
)平方厘米。答案：
14. 56 解析:如图(单位:厘米),连接AD,则零件的面积是梯形ABCD的面积与三角形ADE的面积之差。
14. 56 解析:如图(单位:厘米),连接AD,则零件的面积是梯形ABCD的面积与三角形ADE的面积之差。
解析：
【分析】
该图形是不规则组合图形，无法直接计算面积，我们可以用补全法求解：连接AD后可将图形补为梯形ABCD，零件的面积就等于梯形ABCD的面积减去凹进去的直角三角形ADE的面积。只需要分别确定梯形的上底、下底、高，以及直角三角形两条直角边的长度，代入对应面积公式计算后做差即可得到结果。
【解析】
1. 计算梯形ABCD的面积：
梯形面积公式：$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2$
已知梯形上底为4厘米，下底为16厘米，高为7厘米，代入公式得：
$S_{梯形}=(4+16)×7÷2=20×7÷2=70$（平方厘米）
2. 计算直角三角形ADE的面积：
三角形面积公式：$S_{三角形}=底×高÷2$
已知直角三角形两条直角边分别为4厘米、7厘米，代入公式得：
$S_{三角形}=4×7÷2=14$（平方厘米）
3. 计算零件的面积：
$S_{零件}=S_{梯形}-S_{三角形}=70-14=56$（平方厘米）
【答案】
56
解析:如图(单位:厘米),连接AD,则零件的面积是梯形ABCD的面积与三角形ADE的面积之差。
【知识点】
梯形面积计算、三角形面积计算、组合图形面积求解
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，解题核心是通过补全法将不规则图形转化为两个规则图形的面积差，能有效锻炼学生的图形转化思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
该图形是不规则组合图形，无法直接计算面积，我们可以用补全法求解：连接AD后可将图形补为梯形ABCD，零件的面积就等于梯形ABCD的面积减去凹进去的直角三角形ADE的面积。只需要分别确定梯形的上底、下底、高，以及直角三角形两条直角边的长度，代入对应面积公式计算后做差即可得到结果。
【解析】
1. 计算梯形ABCD的面积：
梯形面积公式：$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2$
已知梯形上底为4厘米，下底为16厘米，高为7厘米，代入公式得：
$S_{梯形}=(4+16)×7÷2=20×7÷2=70$（平方厘米）
2. 计算直角三角形ADE的面积：
三角形面积公式：$S_{三角形}=底×高÷2$
已知直角三角形两条直角边分别为4厘米、7厘米，代入公式得：
$S_{三角形}=4×7÷2=14$（平方厘米）
3. 计算零件的面积：
$S_{零件}=S_{梯形}-S_{三角形}=70-14=56$（平方厘米）
【答案】
56
解析:如图(单位:厘米),连接AD,则零件的面积是梯形ABCD的面积与三角形ADE的面积之差。
【知识点】
梯形面积计算、三角形面积计算、组合图形面积求解
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，解题核心是通过补全法将不规则图形转化为两个规则图形的面积差，能有效锻炼学生的图形转化思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.7