【分析】首先回忆因数和倍数的定义：在非0整数的乘法算式中，相乘的两个数是它们乘积的因数，乘积是这两个相乘数的倍数。本题给出的是整数乘法算式$13×2=26$，只需要把算式中的数和因数、倍数的定义对应起来即可完成填空。
【解析】根据因数和倍数的定义：如果两个非0整数相乘得到另一个整数，那么这两个相乘的数就是所得乘积的因数，所得的乘积就是这两个相乘数的倍数。在算式$13×2=26$中，13和2都是非0整数，二者相乘得到26，因此13和2是26的因数，26是13和2的倍数。
【答案】因；倍
【知识点】因数与倍数的意义
【点评】本题属于基础概念题，重点考查对因数和倍数定义的掌握，明确因数和倍数是相互依存的关系，结合乘法算式的各部分关系即可快速解答。
【难度系数】0.9

【分析】
解题时首先回忆因数的定义：在没有余数的整数除法中，除数和商都是被除数的因数。先判断给出的算式$45÷15=3$属于商为整数且无余数的整数除法，再对应找到算式中的除数、商、被除数，就能确定对应的因数和所属的数。
【解析】
根据因数的概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数。
本题中$45÷15=3$，商3是整数，计算没有余数，其中除数是15，商是3，被除数是45，因此3和15是45的因数。
【答案】
3；15；45
【知识点】
因数的概念
【点评】
本题考查因数的基础定义，属于基础概念题，掌握因数的判断规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
找一个数的因数时，我们可以用配对法，从1开始按顺序找能整除这个数的数，每找到一个除数，对应的商也是这个数的因数，避免重复或遗漏；找指定范围内一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……自然数，直到乘积超出指定范围为止，选取乘积在范围内的结果即可。
【解析】
1. 找26的因数：
从1开始试除：
26÷1=26，因此1和26是26的因数；
26÷2=13，因此2和13是26的因数；
继续试3、4……12，都不能整除26，且13及更大的数已经和前面的数配对过，因此26的因数为1,2,13,26。
2. 找50以内8的倍数：
依次计算8乘正整数的积：
8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48，8×7=56（56＞50，不符合要求），因此50以内8的倍数为8,16,24,32,40,48。
【答案】
1,2,13,26 8,16,24,32,40,48
【知识点】
因数的找法，倍数的找法
【点评】
本题是因数和倍数相关的基础题型，重点考查找因数、倍数的基本方法，解题时注意找因数要有序配对避免遗漏，找倍数要牢记题目限定的范围即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题首先要用到“一个数的最小倍数是它本身”这个基础性质，先根据题目给出的最小倍数是30，确定这个数就是30；接下来找30的所有因数时，要按从小到大的顺序成对查找，这样能有效避免遗漏或者重复，最后把找到的所有因数按顺序整理出来即可。
【解析】
第一步：根据倍数的性质可知，一个数的最小倍数是它本身，已知这个数的最小倍数是30，因此这个数就是30。
第二步：有序查找30的因数：
1×30=30，所以1、30是30的因数；
2×15=30，所以2、15是30的因数；
3×10=30，所以3、10是30的因数；
5×6=30，所以5、6是30的因数。
整理可得30的所有因数为1、2、3、5、6、10、15、30。
【答案】
1,2,3,5,6,10,15,30
【知识点】
1.最小倍数性质 2.找因数的方法 3.因数的概念
【点评】
本题是因数和倍数的基础常规题，解题核心是牢记“一个数的最小倍数是它本身”，查找因数时注意有序成对列举，就能避免漏写、错写。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先明确星期数和天数的对应关系：1个星期有7天，所以总天数=星期数×7，按照这个规律先计算出表格中第4周、第5周对应的天数。再观察所有天数的特征，可发现它们都是7和正整数相乘的结果，因此都是7的倍数。最后结合倍数的性质：一个数的倍数可以通过这个数乘任意非零自然数得到，而非零自然数有无数个，因此一个数的倍数有无数个。
【解析】
1. 计算表格空缺的天数：
4个星期的天数：$4×7=28$
5个星期的天数：$5×7=35$
2. 观察天数列的数：7、14、21、28、35……都可以表示为7与正整数的乘积，因此这些天数都是7的倍数。
3. 由于非零自然数的个数是无限的，用7乘任意非零自然数都能得到一个7的倍数，因此7的倍数有无数个。
【答案】
28、35、7、无数
【知识点】
表内乘法计算；倍数的含义；倍数的特征
【点评】
本题结合生活中星期和天数的对应关系出题，既考查了基础乘法计算能力，又考查了对倍数相关概念的掌握，题目贴近生活，理解难度低。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题可分两步推进：
第一步解决青蛙跳路线的问题：先明确3的倍数的判定规则：能被3整除的数就是3的倍数，接着在青蛙所在的数轴（数的范围2~16）中找出所有3的倍数，把这些数按从小到大的顺序用箭头连接，即可得到青蛙的跳跃路线。
第二步解决袋鼠跳路线的问题：先明确因数的定义：若整数a除以非零整数b，商为整数且无余数，b就是a的因数。先找出14的所有正因数，再在袋鼠所在的数轴上把这些因数按从大到小的顺序用箭头连接，即可得到袋鼠的跳跃路线。
【解析】
（1）先筛选2~16范围内的3的倍数：
$3÷3=1$，$6÷3=2$，$9÷3=3$，$12÷3=4$，$15÷3=5$，符合要求的数为3、6、9、12、15，按顺序连接这些数就是青蛙的跳跃路线。
（2）先找14的所有因数：
$14÷1=14$，$14÷2=7$，$14÷7=2$，$14÷14=1$，14的因数为1、2、7、14，按14→7→2→1的顺序连接这些数就是袋鼠的跳跃路线。
【答案】
(1) 青蛙跳的路线见上半部分
(2) 袋鼠跳的路线见下半部分
【知识点】
1. 3的倍数判定
2. 因数的找法
【点评】
本题结合数轴考察倍数和因数的基础概念，解题核心是准确找出指定范围内符合要求的倍数和因数，侧重对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先要明确因数和倍数的研究前提：只有非0自然数之间才有因数、倍数关系，小数不在研究范围内，据此先排除不符合范围的选项；再对剩余的整数选项，判断较大数除以较小数的商是否为整数且无余数，满足该条件的两个数就有因数、倍数关系。
【解析】
根据因数和倍数的定义：在非0自然数的除法中，如果商是整数且没有余数，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
逐个分析选项：
A. 14÷5=2.8，商不是整数，二者无因数、倍数关系；
B. 0.2和1.2都是小数，不属于因数、倍数的研究范围，排除；
C. 65÷13=5，商是整数且没有余数，13是65的因数，65是13的倍数，二者有因数、倍数关系；
D. 0.5是小数，不属于因数、倍数的研究范围，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因数与倍数的概念
2. 整除的判定
【点评】
本题是易错题，易错点在于容易忽略因数和倍数仅研究非0自然数，误选含小数的选项。解题时可先快速排除含小数的选项，再验证剩余整数是否满足整除条件，能有效提升正确率。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决“裁剪没有剩余”的问题，首先要明确其数学含义：大彩纸的长和宽需要分别能被小彩纸的长（5cm）、宽（3cm）整除（可将大彩纸的长对应小彩纸的长、宽对应小彩纸的宽，也可交叉对应，只要两个方向都没有余数即可）。接下来我们只需要逐个验证每个选项是否符合这个要求，就能选出最合适的规格。
【解析】
小彩纸的两条边长分别为5cm和3cm，我们依次判断各选项：
选项A：20cm×15cm
20÷5=4，15÷3=5，两个除法都没有余数，说明可以正好裁剪出4×5=20张小彩纸，没有剩余。
选项B：35cm×10cm
35÷5=7，但10÷3=3……1，有余数；若交叉对应，35÷3=11……2，10÷5=2，仍然有余数，不符合要求。
选项C：21cm×12cm
21÷3=7，但12÷5=2……2，有余数；若交叉对应，21÷5=4……1，12÷3=4，仍然有余数，不符合要求。
选项D：18cm×18cm
18÷3=6，但18÷5=3……3，有余数，无论怎么对应都无法避免剩余，不符合要求。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
因数与倍数、公倍数的实际应用
【点评】
这道题是公倍数相关知识在实际生活中的典型应用，解题的核心是把“裁剪无剩余”的生活问题转化为数学上的整除判断问题，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时可以从因数和倍数的定义出发推导，也可以用举实例的方法验证。首先明确已知条件的含义：A是B的倍数，说明A能被B整除，即A÷B的结果是非0自然数；C是B的因数，说明B能被C整除，即B÷C的结果是非0自然数。将两个整除关系结合，可推出A能被C整除，即可得到A和C的关系。如果觉得推导抽象，还可以代入符合条件的具体数字验证，快速得到答案。
【解析】
方法一：定义推导
1. 由“A是B的倍数”可得：$ A = B × k $（$ k $为非0自然数）；
2. 由“C是B的因数”可得：$ B = C × m $（$ m $为非0自然数）；
3. 将$ B = C × m $代入$ A = B × k $，可得$ A = C × m × k $，$ m、k $都是非0自然数，因此$ m × k $也是非0自然数，说明A是C的倍数。
另外注意，因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数，因此选项C的表述本身错误。
方法二：举例验证
假设B=4，取A为B的倍数：A=8；取C为B的因数：C=2。此时8是2的倍数，符合A是C的倍数的结论，多举几组符合条件的数字，结论都成立。
【答案】
B
【知识点】
1. 因数与倍数的意义
2. 因数与倍数的依存性
【点评】
本题主要考察对因数和倍数概念的理解与应用，既可以通过逻辑推导得出结论，也可以用举例法快速验证，解题时要注意因数和倍数是相互依存的，不能单独表述某数是因数或倍数。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路分为两部分：①平均分组说明每组人数是28的因数，我们先找出28的所有因数，再按照“每组人数大于1且小于10”的要求筛选出符合条件的因数，符合条件的因数的个数就是分法的种数。②每人浇的棵数相同，说明总棵数是6的倍数，我们先明确“40多棵”的范围是41~49，再找出这个范围内6的倍数，就是可能种好的树的棵数。
【解析】
1. 计算分组的分法：
先列出28的所有因数：1、2、4、7、14、28。
按照每组人数大于1且小于10的要求筛选，符合条件的因数有2、4、7，共3个，即一共有3种分法。
2. 计算可能的种树总棵数：
“40多棵”说明总棵数在41~49之间，且总棵数是6的倍数。
计算6的倍数：6×7=42，6×8=48，6×9=54（超过49，不符合要求），6×6=36（小于41，不符合要求），因此符合条件的总棵数是42和48。
【答案】
一共有3种分法；可能种好了42棵或48棵树。
【知识点】
因数的认识，倍数的认识，因数与倍数的实际应用
【点评】
本题结合植树节的生活情境考查因数和倍数的实际应用，解题核心是先根据“平均分”“每人浇的棵数相同”的特征判断所求数是对应数的因数或倍数，再结合题目给定的范围筛选结果，解题时注意不要遗漏或多算不符合范围的数值。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确4的倍数的判定方法：如果一个数是4与某个非零自然数的乘积，那么这个数就是4的倍数。先分析单只船的收费：每只船的收费=单船乘坐人数×每人乘船费用，已知每人付4元，因此单船费用就是4乘单船人数，不管船是否坐满，乘坐人数都是非零自然数，可据此判断单船费用是否为4的倍数。再分析全天总收费：全天总收费=全天乘船总人数×4，总人数也是非零自然数，即可判断全天收费是否为4的倍数。
【解析】
1. 分析每只船的收费：
已知每人乘船需付4元，因此每只船的收费=单只船乘坐人数×4，无论大船、小船是否坐满，单只船乘坐的人数都是非零自然数，因此每只船的费用都是4和一个非零自然数的乘积，所以每只船收取的费用都是4的倍数。
2. 分析全天收取的总费用：
全天总收费=全天乘船总人数×4，全天乘船总人数是非零自然数，因此总费用是4和一个非零自然数的乘积，所以全天收取的费用是4的倍数。
【答案】
每只船所收取的费用都是4的倍数。因为乘坐游船每人都付4元，所以大船和小船无论是否坐满，每只船所收取的费用都是4元与每只船乘坐的人数的乘积。
全天所收取的费用是4的倍数。因为乘坐游船每人都付4元，所以全天所收取的费用是4元与全天乘船总人数的乘积。
【知识点】
倍数的概念，乘法的实际应用
【点评】
本题结合生活中乘船收费的实际场景，考查对倍数概念的理解和应用，注重考查用数学知识解释生活现象的逻辑说理能力。
【难度系数】
0.8