【分析】
解题时首先要明确：用n个同样的正方形拼长方形，长方形的长与宽的乘积等于n，因此能拼成的长方形种数等于n可以拆成的不同的两个正整数乘积的组数（注意长＞宽，避免重复计数）；接下来找出n的所有因数，统计因数个数；最后根据定义判断质数和合数：只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数。
【解析】
1. 当n=17时：
乘积为17的正整数组合只有1×17，因此可拼成1种长方形；
17的因数为1、17，共2个；
因数只有2个，因此17是质数。
2. 当n=18时：
乘积为18的正整数组合有1×18、2×9、3×6，共3组，因此可拼成3种长方形；
18的因数为1、2、3、6、9、18，共6个；
因数个数大于2，因此18是合数。
3. 当n=19时：
乘积为19的正整数组合只有1×19，因此可拼成1种长方形；
19的因数为1、19，共2个；
因数只有2个，因此19是质数。
4. 当n=20时：
乘积为20的正整数组合有1×20、2×10、4×5，共3组，因此可拼成3种长方形；
20的因数为1、2、4、5、10、20，共6个；
因数个数大于2，因此20是合数。
【答案】
|正方形的个数(n)|可以拼成几种长方形|n的因数的个数|n是质数还是合数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|17|1|2|质数|
|18|3|6|合数|
|19|1|2|质数|
|20|3|6|合数|
【知识点】
因数的认识；质数与合数；图形拼组
【点评】
本题将图形拼组和数的性质相结合，既考查了对因数、质数、合数基础概念的掌握情况，也能引导学生发现数学知识之间的关联，提升灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，我们需要先回忆质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据特殊数字的特征分别确定“*”和“#”代表的数字，最后补全密码即可。首先找符合“既是质数又是偶数”的数字：质数只有1和它本身两个因数，偶数是2的倍数，只有2同时满足这两个条件；再找符合“既是奇数又是合数的一位数”：一位数里的奇数有1、3、5、7、9，其中只有9除了1和本身还有因数3，是合数，确定两个特殊数字后就能得到完整密码。
【解析】
1. 确定“*”代表的数字：既是质数又是偶数的数只有2，因此*=2；
2. 确定“#”代表的数字：一位数中既是奇数又是合数的数只有9（9的因数有1、3、9，且9不是2的倍数），因此#=9；
3. 补全密码：原密码为*5148#，替换后得到完整密码251489。
【答案】
251489
【知识点】
质数与合数，奇数与偶数
【点评】
本题是基础概念的综合应用题，解题核心是牢记特殊数字的性质：所有自然数中只有2既是质数又是偶数，一位数中只有9既是奇数又是合数，掌握这些特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先明确□9是两位数，因此□里只能填1~9的自然数。解题时先回忆质数、合数的定义：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身外还有其他因数的数。接下来我们将1~9依次填入□，逐个判断得到的两位数是质数还是合数，最后分类汇总结果即可。
【解析】
我们依次代入十位数字判断：
1. 当□填1时，数为19，只有1和19两个因数，是质数；
2. 当□填2时，数为29，只有1和29两个因数，是质数；
3. 当□填3时，数为39，39=3×13，除1和39外还有3、13两个因数，是合数；
4. 当□填4时，数为49，49=7×7，除1和49外还有因数7，是合数；
5. 当□填5时，数为59，只有1和59两个因数，是质数；
6. 当□填6时，数为69，69=3×23，除1和69外还有3、23两个因数，是合数；
7. 当□填7时，数为79，只有1和79两个因数，是质数；
8. 当□填8时，数为89，只有1和89两个因数，是质数；
9. 当□填9时，数为99，99=9×11，除1和99外还有其他因数，是合数。
综上，使□9为质数的十位数字是1、2、5、7、8，使□9为合数的十位数字是3、4、6、9。
【答案】
要使□9是质数，□里可以填1,2,5,7,8；要使□9是合数，□里可以填3,4,6,9
【知识点】
质数与合数的认识；因数的判断
【点评】
本题考查质数与合数的概念辨析，采用枚举法逐个验证即可得到结果，解题时需注意对39、49这类易混淆数的因数判断，避免漏看非1和本身的因数导致错判。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先我们要回忆质数和合数的定义：只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数。解题时我们可以逐个排查每个选项，只要选项里存在质数就直接排除，最终选出三个数都是合数的选项，熟记100以内的常见质数能加快解题速度。
【解析】
先明确判定规则：只有1和它本身两个因数的数为质数，除1和本身外还有其他因数的数为合数。
逐个分析选项：
A选项：2只有1和2两个因数，属于质数，不符合要求，排除；
B选项：23只有1和23两个因数，属于质数，不符合要求，排除；
C选项：97只有1和97两个因数，属于质数，不符合要求，排除；
D选项：39的因数有1、3、13、39，是合数；57的因数有1、3、19、57，是合数；81的因数有1、3、9、27、81，是合数，三个数均为合数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
质数与合数的判定、100以内质数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握质数、合数的定义，牢记常见的100以内质数即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先回忆相关基础知识：一是正方形的周长计算公式，二是质数、合数、偶数的定义。第一步先根据周长公式写出周长和边长的关系，再结合边长是质数的条件，分别判断周长是否符合合数、偶数的特征，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
首先，正方形的周长=边长×4。
1. 判断是否为合数：合数的定义是除了1和它本身之外还有其他因数的数。已知边长是质数，那么周长的因数除了1和周长本身外，至少还有4、边长这两个因数，因此周长一定是合数。
2. 判断是否为偶数：4是偶数，根据“任何数乘偶数的积都是偶数”的规律，不管边长是哪个质数，边长×4的结果一定是偶数，因此周长也一定是偶数。
综上，周长既是合数也是偶数，B和C都正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形周长计算；质数与合数的定义；偶数的特征
【点评】
本题将图形周长计算和数的分类知识点结合考查，需要熟练掌握相关概念，综合判断事物的多重属性，避免只判断一种属性就漏选正确答案。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆奇数、偶数、质数、合数的定义，尤其要记住2和1这两个特殊数字的性质，再依次判断4个说法的正误，最后统计错误说法的数量就能得出答案。
【解析】
我们逐个判断每个说法的正误：
1. 判断①：偶数是能被2整除的数，合数是除了1和它本身外还有其他因数的数。2是偶数，但2的因数只有1和2，属于质数，不是合数，因此①的说法错误。
2. 判断②：质数是只有1和它本身两个因数的数，如果质数不是2，那它就不能被2整除，就是奇数，因此除2外所有的质数都是奇数，②的说法正确。
3. 判断③：非0自然数按能否被2整除，只分为奇数和偶数两类，因此“一个非0自然数不是奇数就是偶数”是对的；不是合数的数包括1和质数，1既不是质数也不是合数，因此“不是合数却不一定是质数”也是对的，所以③的说法正确。
4. 判断④：两个质数的积，它的因数至少有1、这两个质数、积本身，除了1和它本身外还有其他因数，属于合数，一定不是质数，因此④的说法正确。
综上，只有1个错误的说法，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.奇数与偶数 2.质数与合数
【点评】
本题重点考查对奇偶数、质合数概念的理解，解题的关键是牢记2是唯一的偶质数、1既不是质数也不是合数这两个特殊结论，避免因忽略特殊数出现判断失误。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题前先明确相关概念：①质数：只有1和它本身两个因数的自然数；②合数：除了1和它本身还有其他因数的自然数；③奇数：不能被2整除的整数，其中最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。我们逐个分析三个猜数问题：1. 先列出比5大、比10小的所有自然数，再从中筛选出质数即可；2. 分别确定十位、个位上的数字，再组合成两位数；3. 先确定个位数字是最小的合数，再根据十位和个位数字的乘积求出十位数字，最后组合成两位数。
【解析】
1. 求第一个数：比5大、比10小的数有6、7、8、9，其中只有7的因数只有1和7，是质数，所以这个数是7。
2. 求第二个数：最小的奇数是1，即十位数字是1；最小的质数是2，即个位数字是2，组合成的两位数是12。
3. 求第三个数：最小的合数是4，即个位数字是4；已知十位和个位数字的积是36，所以十位数字是$36÷4=9$，组合成的两位数是94。
【答案】
7 12 94
【知识点】
质数与合数；奇数的认识；数位的意义
【点评】
本题侧重考查对基础数论概念的记忆和应用，只要牢记最小的奇数、最小的质数、最小的合数这些特殊数值，结合给出的条件逐步推导就能得出结果。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时首先从题目给出的条件入手：手工社团同学人数大于1，每名同学制作的书签数量也大于1，总书签数等于同学人数乘每人制作的书签数，由此可推出总书签数除了1和它本身外，还有其他因数，也就是总书签数一定是合数。接下来只需要判断63、61、67三个数中哪个是合数，就能确定谁数对了。
【解析】
第一步：分析总书签数的特征
已知同学人数≥2，每人制作的书签数≥2，总书签数=同学人数×每人制作的书签数，因此总书签数除了1和它本身之外还有其他因数，符合合数的定义，即总书签数一定是合数。
第二步：分别判断三个数是质数还是合数
61的因数只有1和61，是质数；
67的因数只有1和67，是质数；
63的因数有1、3、7、9、21、63，除了1和它本身还有其他因数，是合数。
只有63符合总书签数是合数的要求，所以明明数对了。
【答案】
明明数对了。理由:手工社团的同学们不止1名,每名同学制作的书签数量相同且不止一张,说明树叶书签的总张数除了1和它本身还有其他因数,所以树叶书签的总张数是合数,只有63是合数,所以明明数对了。
【知识点】
1. 质数与合数的判定
2. 因数的意义
【点评】
本题结合手工制作的生活情境，考查对质数、合数概念的理解与实际应用能力，解题的核心是先根据题目条件推导总数量的属性，再结合质数、合数的定义判断即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时我们可以按步骤思考：首先回忆长方形周长公式，由周长算出长与宽的和；再结合“长和宽都是质数”的条件，罗列出所有相加等于长+宽的质数组合；最后根据长方形面积公式分别计算每组的面积，比较大小后就能得到最大面积。也可以利用“两个数和固定时，两数差越小乘积越大”的规律，快速判断最大面积对应的组合。
【解析】
1. 计算长与宽的和：
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽})×2$，已知周长为40分米，可得$\mathrm{长}+\mathrm{宽}=40÷2=20$（分米）。
2. 找出和为20的质数组合：
20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中和为20的质数对有两组：3和17、7和13。
3. 计算面积并比较大小：
第一组面积：$3×17=51$（平方分米）
第二组面积：$7×13=91$（平方分米）
因为$91＞51$，所以最大面积是91平方分米。
【答案】
这块长方形警示牌的面积最大是91平方分米。
【知识点】
长方形周长与面积计算、质数的概念、和定积大规律
【点评】
本题结合自然科普情境命题，将质数的知识点与长方形周长、面积计算结合考查，既检验了学生对基础概念的掌握情况，也锻炼了学生结合给定条件分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7