9. 豆豆每隔3天去一次图书馆，苗苗每隔5天去一次图书馆，3月24日她们同时去图书馆，下一次两人同一天去图书馆是几月几日？
答案：9. 3+1=4(天) 5+1=6(天) 4和6的最小公倍数是12 31-24=7(天) 12-7=5(日)
答:下一次两人同一天去图书馆是4月5日。
答:下一次两人同一天去图书馆是4月5日。
解析：
【分析】
解题首先要正确理解“每隔几天去一次”的含义：每隔n天去一次，意味着两次去图书馆的间隔天数是n+1天，也就是每(n+1)天去一次。接下来，两人下一次同时去图书馆的间隔天数，就是两人各自去图书馆周期的最小公倍数，因为这个天数要同时满足是两人周期的倍数，最小的符合条件的数就是最小公倍数。最后用起始日期3月24日加上这个间隔天数，结合3月有31天的常识，推算出具体日期即可。
【解析】
第一步：计算两人去图书馆的实际周期
豆豆每隔3天去一次，实际周期为：$3+1=4$（天）
苗苗每隔5天去一次，实际周期为：$5+1=6$（天）
第二步：求两个周期的最小公倍数
4和6的最小公倍数是12，即再过12天两人会再次同时去图书馆。
第三步：推算具体日期
3月有31天，3月24日到3月结束还有：$31-24=7$（天）
12天里剩余的天数进入4月：$12-7=5$（日）
【答案】
4月5日
【知识点】
间隔周期计算、最小公倍数应用、日期推算
【点评】
本题结合生活场景设计，核心易错点是容易误将“每隔几天”的数值直接当作周期计算，只要正确理解间隔的含义，再结合最小公倍数和月份天数常识就能顺利解题。
【难度系数】
0.6
解题首先要正确理解“每隔几天去一次”的含义：每隔n天去一次，意味着两次去图书馆的间隔天数是n+1天，也就是每(n+1)天去一次。接下来，两人下一次同时去图书馆的间隔天数，就是两人各自去图书馆周期的最小公倍数，因为这个天数要同时满足是两人周期的倍数，最小的符合条件的数就是最小公倍数。最后用起始日期3月24日加上这个间隔天数，结合3月有31天的常识，推算出具体日期即可。
【解析】
第一步：计算两人去图书馆的实际周期
豆豆每隔3天去一次，实际周期为：$3+1=4$（天）
苗苗每隔5天去一次，实际周期为：$5+1=6$（天）
第二步：求两个周期的最小公倍数
4和6的最小公倍数是12，即再过12天两人会再次同时去图书馆。
第三步：推算具体日期
3月有31天，3月24日到3月结束还有：$31-24=7$（天）
12天里剩余的天数进入4月：$12-7=5$（日）
【答案】
4月5日
【知识点】
间隔周期计算、最小公倍数应用、日期推算
【点评】
本题结合生活场景设计，核心易错点是容易误将“每隔几天”的数值直接当作周期计算，只要正确理解间隔的含义，再结合最小公倍数和月份天数常识就能顺利解题。
【难度系数】
0.6
10. 李校长把35个足球和42个篮球平均奖励给运动会获一等奖的班级，结果足球多了3个，篮球少了6个。获一等奖的班级最多有多少个？
答案：10. 35-3=32(个) 42+6=48(个) 32和48的最大公因数是16 答:获一等奖的班级最多有16个。
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先要理清分配逻辑：平均分给获奖班级时足球多3个，说明足球减少3个就能正好分完；篮球少6个，说明篮球增加6个就能正好分完。此时获奖班级的数量既是调整后足球数量的因数，也是调整后篮球数量的因数，题目要求“最多有多少个班级”，本质就是求这两个调整后数量的最大公因数。
【解析】
1. 计算正好能平均分配的足球数量：原有35个足球，多了3个，因此需要的足球总数为 $35-3=32$（个）
2. 计算正好能平均分配的篮球数量：原有42个篮球，少了6个，因此需要的篮球总数为 $42+6=48$（个）
3. 求32和48的最大公因数：
32的因数有：1、2、4、8、16、32
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
两者的公因数中最大的是16，因此获一等奖的班级最多有16个。
【答案】
获一等奖的班级最多有16个。
【知识点】
最大公因数应用，最大公因数计算
【点评】
这是典型的生活分配类数学题，解题关键是先将多余的量去掉、不足的量补上，转化为可正好平均分的数量，再结合最大公因数的知识求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理清分配逻辑：平均分给获奖班级时足球多3个，说明足球减少3个就能正好分完；篮球少6个，说明篮球增加6个就能正好分完。此时获奖班级的数量既是调整后足球数量的因数，也是调整后篮球数量的因数，题目要求“最多有多少个班级”，本质就是求这两个调整后数量的最大公因数。
【解析】
1. 计算正好能平均分配的足球数量：原有35个足球，多了3个，因此需要的足球总数为 $35-3=32$（个）
2. 计算正好能平均分配的篮球数量：原有42个篮球，少了6个，因此需要的篮球总数为 $42+6=48$（个）
3. 求32和48的最大公因数：
32的因数有：1、2、4、8、16、32
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
两者的公因数中最大的是16，因此获一等奖的班级最多有16个。
【答案】
获一等奖的班级最多有16个。
【知识点】
最大公因数应用，最大公因数计算
【点评】
这是典型的生活分配类数学题，解题关键是先将多余的量去掉、不足的量补上，转化为可正好平均分的数量，再结合最大公因数的知识求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
11. 新趋势 探索规律 我是小小数学家。
（1）计算发现。
（2）形成猜想。我猜想(
（3）举例验证。猜想正确吗？再举几个例子看看。
（4）运用规律。两个自然数的最大公因数是4，最小公倍数是80。其中一个自然数是20，另一个自然数是多少？
（1）计算发现。
（2）形成猜想。我猜想(
两数之积等于两数的最大公因数乘最小公倍数
)。（3）举例验证。猜想正确吗？再举几个例子看看。
（4）运用规律。两个自然数的最大公因数是4，最小公倍数是80。其中一个自然数是20，另一个自然数是多少？
答案：11.（1）
| 原数A和B | 7和9 | 10和8 | 4和14 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 最大公因数C | 1 | 2 | 2 |
| 最小公倍数D | 63 | 40 | 28 |
| A和B的乘积 | 63 | 80 | 56 |
| C和D的乘积 | 63 | 80 | 56 |
（2）两数之积等于两数的最大公因数乘最小公倍数
（3）猜想正确,举例略
（4）4×80÷20=16 答:另一个自然数是16。
| 原数A和B | 7和9 | 10和8 | 4和14 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 最大公因数C | 1 | 2 | 2 |
| 最小公倍数D | 63 | 40 | 28 |
| A和B的乘积 | 63 | 80 | 56 |
| C和D的乘积 | 63 | 80 | 56 |
（2）两数之积等于两数的最大公因数乘最小公倍数
（3）猜想正确,举例略
（4）4×80÷20=16 答:另一个自然数是16。
解析：
【分析】
解题思路如下：1. 完成表格计算时，先分别用学过的求最大公因数、最小公倍数的方法算出每组数的对应值，再分别计算两数乘积、最大公因数和最小公倍数的乘积，填入表格；2. 对比表格中每组“两数的乘积”和“最大公因数与最小公倍数的乘积”的大小，总结出规律；3. 验证规律时可以任意举两组自然数，按照刚才的计算方式验证是否符合规律即可；4. 解决最后一问时，直接应用总结出的规律：两数乘积=最大公因数×最小公倍数，已知其中一个数，用最大公因数乘最小公倍数的积除以已知数就能得到另一个数。
【解析】
（1）计算表格内容：
① 7和9是互质数：
最大公因数C=1，最小公倍数D=7×9=63，A和B的乘积=7×9=63，C和D的乘积=1×63=63；
② 10和8用短除法计算：
公因数为2，剩余5和4互质，所以最大公因数C=2，最小公倍数D=2×5×4=40，A和B的乘积=10×8=80，C和D的乘积=2×40=80；
③4和14用短除法计算：
公因数为2，剩余2和7互质，所以最大公因数C=2，最小公倍数D=2×2×7=28，A和B的乘积=4×14=56，C和D的乘积=2×28=56；
将上述结果填入表格即可。
（2）观察每组的计算结果，发现每组A和B的乘积都等于C和D的乘积，因此猜想：两个自然数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积。
（3）举例验证：例如取6和9，最大公因数是3，最小公倍数是18，两数乘积6×9=54，最大公因数乘最小公倍数3×18=54，和规律一致，因此猜想正确（举例不唯一）。
（4）根据总结的规律，两数乘积=最大公因数×最小公倍数，因此另一个自然数=（最大公因数×最小公倍数）÷已知自然数，代入数据计算：$4×80÷20=16$。
【答案】
（1）
| 原数A和B | 7和9 | 10和8 | 4和14 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 最大公因数C | 1 | 2 | 2 |
| 最小公倍数D | 63 | 40 | 28 |
| A和B的乘积 | 63 | 80 | 56 |
| C和D的乘积 | 63 | 80 | 56 |
（2）两个自然数的乘积等于两数的最大公因数乘最小公倍数
（3）猜想正确，举例略
（4）另一个自然数是16
【知识点】
最大公因数计算，最小公倍数计算，规律探究应用
【点评】
本题从基础计算出发，引导学生自主探究规律并运用规律解题，既巩固了公因数、公倍数的相关计算方法，也锻炼了归纳推理和知识灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 完成表格计算时，先分别用学过的求最大公因数、最小公倍数的方法算出每组数的对应值，再分别计算两数乘积、最大公因数和最小公倍数的乘积，填入表格；2. 对比表格中每组“两数的乘积”和“最大公因数与最小公倍数的乘积”的大小，总结出规律；3. 验证规律时可以任意举两组自然数，按照刚才的计算方式验证是否符合规律即可；4. 解决最后一问时，直接应用总结出的规律：两数乘积=最大公因数×最小公倍数，已知其中一个数，用最大公因数乘最小公倍数的积除以已知数就能得到另一个数。
【解析】
（1）计算表格内容：
① 7和9是互质数：
最大公因数C=1，最小公倍数D=7×9=63，A和B的乘积=7×9=63，C和D的乘积=1×63=63；
② 10和8用短除法计算：
公因数为2，剩余5和4互质，所以最大公因数C=2，最小公倍数D=2×5×4=40，A和B的乘积=10×8=80，C和D的乘积=2×40=80；
③4和14用短除法计算：
公因数为2，剩余2和7互质，所以最大公因数C=2，最小公倍数D=2×2×7=28，A和B的乘积=4×14=56，C和D的乘积=2×28=56；
将上述结果填入表格即可。
（2）观察每组的计算结果，发现每组A和B的乘积都等于C和D的乘积，因此猜想：两个自然数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积。
（3）举例验证：例如取6和9，最大公因数是3，最小公倍数是18，两数乘积6×9=54，最大公因数乘最小公倍数3×18=54，和规律一致，因此猜想正确（举例不唯一）。
（4）根据总结的规律，两数乘积=最大公因数×最小公倍数，因此另一个自然数=（最大公因数×最小公倍数）÷已知自然数，代入数据计算：$4×80÷20=16$。
【答案】
（1）
| 原数A和B | 7和9 | 10和8 | 4和14 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 最大公因数C | 1 | 2 | 2 |
| 最小公倍数D | 63 | 40 | 28 |
| A和B的乘积 | 63 | 80 | 56 |
| C和D的乘积 | 63 | 80 | 56 |
（2）两个自然数的乘积等于两数的最大公因数乘最小公倍数
（3）猜想正确，举例略
（4）另一个自然数是16
【知识点】
最大公因数计算，最小公倍数计算，规律探究应用
【点评】
本题从基础计算出发，引导学生自主探究规律并运用规律解题，既巩固了公因数、公倍数的相关计算方法，也锻炼了归纳推理和知识灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
素养提升
一、运用转化法解决公倍数问题
12. 新趋势 思维过程 有一袋糖果，4颗4颗地数多2颗，5颗5颗地数多3颗，6颗6颗地数多4颗，这袋糖果的数量在160～200颗。这袋糖果共有多少颗？
思路提示：运用转化法将“多几”转化成“少几”。
一、运用转化法解决公倍数问题
12. 新趋势 思维过程 有一袋糖果，4颗4颗地数多2颗，5颗5颗地数多3颗，6颗6颗地数多4颗，这袋糖果的数量在160～200颗。这袋糖果共有多少颗？
思路提示：运用转化法将“多几”转化成“少几”。
答案：12. 4,5,6的最小公倍数是60 60×3-2=178(颗)
答:这袋糖果共有178颗。
解析:根据题意可知,这袋糖果4颗4颗地数少2颗,5颗5颗地数少2颗,6颗6颗地数少2颗,据此求解。
答:这袋糖果共有178颗。
解析:根据题意可知,这袋糖果4颗4颗地数少2颗,5颗5颗地数少2颗,6颗6颗地数少2颗,据此求解。
解析：
【分析】
解题时先观察数糖果的余数特点：4颗4颗数多2颗，相当于再加2颗就能刚好数完，即少2颗；同理5颗数多3颗、6颗数多4颗，都可以转化为少2颗。由此可知糖果数量加2之后，正好是4、5、6的公倍数。接下来先求4、5、6的最小公倍数，再找出160~200范围内的公倍数，最后减去2就能得到糖果总数量。
【解析】
1. 转化条件：
4颗4颗地数多2颗→少2颗；5颗5颗地数多3颗→少2颗；6颗6颗地数多4颗→少2颗。
因此：糖果总数+2=4、5、6的公倍数。
2. 求4、5、6的最小公倍数：
分解质因数可得：4=2×2，5=5，6=2×3，所以最小公倍数为2×2×3×5=60。
3. 找160~200之间60的倍数：
60×2=120（小于160，不符合）；60×3=180（在160~200范围内，符合）；60×4=240（大于200，不符合）。
4. 计算糖果总数：
180-2=178（颗），验证后178符合所有数取余的条件。
【答案】
178颗
【知识点】
最小公倍数计算，转化法解题，公倍数应用
【点评】
本题解题关键是将“多几”的余数条件转化为“少几”，快速建立糖果总数和三个数公倍数的关联，考查对公倍数知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察数糖果的余数特点：4颗4颗数多2颗，相当于再加2颗就能刚好数完，即少2颗；同理5颗数多3颗、6颗数多4颗，都可以转化为少2颗。由此可知糖果数量加2之后，正好是4、5、6的公倍数。接下来先求4、5、6的最小公倍数，再找出160~200范围内的公倍数，最后减去2就能得到糖果总数量。
【解析】
1. 转化条件：
4颗4颗地数多2颗→少2颗；5颗5颗地数多3颗→少2颗；6颗6颗地数多4颗→少2颗。
因此：糖果总数+2=4、5、6的公倍数。
2. 求4、5、6的最小公倍数：
分解质因数可得：4=2×2，5=5，6=2×3，所以最小公倍数为2×2×3×5=60。
3. 找160~200之间60的倍数：
60×2=120（小于160，不符合）；60×3=180（在160~200范围内，符合）；60×4=240（大于200，不符合）。
4. 计算糖果总数：
180-2=178（颗），验证后178符合所有数取余的条件。
【答案】
178颗
【知识点】
最小公倍数计算，转化法解题，公倍数应用
【点评】
本题解题关键是将“多几”的余数条件转化为“少几”，快速建立糖果总数和三个数公倍数的关联，考查对公倍数知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
13. 新趋势 创新应用 为什么一个自然数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数呢？小立日思夜想，终于有一天，他通过“拆分法”找到了原因。
【基础篇】
【实战篇】
16÷3=5……1，475不是3的倍数。
思路提示:先把四位数分成几千、几百、几十和几，再分别细分成3的倍数和几。
【基础篇】
【实战篇】
16÷3=5……1，475不是3的倍数。
思路提示:先把四位数分成几千、几百、几十和几，再分别细分成3的倍数和几。
答案：
13. 答案不唯一,如
2+1+4+5=12,12÷3=4,2145是3的倍数
13. 答案不唯一,如
2+1+4+5=12,12÷3=4,2145是3的倍数
解析：
【分析】
要理解“自然数各数位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”的原理，我们可以用拆分法拆解自然数：首先把数拆成几个千、几个百、几个十和几个一相加的形式，再把整千、整百、整十拆成“3的倍数（999、99、9这类数都是3的倍数）+1”的形式，拆完后所有3的倍数的部分相加仍然是3的倍数，剩下的部分刚好就是各数位上的数字相加的和，只要这个和是3的倍数，整个数就一定是3的倍数，我们以2145为例验证该思路即可。
【解析】
我们对2145进行拆分推导：
1. 按数位拆分数字：$\boldsymbol{2145 = 2×1000 + 1×100 + 4×10 + 5}$
2. 将整千、整百、整十转化为“3的倍数+1”的形式：
已知$1000=999+1$，$100=99+1$，$10=9+1$，999、99、9都是3的倍数，代入上式得：
$\begin{aligned}2145 &= 2×(999+1) + 1×(99+1) + 4×(9+1) + 5\\&= 2×999 + 2 + 1×99 + 1 + 4×9 + 4 + 5\end{aligned}$
3. 其中$2×999$、$1×99$、$4×9$都是3的倍数，相加的结果也一定是3的倍数，剩余部分为各数位数字之和：$2+1+4+5=12$
4. $12÷3=4$，12是3的倍数，因此2145整体是3的倍数。
【答案】
2+1+4+5=12,12÷3=4,2145是3的倍数
【知识点】
3的倍数特征、数的拆分、整数的组成
【点评】
本题通过具象的拆分法揭示了3的倍数特征的本质原理，避免了机械记忆规律，能够锻炼逻辑推理和知识探究能力，加深对整数性质的理解。
【难度系数】
0.7
要理解“自然数各数位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”的原理，我们可以用拆分法拆解自然数：首先把数拆成几个千、几个百、几个十和几个一相加的形式，再把整千、整百、整十拆成“3的倍数（999、99、9这类数都是3的倍数）+1”的形式，拆完后所有3的倍数的部分相加仍然是3的倍数，剩下的部分刚好就是各数位上的数字相加的和，只要这个和是3的倍数，整个数就一定是3的倍数，我们以2145为例验证该思路即可。
【解析】
我们对2145进行拆分推导：
1. 按数位拆分数字：$\boldsymbol{2145 = 2×1000 + 1×100 + 4×10 + 5}$
2. 将整千、整百、整十转化为“3的倍数+1”的形式：
已知$1000=999+1$，$100=99+1$，$10=9+1$，999、99、9都是3的倍数，代入上式得：
$\begin{aligned}2145 &= 2×(999+1) + 1×(99+1) + 4×(9+1) + 5\\&= 2×999 + 2 + 1×99 + 1 + 4×9 + 4 + 5\end{aligned}$
3. 其中$2×999$、$1×99$、$4×9$都是3的倍数，相加的结果也一定是3的倍数，剩余部分为各数位数字之和：$2+1+4+5=12$
4. $12÷3=4$，12是3的倍数，因此2145整体是3的倍数。
【答案】
2+1+4+5=12,12÷3=4,2145是3的倍数
【知识点】
3的倍数特征、数的拆分、整数的组成
【点评】
本题通过具象的拆分法揭示了3的倍数特征的本质原理，避免了机械记忆规律，能够锻炼逻辑推理和知识探究能力，加深对整数性质的理解。
【难度系数】
0.7