5.（扬州江都区）阅读与思考。
古希腊有位数学家叫毕达哥拉斯，他应邀参加一次豪华宴会时，被脚下排列规则的等腰直角三角形石砖所吸引，以一块等腰直角三角形的三条边为边长，分别构成三个正方形（如图①），正方形面积满足这样的关系：$S_{①}+S_{②}=S_{③}$。他进一步演算，最终证明了“勾股定理”：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）阅读材料，如果直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c（如图②），“勾股定理”可以用字母式表示为（
（2）当直角三角形的两条直角边分别是3 cm和4 cm时，斜边的长度为（
（3）如果一个三角形的三边满足“勾股定理”，那么它一定是直角三角形。下面是三角形三条边的长度，是直角三角形的为（
A. 2 cm、3 cm、4 cm
B. 6 cm、8 cm、10 cm
C. 4 cm、4 cm、7 cm
古希腊有位数学家叫毕达哥拉斯，他应邀参加一次豪华宴会时，被脚下排列规则的等腰直角三角形石砖所吸引，以一块等腰直角三角形的三条边为边长，分别构成三个正方形（如图①），正方形面积满足这样的关系：$S_{①}+S_{②}=S_{③}$。他进一步演算，最终证明了“勾股定理”：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）阅读材料，如果直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c（如图②），“勾股定理”可以用字母式表示为（
$a^2+b^2=c^2$
）。（2）当直角三角形的两条直角边分别是3 cm和4 cm时，斜边的长度为（
5
）cm。（3）如果一个三角形的三边满足“勾股定理”，那么它一定是直角三角形。下面是三角形三条边的长度，是直角三角形的为（
B
）。A. 2 cm、3 cm、4 cm
B. 6 cm、8 cm、10 cm
C. 4 cm、4 cm、7 cm
答案：5.（1）$a^2+b^2=c^2$ （2）5 （3）B
解析：
【分析】
1. 第（1）题：题目已经明确给出勾股定理的文字描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条直角边为a、b，斜边为c，直接将文字描述转化为字母等式即可。
2. 第（2）题：将已知的两条直角边长度代入勾股定理公式，先算出斜边的平方，再找到对应平方等于该结果的正整数，就是斜边的长度。
3. 第（3）题：判断是否为直角三角形，只需要计算较短两条边的平方和，看结果是否等于最长边的平方，相等就说明是直角三角形，逐一验证三个选项即可。
【解析】
（1）根据勾股定理的文字内容，对应字母可写出等式：$a^2+b^2=c^2$。
（2）把直角边3cm、4cm代入公式：
$3^2+4^2=3×3+4×4=9+16=25$
因为$5×5=25$，所以斜边长度是5cm。
（3）逐个验证选项：
A选项：较短边2cm、3cm，最长边4cm，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不是直角三角形；
B选项：较短边6cm、8cm，最长边10cm，$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，$100=100$，是直角三角形；
C选项：较短边4cm、4cm，最长边7cm，$4^2+4^2=16+16=32$，$7^2=49$，$32≠49$，不是直角三角形。
因此选B。
【答案】
（1）$a^2+b^2=c^2$ （2）5 （3）B
【知识点】
勾股定理，直角三角形判定，平方运算
【点评】
本题结合数学史背景考查勾股定理的理解和基础应用，解题核心是紧扣勾股定理的定义计算，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
1. 第（1）题：题目已经明确给出勾股定理的文字描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条直角边为a、b，斜边为c，直接将文字描述转化为字母等式即可。
2. 第（2）题：将已知的两条直角边长度代入勾股定理公式，先算出斜边的平方，再找到对应平方等于该结果的正整数，就是斜边的长度。
3. 第（3）题：判断是否为直角三角形，只需要计算较短两条边的平方和，看结果是否等于最长边的平方，相等就说明是直角三角形，逐一验证三个选项即可。
【解析】
（1）根据勾股定理的文字内容，对应字母可写出等式：$a^2+b^2=c^2$。
（2）把直角边3cm、4cm代入公式：
$3^2+4^2=3×3+4×4=9+16=25$
因为$5×5=25$，所以斜边长度是5cm。
（3）逐个验证选项：
A选项：较短边2cm、3cm，最长边4cm，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不是直角三角形；
B选项：较短边6cm、8cm，最长边10cm，$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，$100=100$，是直角三角形；
C选项：较短边4cm、4cm，最长边7cm，$4^2+4^2=16+16=32$，$7^2=49$，$32≠49$，不是直角三角形。
因此选B。
【答案】
（1）$a^2+b^2=c^2$ （2）5 （3）B
【知识点】
勾股定理，直角三角形判定，平方运算
【点评】
本题结合数学史背景考查勾股定理的理解和基础应用，解题核心是紧扣勾股定理的定义计算，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
6. (扬州江都区)数学阅读，探索发现。
我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在研究有关数的问题时，常常想到用画图的策略来帮助分析和研究，从而验证发现的规律。
（1）算一算，比一比。
$5^2 - 3^2 ◯ (5+3)×(5-3)$
$12^2 - 8^2 ◯ (12+8)×(12-8)$
（2）你能再写一组这样的算式吗？
（3）为了验证猜想，小亮在边长为$a$的正方形纸片上剪去一个边长为$b(a＞b)$的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢？小亮想出两种不同的方法（如下图）。
两种方法都表示剪去后剩余的面积，你会用含有字母的等式表示发现的规律吗？
（4）请用发现的规律直接写出下面这题的结果。
$50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + 46^2 - 45^2 + \dots + 2^2 - 1^2 =$
我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在研究有关数的问题时，常常想到用画图的策略来帮助分析和研究，从而验证发现的规律。
（1）算一算，比一比。
$5^2 - 3^2 ◯ (5+3)×(5-3)$
$12^2 - 8^2 ◯ (12+8)×(12-8)$
（2）你能再写一组这样的算式吗？
$20^2-15^2$
$◯$ $(20+15)×(20-15)$
（3）为了验证猜想，小亮在边长为$a$的正方形纸片上剪去一个边长为$b(a＞b)$的小正方形，可以怎样求剩余部分的面积呢？小亮想出两种不同的方法（如下图）。
两种方法都表示剪去后剩余的面积，你会用含有字母的等式表示发现的规律吗？
$a^2-b^2=(a+b)×(a-b)$
$◯$ （4）请用发现的规律直接写出下面这题的结果。
$50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + 46^2 - 45^2 + \dots + 2^2 - 1^2 =$
1275
答案：6.（1）= =
（2）答案不唯一，如 $20^2-15^2=(20+15)×(20-15)$
（3）$a^2-b^2=(a+b)×(a-b)$
（4）1275
解析: 根据规律可知，$50^2-49^2+48^2-47^2+46^2-45^2+…+2^2-1^2=(50+49)×(50-49)+(48+47)×(48-47)+…+(2+1)×(2-1)=50+49+48+47+…+2+1=(50+1)×25=1275$。
（2）答案不唯一，如 $20^2-15^2=(20+15)×(20-15)$
（3）$a^2-b^2=(a+b)×(a-b)$
（4）1275
解析: 根据规律可知，$50^2-49^2+48^2-47^2+46^2-45^2+…+2^2-1^2=(50+49)×(50-49)+(48+47)×(48-47)+…+(2+1)×(2-1)=50+49+48+47+…+2+1=(50+1)×25=1275$。
解析：
【分析】
1. 第（1）题思路：分别计算左右两边算式的结果再比较大小，左边先算平方再求差，右边先算括号内的和与差再相乘，对比结果可得到大小关系。
2. 第（2）题思路：观察第（1）题的算式特征：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，按照该特征写出一组符合要求的算式即可。
3. 第（3）题思路：剩余部分面积第一种算法是大正方形面积减小正方形面积，即$a^2-b^2$；第二种是把剩余部分剪拼成长方形，长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)×(a-b)$，同一部分面积相等，即可得到对应的规律等式。
4. 第（4）题思路：把算式中每两个相邻的平方差分为一组，用前面发现的规律拆分每组算式，每组拆分后都等于两个数的和，最后转化为求1到50的整数和，用凑对法计算总和即可。
【解析】
（1）计算第一组：左边$5^2 - 3^2=25-9=16$，右边$(5+3)×(5-3)=8×2=16$，所以两边相等；
计算第二组：左边$12^2 - 8^2=144-64=80$，右边$(12+8)×(12-8)=20×4=80$，所以两边相等。
（2）按照规律举例：如取7和4，$7^2-4^2=49-16=33$，$(7+4)×(7-4)=11×3=33$，可得算式$7^2 - 4^2=(7+4)×(7-4)$，答案不唯一，符合规律即可。
（3）剩余面积第一种计算方式：$a^2 - b^2$，第二种剪拼后长方形面积：$(a+b)×(a-b)$，二者都表示剩余部分面积，因此规律为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
（4）根据规律拆分计算：
$50^2 -49^2 + 48^2 -47^2 + \dots +2^2 -1^2$
$=(50+49)×(50-49)+(48+47)×(48-47)+\dots+(2+1)×(2-1)$
每组的差都为1，化简得：
$=50+49+48+47+\dots+2+1$
凑对计算：$1+50=51$，共有$50÷2=25$组，总和为$51×25=1275$。
【答案】
（1）=；=
（2）示例：$7^2 - 4^2 = (7+4)×(7-4)$（答案不唯一）
（3）$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
（4）1275
【知识点】
平方差规律；数形结合思想；整数简便运算
【点评】
本题以数学阅读为载体，从具体计算、举例验证、图形推导到规律应用层层递进，既考查学生的观察归纳能力，也能让学生体会数形结合方法在探究规律中的作用，同时提升学生运用规律解决复杂计算的能力。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）题思路：分别计算左右两边算式的结果再比较大小，左边先算平方再求差，右边先算括号内的和与差再相乘，对比结果可得到大小关系。
2. 第（2）题思路：观察第（1）题的算式特征：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，按照该特征写出一组符合要求的算式即可。
3. 第（3）题思路：剩余部分面积第一种算法是大正方形面积减小正方形面积，即$a^2-b^2$；第二种是把剩余部分剪拼成长方形，长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)×(a-b)$，同一部分面积相等，即可得到对应的规律等式。
4. 第（4）题思路：把算式中每两个相邻的平方差分为一组，用前面发现的规律拆分每组算式，每组拆分后都等于两个数的和，最后转化为求1到50的整数和，用凑对法计算总和即可。
【解析】
（1）计算第一组：左边$5^2 - 3^2=25-9=16$，右边$(5+3)×(5-3)=8×2=16$，所以两边相等；
计算第二组：左边$12^2 - 8^2=144-64=80$，右边$(12+8)×(12-8)=20×4=80$，所以两边相等。
（2）按照规律举例：如取7和4，$7^2-4^2=49-16=33$，$(7+4)×(7-4)=11×3=33$，可得算式$7^2 - 4^2=(7+4)×(7-4)$，答案不唯一，符合规律即可。
（3）剩余面积第一种计算方式：$a^2 - b^2$，第二种剪拼后长方形面积：$(a+b)×(a-b)$，二者都表示剩余部分面积，因此规律为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
（4）根据规律拆分计算：
$50^2 -49^2 + 48^2 -47^2 + \dots +2^2 -1^2$
$=(50+49)×(50-49)+(48+47)×(48-47)+\dots+(2+1)×(2-1)$
每组的差都为1，化简得：
$=50+49+48+47+\dots+2+1$
凑对计算：$1+50=51$，共有$50÷2=25$组，总和为$51×25=1275$。
【答案】
（1）=；=
（2）示例：$7^2 - 4^2 = (7+4)×(7-4)$（答案不唯一）
（3）$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
（4）1275
【知识点】
平方差规律；数形结合思想；整数简便运算
【点评】
本题以数学阅读为载体，从具体计算、举例验证、图形推导到规律应用层层递进，既考查学生的观察归纳能力，也能让学生体会数形结合方法在探究规律中的作用，同时提升学生运用规律解决复杂计算的能力。
【难度系数】
0.7