21（10分）如图，观察图形，解答下列问题：
（1）图中的点被线隔开分成4层，第①层有1个点，第②层有3个点，第③层有5个点，第④层有
（2）如果继续画下去，那么第⑤层有多少个点？第ⓝ(n为正整数)层呢？
（3）第①层与第②层的点的个数的和是多少？前3层的点的个数的和是多少？前4层呢？你有没有发现什么规律(用含n的式子表示)？根据你发现的规律，计算前12层的点的个数的和。
（1）图中的点被线隔开分成4层，第①层有1个点，第②层有3个点，第③层有5个点，第④层有
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个点。（2）如果继续画下去，那么第⑤层有多少个点？第ⓝ(n为正整数)层呢？
（3）第①层与第②层的点的个数的和是多少？前3层的点的个数的和是多少？前4层呢？你有没有发现什么规律(用含n的式子表示)？根据你发现的规律，计算前12层的点的个数的和。
答案：21. (1) 7
(2) 如果继续画下去,那么第⑤层有9个点,第$n$层有$(2n-1)$个点
(3) 第①层与第②层的点的个数的和是4,前3层的点的个数的和是9,前4层的点的个数的和是16. 发现的规律是前$n$层的点的个数的和是$n^2$. 因为$12^2=144$,所以前12层的点的个数的和是144
(2) 如果继续画下去,那么第⑤层有9个点,第$n$层有$(2n-1)$个点
(3) 第①层与第②层的点的个数的和是4,前3层的点的个数的和是9,前4层的点的个数的和是16. 发现的规律是前$n$层的点的个数的和是$n^2$. 因为$12^2=144$,所以前12层的点的个数的和是144
解析：
【分析】
我们可以通过逐层观察点数的变化规律解题：
1. 解第(1)问：已知第①层1个点、第②层3个点、第③层5个点，相邻两层点数差为2，直接计算第④层的点数即可。
2. 解第(2)问：先根据相邻层点数差2算出第⑤层的点数，再将每层点数和层数对应找规律：第1层$2×1-1=1$，第2层$2×2-1=3$，第3层$2×3-1=5$，以此类推得到第n层的点数表达式。
3. 解第(3)问：先分别计算前2层、前3层、前4层的点数和，观察和与层数的关系，总结出前n层点数和的规律，再代入n=12计算结果。
【解析】
(1) 每层比上一层多2个点，第③层有5个点，因此第④层点数为$5+2=7$。
(2) 第⑤层比第④层多2个点，因此第⑤层点数为$7+2=9$；
观察各层点数：第1层$1=2×1-1$，第2层$3=2×2-1$，第3层$5=2×3-1$，第4层$7=2×4-1$，第5层$9=2×5-1$，因此第n层的点数为$(2n-1)$个（n为正整数）。
(3) 第①层和第②层的点数和：$1+3=4$；
前3层点数和：$1+3+5=9$；
前4层点数和：$1+3+5+7=16$；
观察计算结果可知$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，可得规律：前n层的点的个数的和是$n^2$；
当$n=12$时，前12层的点数和为$12^2=144$。
【答案】
(1) $7$
(2) 第⑤层有$9$个点，第$n$层有$(2n-1)$个点
(3) 第①层与第②层的点的个数的和是$4$，前3层的点的个数的和是$9$，前4层的点的个数的和是$16$；规律是前$n$层的点的个数的和是$n^2$；前12层的点的个数的和是$144$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要通过观察图形和对应数字的变化，从特殊情况推导得出一般规律，再将规律应用到具体计算中，能很好地锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
我们可以通过逐层观察点数的变化规律解题：
1. 解第(1)问：已知第①层1个点、第②层3个点、第③层5个点，相邻两层点数差为2，直接计算第④层的点数即可。
2. 解第(2)问：先根据相邻层点数差2算出第⑤层的点数，再将每层点数和层数对应找规律：第1层$2×1-1=1$，第2层$2×2-1=3$，第3层$2×3-1=5$，以此类推得到第n层的点数表达式。
3. 解第(3)问：先分别计算前2层、前3层、前4层的点数和，观察和与层数的关系，总结出前n层点数和的规律，再代入n=12计算结果。
【解析】
(1) 每层比上一层多2个点，第③层有5个点，因此第④层点数为$5+2=7$。
(2) 第⑤层比第④层多2个点，因此第⑤层点数为$7+2=9$；
观察各层点数：第1层$1=2×1-1$，第2层$3=2×2-1$，第3层$5=2×3-1$，第4层$7=2×4-1$，第5层$9=2×5-1$，因此第n层的点数为$(2n-1)$个（n为正整数）。
(3) 第①层和第②层的点数和：$1+3=4$；
前3层点数和：$1+3+5=9$；
前4层点数和：$1+3+5+7=16$；
观察计算结果可知$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，可得规律：前n层的点的个数的和是$n^2$；
当$n=12$时，前12层的点数和为$12^2=144$。
【答案】
(1) $7$
(2) 第⑤层有$9$个点，第$n$层有$(2n-1)$个点
(3) 第①层与第②层的点的个数的和是$4$，前3层的点的个数的和是$9$，前4层的点的个数的和是$16$；规律是前$n$层的点的个数的和是$n^2$；前12层的点的个数的和是$144$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要通过观察图形和对应数字的变化，从特殊情况推导得出一般规律，再将规律应用到具体计算中，能很好地锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
22 (10分)在小学,我们知道像12,27,36,45,108,…这样的自然数能被3整除.一般地,如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.事实上,我们可以证明这个结论的正确性.以两位数为例,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a,b$,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab}=10a + b=9a + (a + b)$,显然$9a$能被3整除,因此若$a + b$能被3整除,则$9a + (a + b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
根据上述材料,解答下列问题:
(1) 有下列各数:① 25;② 225;③ 1 025;④ 2 025.其中,能被3整除的有
(2) 设$\overline{abcd}$是一个四位数,若$a + b + c + d$能被3整除,试说明$\overline{abcd}$能被3整除.
(3) 设$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$表示任意一个$(n+1)$位自然数,若$a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$能被3整除,试说明$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除.
根据上述材料,解答下列问题:
(1) 有下列各数:① 25;② 225;③ 1 025;④ 2 025.其中,能被3整除的有
②④
(填序号).(2) 设$\overline{abcd}$是一个四位数,若$a + b + c + d$能被3整除,试说明$\overline{abcd}$能被3整除.
(3) 设$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$表示任意一个$(n+1)$位自然数,若$a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$能被3整除,试说明$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除.
答案：22. (1) ②④
(2) $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$. 因为$999a+99b+9c$能被3整除,$a+b+c+d$能被3整除,所以$\overline{abcd}$能被3整除
(3) $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}=10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1} + \dots + 10a_1 + a_0 =( \underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1 )+(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)$. 因为$\underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1$能被3整除,$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$能被3整除,所以$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除
(2) $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$. 因为$999a+99b+9c$能被3整除,$a+b+c+d$能被3整除,所以$\overline{abcd}$能被3整除
(3) $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}=10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1} + \dots + 10a_1 + a_0 =( \underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1 )+(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)$. 因为$\underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1$能被3整除,$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$能被3整除,所以$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除
解析：
【分析】
（1）第一问直接运用题干给出的结论：若一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，分别计算四个数的数位数字和，判断是否能被3整除即可得到结果。
（2）第二问仿照题干中两位数的证明思路，先将四位数$\overline{abcd}$拆分为含数位数字和的形式：把1000a拆为999a+a，100b拆为99b+b，10c拆为9c+c，整理后得到由多个3的倍数项与数字和$a+b+c+d$相加的形式，结合整除的性质，两个能被3整除的数的和也能被3整除，即可完成证明。
（3）第三问是第二问的推广，对任意$(n+1)$位自然数，将每一位的计数单位$10^k$（k为正整数）拆分为$\underbrace{99\dots9}_{k个9}+1$，整理后得到多个3的倍数项与所有数位数字和相加的形式，结合已知数位和能被3整除，即可证明原数能被3整除。
【解析】
（1）分别计算各数的数位数字和：
①25的数字和为$2+5=7$，7不能被3整除，因此25不能被3整除；
②225的数字和为$2+2+5=9$，9能被3整除，因此225能被3整除；
③1025的数字和为$1+0+2+5=8$，8不能被3整除，因此1025不能被3整除；
④2025的数字和为$2+0+2+5=9$，9能被3整除，因此2025能被3整除。
（2）$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$。因为999、99、9都是3的倍数，所以$999a+99b+9c$能被3整除，又已知$a+b+c+d$能被3整除，因此两部分的和$\overline{abcd}$能被3整除。
（3）$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}=10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1} + \dots + 10a_1 + a_0 =( \underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1 )+(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)$。因为$\underbrace{99···9}_{k个9}$（k为正整数）都是3的倍数，所以前半部分$\underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1$能被3整除，又已知$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$能被3整除，因此两部分的和$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除。
【答案】
(1) ②④
(2) $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$. 因为$999a+99b+9c$能被3整除,$a+b+c+d$能被3整除,所以$\overline{abcd}$能被3整除
(3) $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}=10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1} + \dots + 10a_1 + a_0 =( \underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1 )+(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)$. 因为$\underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1$能被3整除,$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$能被3整除,所以$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除
【知识点】
1. 能被3整除的数的特征
2. 多位数的表示
3. 整除的性质
【点评】
本题是材料阅读类题型，从特殊的两位数的证明方法出发，引导学生类比推导一般多位数的整除规律，侧重考查阅读理解能力、类比推理能力和代数变形能力，解题的核心是掌握将多位数拆分为3的倍数项与数位数字和相加的变形方法。
【难度系数】
0.7
（1）第一问直接运用题干给出的结论：若一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，分别计算四个数的数位数字和，判断是否能被3整除即可得到结果。
（2）第二问仿照题干中两位数的证明思路，先将四位数$\overline{abcd}$拆分为含数位数字和的形式：把1000a拆为999a+a，100b拆为99b+b，10c拆为9c+c，整理后得到由多个3的倍数项与数字和$a+b+c+d$相加的形式，结合整除的性质，两个能被3整除的数的和也能被3整除，即可完成证明。
（3）第三问是第二问的推广，对任意$(n+1)$位自然数，将每一位的计数单位$10^k$（k为正整数）拆分为$\underbrace{99\dots9}_{k个9}+1$，整理后得到多个3的倍数项与所有数位数字和相加的形式，结合已知数位和能被3整除，即可证明原数能被3整除。
【解析】
（1）分别计算各数的数位数字和：
①25的数字和为$2+5=7$，7不能被3整除，因此25不能被3整除；
②225的数字和为$2+2+5=9$，9能被3整除，因此225能被3整除；
③1025的数字和为$1+0+2+5=8$，8不能被3整除，因此1025不能被3整除；
④2025的数字和为$2+0+2+5=9$，9能被3整除，因此2025能被3整除。
（2）$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$。因为999、99、9都是3的倍数，所以$999a+99b+9c$能被3整除，又已知$a+b+c+d$能被3整除，因此两部分的和$\overline{abcd}$能被3整除。
（3）$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}=10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1} + \dots + 10a_1 + a_0 =( \underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1 )+(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)$。因为$\underbrace{99···9}_{k个9}$（k为正整数）都是3的倍数，所以前半部分$\underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1$能被3整除，又已知$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$能被3整除，因此两部分的和$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除。
【答案】
(1) ②④
(2) $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$. 因为$999a+99b+9c$能被3整除,$a+b+c+d$能被3整除,所以$\overline{abcd}$能被3整除
(3) $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}=10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1} + \dots + 10a_1 + a_0 =( \underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1 )+(a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0)$. 因为$\underbrace{99···9}_{n个9}a_n + \underbrace{99···9}_{(n-1)个9}a_{n-1} + \dots +9a_1$能被3整除,$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$能被3整除,所以$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$能被3整除
【知识点】
1. 能被3整除的数的特征
2. 多位数的表示
3. 整除的性质
【点评】
本题是材料阅读类题型，从特殊的两位数的证明方法出发，引导学生类比推导一般多位数的整除规律，侧重考查阅读理解能力、类比推理能力和代数变形能力，解题的核心是掌握将多位数拆分为3的倍数项与数位数字和相加的变形方法。
【难度系数】
0.7