24（16分）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且满足$(a+6)^2 + |b-12| = 0$。
（1）点A表示的数为
（2）点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为
（3）若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M）从点B处以3个单位长度/s的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位长度/s的速度返回到点B处，并停止运动。设小蚂蚁运动的时间为t s，在整个运动过程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值，并直接判断此时小蚂蚁与点A，O，B，E（点E到点A，B的距离相等）的距离和是否最小。
（第24题）
（1）点A表示的数为
$-6$
，点B表示的数为$12$
。（2）点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为
$2或4$
。（3）若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M）从点B处以3个单位长度/s的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位长度/s的速度返回到点B处，并停止运动。设小蚂蚁运动的时间为t s，在整个运动过程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值，并直接判断此时小蚂蚁与点A，O，B，E（点E到点A，B的距离相等）的距离和是否最小。
（第24题）答案：24. (1) $-6$ $12$
(2) $2或4$ 【解析】由(1)可知,点$B$表示的数为$12$,点$A$表示的数为$-6$. 当点$C$在点$B$左侧时,点$C$表示的数为$10$,将数轴对折后,点$C$与点$A$重合,则折点$D$表示的数为$\frac{-6+10}{2}=2$;当点$C$在点$B$右侧时,点$C$表示的数为$14$,将数轴对折后,点$C$与点$A$重合,则折点$D$表示的数为$\frac{-6+14}{2}=4$. 综上所述,折点$D$表示的数为$2$或$4$.
(3) 因为点$A$表示的数为$-6$,点$B$表示的数为$12$,所以点$E$表示的数为$\frac{-6+12}{2}=3$,$AB=12-(-6)=18$. 易知当点$M$在点$O$与点$E$之间时(包含点$O,E$),与点$A,O,B,E$的距离和最小. 由点$M$把线段$AB$分为$3:2$的两段得,当点$M$接近点$A$时,$BM=18×\frac{3}{5}=10.8$,此时点$M$表示的数为$12-10.8=1.2$. 在小蚂蚁从点$B$处向原点$O$处运动的过程中,有$t=10.8÷3=3.6$;在小蚂蚁从原点$O$处向点$B$处运动的过程中,有$t=(1.2-0)÷2+(12-0)÷3=4.6$. 当点$M$表示的数为$1.2$时,点$M$在点$O$与点$E$之间,所以此时小蚂蚁与点$A,O,B,E$的距离和是最小的. 当点$M$接近点$B$时,$BM=18×\frac{2}{5}=7.2$,此时点$M$表示的数为$12-7.2=4.8$. 在小蚂蚁从点$B$处向原点$O$处运动的过程中,有$t=7.2÷3=2.4$;在小蚂蚁从原点$O$处向点$B$处运动的过程中,有$t=(4.8-0)÷2+(12-0)÷3=6.4$. 当点$M$表示的数为$4.8$时,点$M$不在点$O$与点$E$之间,所以此时小蚂蚁与点$A,O,B,E$的距离和不是最小的. 综上,$t$的值为$3.6$和$6.4$,当$t=3.6$时距离和最小,当$t=6.4$时距离和不是最小.
(2) $2或4$ 【解析】由(1)可知,点$B$表示的数为$12$,点$A$表示的数为$-6$. 当点$C$在点$B$左侧时,点$C$表示的数为$10$,将数轴对折后,点$C$与点$A$重合,则折点$D$表示的数为$\frac{-6+10}{2}=2$;当点$C$在点$B$右侧时,点$C$表示的数为$14$,将数轴对折后,点$C$与点$A$重合,则折点$D$表示的数为$\frac{-6+14}{2}=4$. 综上所述,折点$D$表示的数为$2$或$4$.
(3) 因为点$A$表示的数为$-6$,点$B$表示的数为$12$,所以点$E$表示的数为$\frac{-6+12}{2}=3$,$AB=12-(-6)=18$. 易知当点$M$在点$O$与点$E$之间时(包含点$O,E$),与点$A,O,B,E$的距离和最小. 由点$M$把线段$AB$分为$3:2$的两段得,当点$M$接近点$A$时,$BM=18×\frac{3}{5}=10.8$,此时点$M$表示的数为$12-10.8=1.2$. 在小蚂蚁从点$B$处向原点$O$处运动的过程中,有$t=10.8÷3=3.6$;在小蚂蚁从原点$O$处向点$B$处运动的过程中,有$t=(1.2-0)÷2+(12-0)÷3=4.6$. 当点$M$表示的数为$1.2$时,点$M$在点$O$与点$E$之间,所以此时小蚂蚁与点$A,O,B,E$的距离和是最小的. 当点$M$接近点$B$时,$BM=18×\frac{2}{5}=7.2$,此时点$M$表示的数为$12-7.2=4.8$. 在小蚂蚁从点$B$处向原点$O$处运动的过程中,有$t=7.2÷3=2.4$;在小蚂蚁从原点$O$处向点$B$处运动的过程中,有$t=(4.8-0)÷2+(12-0)÷3=6.4$. 当点$M$表示的数为$4.8$时,点$M$不在点$O$与点$E$之间,所以此时小蚂蚁与点$A,O,B,E$的距离和不是最小的. 综上,$t$的值为$3.6$和$6.4$,当$t=3.6$时距离和最小,当$t=6.4$时距离和不是最小.
解析：
【分析】
(1) 利用平方和绝对值的非负性求解：两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，据此列方程求出a、b的值，即可得到点A、B表示的数。
(2) 先根据点C与点B的距离为2，分点C在点B左侧、右侧两种情况求出点C表示的数；数轴对折后点C与点A重合，说明折点D是点A和点C的中点，根据中点公式（两点对应数的平均数）即可求出折点D表示的数。
(3) 先计算线段AB的总长度，以及到A、B距离相等的点E（即AB中点）表示的数；小蚂蚁将AB分为3:2的两段，分BM占3份、BM占2份两种情况求出对应点M表示的数；再结合小蚂蚁的运动阶段和对应速度计算t的值；最后判断点M是否在O与E之间（该区间内到四个点的距离和最小），得出对应结论。
【解析】
(1) 因为$(a+6)^2≥0$，$\vert b-12\vert≥0$，且$(a+6)^2 + \vert b-12\vert = 0$，所以$a+6=0$，$b-12=0$，解得$a=-6$，$b=12$。
(2) 由(1)可知点B表示的数为12，点A表示的数为$-6$：
① 当点C在点B左侧时，点C表示的数为$12-2=10$，对折后点C与点A重合，折点D是A、C的中点，故D表示的数为$\frac{-6+10}{2}=2$；
② 当点C在点B右侧时，点C表示的数为$12+2=14$，同理折点D表示的数为$\frac{-6+14}{2}=4$。
综上，折点D表示的数为2或4。
(3) 因为点A表示的数为$-6$，点B表示的数为$12$，所以点E是AB中点，表示的数为$\frac{-6+12}{2}=3$，$AB=12-(-6)=18$。易知当点M在点O与点E之间时（包含点O、E），到点A、O、B、E的距离和最小。
由点M把线段AB分为3:2的两段：
① 当点M接近点A时，$BM=18×\frac{3}{5}=10.8$，此时点M表示的数为$12-10.8=1.2$，小蚂蚁从B向O运动时，$t=10.8÷3=3.6$，此时M在O和E之间，距离和最小；小蚂蚁返回时的对应情况不符合最终取值要求。
② 当点M接近点B时，$BM=18×\frac{2}{5}=7.2$，此时点M表示的数为$12-7.2=4.8$，小蚂蚁从O向B返回时，总时间$t=(4.8-0)÷2+(12-0)÷3=6.4$，此时M不在O和E之间，距离和不是最小；小蚂蚁去程的对应情况不符合最终取值要求。
综上可得t的取值和对应结论。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{12}$
(2) $\boldsymbol{2或4}$
(3) $t$的值为$\boldsymbol{3.6}$和$\boldsymbol{6.4}$；当$t=3.6$时小蚂蚁与点A、O、B、E的距离和最小，当$t=6.4$时距离和不是最小。
【知识点】
非负数的性质，数轴的应用，动点行程问题
【点评】
本题综合性较强，涵盖了非负性运算、数轴上中点与距离的计算、动点的分类讨论等内容，解题时注意不要遗漏可能的情况，同时要结合数轴的性质判断距离最值，对逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 利用平方和绝对值的非负性求解：两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，据此列方程求出a、b的值，即可得到点A、B表示的数。
(2) 先根据点C与点B的距离为2，分点C在点B左侧、右侧两种情况求出点C表示的数；数轴对折后点C与点A重合，说明折点D是点A和点C的中点，根据中点公式（两点对应数的平均数）即可求出折点D表示的数。
(3) 先计算线段AB的总长度，以及到A、B距离相等的点E（即AB中点）表示的数；小蚂蚁将AB分为3:2的两段，分BM占3份、BM占2份两种情况求出对应点M表示的数；再结合小蚂蚁的运动阶段和对应速度计算t的值；最后判断点M是否在O与E之间（该区间内到四个点的距离和最小），得出对应结论。
【解析】
(1) 因为$(a+6)^2≥0$，$\vert b-12\vert≥0$，且$(a+6)^2 + \vert b-12\vert = 0$，所以$a+6=0$，$b-12=0$，解得$a=-6$，$b=12$。
(2) 由(1)可知点B表示的数为12，点A表示的数为$-6$：
① 当点C在点B左侧时，点C表示的数为$12-2=10$，对折后点C与点A重合，折点D是A、C的中点，故D表示的数为$\frac{-6+10}{2}=2$；
② 当点C在点B右侧时，点C表示的数为$12+2=14$，同理折点D表示的数为$\frac{-6+14}{2}=4$。
综上，折点D表示的数为2或4。
(3) 因为点A表示的数为$-6$，点B表示的数为$12$，所以点E是AB中点，表示的数为$\frac{-6+12}{2}=3$，$AB=12-(-6)=18$。易知当点M在点O与点E之间时（包含点O、E），到点A、O、B、E的距离和最小。
由点M把线段AB分为3:2的两段：
① 当点M接近点A时，$BM=18×\frac{3}{5}=10.8$，此时点M表示的数为$12-10.8=1.2$，小蚂蚁从B向O运动时，$t=10.8÷3=3.6$，此时M在O和E之间，距离和最小；小蚂蚁返回时的对应情况不符合最终取值要求。
② 当点M接近点B时，$BM=18×\frac{2}{5}=7.2$，此时点M表示的数为$12-7.2=4.8$，小蚂蚁从O向B返回时，总时间$t=(4.8-0)÷2+(12-0)÷3=6.4$，此时M不在O和E之间，距离和不是最小；小蚂蚁去程的对应情况不符合最终取值要求。
综上可得t的取值和对应结论。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{12}$
(2) $\boldsymbol{2或4}$
(3) $t$的值为$\boldsymbol{3.6}$和$\boldsymbol{6.4}$；当$t=3.6$时小蚂蚁与点A、O、B、E的距离和最小，当$t=6.4$时距离和不是最小。
【知识点】
非负数的性质，数轴的应用，动点行程问题
【点评】
本题综合性较强，涵盖了非负性运算、数轴上中点与距离的计算、动点的分类讨论等内容，解题时注意不要遗漏可能的情况，同时要结合数轴的性质判断距离最值，对逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.4