23（14分）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制,也就是说,“逢几进一”就是几进制.例如:将十进制数21转换成对应的二进制数,其规则为$21_{(10)}=16+4+1=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=10101_{(2)}$（规定当$a≠0$时,$a^0=1$）.
根据上述规则,解答下列问题:
（1）二进制数11011对应的十进制数是
（2）计算:$110100_{(2)}+1302_{(4)}=\_\_\_\_\_\_{(10)}$.
（3）在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满六进一,根据图示求孩子已经出生的天数,并用二进制数表示.
根据上述规则,解答下列问题:
（1）二进制数11011对应的十进制数是
$27$
.（2）计算:$110100_{(2)}+1302_{(4)}=\_\_\_\_\_\_{(10)}$.
（3）在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满六进一,根据图示求孩子已经出生的天数,并用二进制数表示.
答案：23. (1) $27$ 【解析】根据题意,得$11011_{(2)}=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=16+8+2+1=27_{(10)}$.
(2) $166$ 【解析】根据题意,得$110100_{(2)}+1302_{(4)}=(1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0)+(1×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0)=(32+16+4)+(64+48+2)=52+114=166_{(10)}$.
(3) 根据题意,得$345_{(6)}=3×6^2+4×6^1+5×6^0=108+24+5=137_{(10)}$.$137_{(10)}=128+8+1=1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=10001001_{(2)}$.所以孩子已经出生137天,十进制数137用二进制数表示为$10001001$
(2) $166$ 【解析】根据题意,得$110100_{(2)}+1302_{(4)}=(1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0)+(1×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0)=(32+16+4)+(64+48+2)=52+114=166_{(10)}$.
(3) 根据题意,得$345_{(6)}=3×6^2+4×6^1+5×6^0=108+24+5=137_{(10)}$.$137_{(10)}=128+8+1=1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=10001001_{(2)}$.所以孩子已经出生137天,十进制数137用二进制数表示为$10001001$
解析：
【分析】
（1）二进制转十进制，按照规则从右往左给每个数位标注次数（从0开始），用每个数位上的数字乘2的对应次数，再将所有结果相加即可得到对应的十进制数。
（2）先按照进制转换规则，分别把二进制数、四进制数转换为十进制数，再将两个十进制数相加，即可得到结果。
（3）首先明确“满六进一”是六进制，右细左粗对应六进制的低位到高位，先数出每根绳子的结数得到六进制数，再将六进制数转换为十进制数得到出生天数，最后把十进制数拆分为2的幂次的和，对应数位填1或0即可得到二进制数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则计算：
$11011_{(2)}=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=16+8+0+2+1=27$
(2) 先分别将两个不同进制的数转为十进制：
$110100_{(2)}=1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0=32+16+0+4+0+0=52$
$1302_{(4)}=1×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0=64+48+0+2=114$
再求和：$52+114=166$
(3) 由题意可知计数规则为六进制，从左到右（粗绳到细绳）为高位到低位，三根绳子的结数分别为3、4、5，对应六进制数$345_{(6)}$：
① 转十进制求出生天数：$345_{(6)}=3×6^2+4×6^1+5×6^0=108+24+5=137$
② 将十进制137转二进制：$137=128+8+1=1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应二进制数为$10001001_{(2)}$
【答案】
(1) $\boxed{27}$
(2) $\boxed{166}$
(3) 孩子已经出生137天，对应的二进制数为$\boxed{10001001}$
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题以新定义进位制和传统结绳计数为背景，考查信息提取能力和运算能力，只要准确理解“逢n进一”的转换规则，按步骤计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
（1）二进制转十进制，按照规则从右往左给每个数位标注次数（从0开始），用每个数位上的数字乘2的对应次数，再将所有结果相加即可得到对应的十进制数。
（2）先按照进制转换规则，分别把二进制数、四进制数转换为十进制数，再将两个十进制数相加，即可得到结果。
（3）首先明确“满六进一”是六进制，右细左粗对应六进制的低位到高位，先数出每根绳子的结数得到六进制数，再将六进制数转换为十进制数得到出生天数，最后把十进制数拆分为2的幂次的和，对应数位填1或0即可得到二进制数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则计算：
$11011_{(2)}=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=16+8+0+2+1=27$
(2) 先分别将两个不同进制的数转为十进制：
$110100_{(2)}=1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0=32+16+0+4+0+0=52$
$1302_{(4)}=1×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0=64+48+0+2=114$
再求和：$52+114=166$
(3) 由题意可知计数规则为六进制，从左到右（粗绳到细绳）为高位到低位，三根绳子的结数分别为3、4、5，对应六进制数$345_{(6)}$：
① 转十进制求出生天数：$345_{(6)}=3×6^2+4×6^1+5×6^0=108+24+5=137$
② 将十进制137转二进制：$137=128+8+1=1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应二进制数为$10001001_{(2)}$
【答案】
(1) $\boxed{27}$
(2) $\boxed{166}$
(3) 孩子已经出生137天，对应的二进制数为$\boxed{10001001}$
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题以新定义进位制和传统结绳计数为背景，考查信息提取能力和运算能力，只要准确理解“逢n进一”的转换规则，按步骤计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7