21(10分)某工厂需要生产一批太空漫步器(如图)，每套设备由1个支架和2套脚踏板组装而成.该工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板.
(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2)若每套太空漫步器的成本为240元，要达到20%的利润率，则每套应定价多少元？
(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2)若每套太空漫步器的成本为240元，要达到20%的利润率，则每套应定价多少元？
答案：21. (1) 设分配$x$名工人生产支架,则$(45-x)$名工人生产脚踏板.由题意,得$2×60x=96(45-x)$,解得$x=20$.所以$45-x=45-20=25$.所以分配20名工人生产支架,25名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套
(2) 设每套应定价$a$元.由题意,得$a-240=240×20\%$,解得$a=288$.所以要达到20%的利润率,每套应定价288元
(2) 设每套应定价$a$元.由题意,得$a-240=240×20\%$,解得$a=288$.所以要达到20%的利润率,每套应定价288元
解析：
【分析】
(1)本题属于配套类应用题，解题的核心是明确配套规则：每套设备需要1个支架和2套脚踏板，即生产的脚踏板总数量应为支架总数量的2倍。我们可以设生产支架的工人数为未知数，用总人数表示生产脚踏板的工人数，再根据上述等量关系列一元一次方程求解。
(2)本题属于利润类应用题，解题的核心是掌握利润的计算公式：利润=定价-成本，同时利润=成本×利润率。我们可以设定价为未知数，结合成本和利润率代入公式列方程求解即可。
【解析】
(1)解：设分配$x$名工人生产支架，则生产脚踏板的工人有$(45-x)$名。
根据配套时脚踏板数量是支架数量的2倍，列方程：
$2×60x=96(45-x)$
展开得：$120x=4320-96x$
移项合并同类项得：$216x=4320$
解得：$x=20$
则生产脚踏板的工人数量为$45-20=25$（名）
(2)解：设每套应定价$a$元。
根据利润的等量关系，列方程：
$a-240=240×20\%$
计算得：$a-240=48$
解得：$a=288$
【答案】
(1)分配20名工人生产支架，25名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套；
(2)每套应定价288元。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题、利润率计算
【点评】
本题结合生活生产场景考查一元一次方程的实际应用，是方程应用的经典题型，解题的关键是找准题目中隐藏的等量关系，再根据等量关系列方程求解，掌握对应题型的固定等量关系可以快速解题。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于配套类应用题，解题的核心是明确配套规则：每套设备需要1个支架和2套脚踏板，即生产的脚踏板总数量应为支架总数量的2倍。我们可以设生产支架的工人数为未知数，用总人数表示生产脚踏板的工人数，再根据上述等量关系列一元一次方程求解。
(2)本题属于利润类应用题，解题的核心是掌握利润的计算公式：利润=定价-成本，同时利润=成本×利润率。我们可以设定价为未知数，结合成本和利润率代入公式列方程求解即可。
【解析】
(1)解：设分配$x$名工人生产支架，则生产脚踏板的工人有$(45-x)$名。
根据配套时脚踏板数量是支架数量的2倍，列方程：
$2×60x=96(45-x)$
展开得：$120x=4320-96x$
移项合并同类项得：$216x=4320$
解得：$x=20$
则生产脚踏板的工人数量为$45-20=25$（名）
(2)解：设每套应定价$a$元。
根据利润的等量关系，列方程：
$a-240=240×20\%$
计算得：$a-240=48$
解得：$a=288$
【答案】
(1)分配20名工人生产支架，25名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套；
(2)每套应定价288元。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题、利润率计算
【点评】
本题结合生活生产场景考查一元一次方程的实际应用，是方程应用的经典题型，解题的关键是找准题目中隐藏的等量关系，再根据等量关系列方程求解，掌握对应题型的固定等量关系可以快速解题。
【难度系数】
0.7
22 (10分)如图①,在数轴上点A表示的数是-2,点B在点A的右侧,且到点A的距离是12;点C在点A与点B之间,且点C到点A的距离为4.
(1) 点B表示的数是
(2) 如图②,若点P从点A出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动;同时,点Q从点B出发,沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t s,当点P与点Q相距3个单位长度时,求运动的时间.
(3) 在(2)的条件下,若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB,在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC+QB=3?若存在,请求出此时点P表示的数;若不存在,请说明理由.
(1) 点B表示的数是
10
;点C表示的数是2
.(2) 如图②,若点P从点A出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动;同时,点Q从点B出发,沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t s,当点P与点Q相距3个单位长度时,求运动的时间.
(3) 在(2)的条件下,若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB,在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC+QB=3?若存在,请求出此时点P表示的数;若不存在,请说明理由.
答案：22. (1) 10 2
(2) 若点P与点Q相遇前相距3个单位长度,则$2t+t+3=12$,解得$t=3$;若点P与点Q相遇后相距3个单位长度,则$2t+t-3=12$,解得$t=5$.综上所述,运动的时间为3 s或5 s
(3) 存在 若点P在点C的左侧,则$PC=4-2t$,$QB=t$.因为$PC+QB=3$,所以$4-2t+t=3$,解得$t=1$.所以$AP=2t=2×1=2$.因为$-2+2=0$,所以点P表示的数为0.若点P在点C的右侧,则$PC=2t-4$,$QB=t$.因为$PC+QB=3$,所以$2t-4+t=3$,解得$t=\frac{7}{3}$.所以$AP=2t=2×\frac{7}{3}=\frac{14}{3}$.因为$-2+\frac{14}{3}=\frac{8}{3}$,所以点P表示的数为$\frac{8}{3}$.综上所述,当$t=1$或$t=\frac{7}{3}$时,$PC+QB=3$,点P表示的数为0或$\frac{8}{3}$
(2) 若点P与点Q相遇前相距3个单位长度,则$2t+t+3=12$,解得$t=3$;若点P与点Q相遇后相距3个单位长度,则$2t+t-3=12$,解得$t=5$.综上所述,运动的时间为3 s或5 s
(3) 存在 若点P在点C的左侧,则$PC=4-2t$,$QB=t$.因为$PC+QB=3$,所以$4-2t+t=3$,解得$t=1$.所以$AP=2t=2×1=2$.因为$-2+2=0$,所以点P表示的数为0.若点P在点C的右侧,则$PC=2t-4$,$QB=t$.因为$PC+QB=3$,所以$2t-4+t=3$,解得$t=\frac{7}{3}$.所以$AP=2t=2×\frac{7}{3}=\frac{14}{3}$.因为$-2+\frac{14}{3}=\frac{8}{3}$,所以点P表示的数为$\frac{8}{3}$.综上所述,当$t=1$或$t=\frac{7}{3}$时,$PC+QB=3$,点P表示的数为0或$\frac{8}{3}$
解析：
【分析】
(1) 数轴上右侧的点表示的数更大，已知点A表示的数为-2，点B在A右侧且到A的距离是12，用A表示的数加两点距离即可得到B表示的数；同理点C在A右侧、到A的距离为4，用A表示的数加4即可得到C表示的数。
(2) 动点P、Q相向而行，相距3个单位分两种情况：相遇前还剩3个单位没走，此时二者走过的路程和加3等于初始距离12；相遇后错开3个单位，此时二者走过的路程和减3等于初始距离12，分别列方程求解即可。
(3) 分点P在C左侧和右侧两种情况：P在C左侧时，PC的长度为C到A的距离减去P走过的路程；P在C右侧时，PC的长度为P走过的路程减去C到A的距离；QB始终为Q走过的路程，代入PC+QB=3列方程求解，再计算对应时刻P表示的数即可。
【解析】
(1) 点B表示的数：$-2+12=10$；点C表示的数：$-2+4=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 相遇前相距3个单位：$2t + t + 3 = 12$，解得$t=3$；
② 相遇后相距3个单位：$2t + t - 3 = 12$，解得$t=5$。
综上所述，运动时间为3s或5s。
(3) 存在，分两种情况讨论：
① 点P在点C左侧时，$PC=4-2t$，$QB=t$，代入得$4-2t+t=3$，解得$t=1$，此时点P表示的数为$-2+2×1=0$；
② 点P在点C右侧时，$PC=2t-4$，$QB=t$，代入得$2t-4+t=3$，解得$t=\frac{7}{3}$，此时点P表示的数为$-2+2×\frac{7}{3}=\frac{8}{3}$。
综上所述，存在这样的时刻，点P表示的数为0或$\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；$\boxed{2}$
(2) $\boxed{3\ \mathrm{s}}$或$\boxed{5\ \mathrm{s}}$
(3) 存在，点P表示的数为$\boxed{0}$或$\boxed{\frac{8}{3}}$
【知识点】
数轴上两点距离，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解决动点问题时要根据动点的位置分情况列关系式，避免漏解，同时要熟练掌握数轴上点的平移规律和两点距离的表示方法。
【难度系数】
0.6
(1) 数轴上右侧的点表示的数更大，已知点A表示的数为-2，点B在A右侧且到A的距离是12，用A表示的数加两点距离即可得到B表示的数；同理点C在A右侧、到A的距离为4，用A表示的数加4即可得到C表示的数。
(2) 动点P、Q相向而行，相距3个单位分两种情况：相遇前还剩3个单位没走，此时二者走过的路程和加3等于初始距离12；相遇后错开3个单位，此时二者走过的路程和减3等于初始距离12，分别列方程求解即可。
(3) 分点P在C左侧和右侧两种情况：P在C左侧时，PC的长度为C到A的距离减去P走过的路程；P在C右侧时，PC的长度为P走过的路程减去C到A的距离；QB始终为Q走过的路程，代入PC+QB=3列方程求解，再计算对应时刻P表示的数即可。
【解析】
(1) 点B表示的数：$-2+12=10$；点C表示的数：$-2+4=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 相遇前相距3个单位：$2t + t + 3 = 12$，解得$t=3$；
② 相遇后相距3个单位：$2t + t - 3 = 12$，解得$t=5$。
综上所述，运动时间为3s或5s。
(3) 存在，分两种情况讨论：
① 点P在点C左侧时，$PC=4-2t$，$QB=t$，代入得$4-2t+t=3$，解得$t=1$，此时点P表示的数为$-2+2×1=0$；
② 点P在点C右侧时，$PC=2t-4$，$QB=t$，代入得$2t-4+t=3$，解得$t=\frac{7}{3}$，此时点P表示的数为$-2+2×\frac{7}{3}=\frac{8}{3}$。
综上所述，存在这样的时刻，点P表示的数为0或$\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；$\boxed{2}$
(2) $\boxed{3\ \mathrm{s}}$或$\boxed{5\ \mathrm{s}}$
(3) 存在，点P表示的数为$\boxed{0}$或$\boxed{\frac{8}{3}}$
【知识点】
数轴上两点距离，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解决动点问题时要根据动点的位置分情况列关系式，避免漏解，同时要熟练掌握数轴上点的平移规律和两点距离的表示方法。
【难度系数】
0.6