三、解答题(共 48 分)
17（6分）解下面的方程：
（1）$3x - 2 = 5x - 3$；
（2）$\frac{3x + 1}{2} - 2 = \frac{4x - 1}{3}$。
17（6分）解下面的方程：
（1）$3x - 2 = 5x - 3$；
（2）$\frac{3x + 1}{2} - 2 = \frac{4x - 1}{3}$。
答案：17. (1) $x=\frac{1}{2}$ (2) $x=7$
解析：
【分析】
解一元一次方程的核心是利用等式的基本性质逐步将方程化为$x=a$的形式。
（1）对于不含分母、括号的一元一次方程，解题思路为：先把含未知数的项移到方程一侧，常数项移到另一侧（移项要变号），再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
（2）对于含分母的一元一次方程，解题思路为：先找到各分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去掉分母（注意不要漏乘不含分母的项），再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作得到解。
【解析】
（1）$3x - 2 = 5x - 3$
移项，得：$3x - 5x = -3 + 2$
合并同类项，得：$-2x = -1$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{2}$
（2）$\frac{3x + 1}{2} - 2 = \frac{4x - 1}{3}$
去分母，方程两边同乘6，得：$3(3x + 1) - 12 = 2(4x - 1)$
去括号，得：$9x + 3 - 12 = 8x - 2$
移项，得：$9x - 8x = -2 - 3 + 12$
合并同类项，得：$x = 7$
【答案】
（1）$x=\frac{1}{2}$；（2）$x=7$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 等式的基本性质 3. 移项与去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考察解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意移项要改变符号，去分母时不要漏乘方程中的常数项，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.85
解一元一次方程的核心是利用等式的基本性质逐步将方程化为$x=a$的形式。
（1）对于不含分母、括号的一元一次方程，解题思路为：先把含未知数的项移到方程一侧，常数项移到另一侧（移项要变号），再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
（2）对于含分母的一元一次方程，解题思路为：先找到各分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去掉分母（注意不要漏乘不含分母的项），再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作得到解。
【解析】
（1）$3x - 2 = 5x - 3$
移项，得：$3x - 5x = -3 + 2$
合并同类项，得：$-2x = -1$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{2}$
（2）$\frac{3x + 1}{2} - 2 = \frac{4x - 1}{3}$
去分母，方程两边同乘6，得：$3(3x + 1) - 12 = 2(4x - 1)$
去括号，得：$9x + 3 - 12 = 8x - 2$
移项，得：$9x - 8x = -2 - 3 + 12$
合并同类项，得：$x = 7$
【答案】
（1）$x=\frac{1}{2}$；（2）$x=7$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 等式的基本性质 3. 移项与去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考察解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意移项要改变符号，去分母时不要漏乘方程中的常数项，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.85
18（6分）已知关于$x$的方程$3n-\frac{1}{4}=3(x+n)-2n$与方程$\frac{2x-3}{5}=\frac{2}{3}x-3$的解相同，求$(2n-27)^2$的值。
答案：18. 解方程$\frac{2x-3}{5}=\frac{2}{3}x-3$,得$x=9$.把$x=9$代入方程$3n-\frac{1}{4}=3(x+n)-2n$,得$2n-27=\frac{1}{4}$.所以$(2n-27)^2=\frac{1}{16}$
解析：
【分析】
本题属于同解方程问题，解题思路如下：首先，两个方程解相同说明两个方程中未知数x的取值一致，我们先求解不含参数n的方程$\frac{2x-3}{5}=\frac{2}{3}x-3$，得到x的具体值；再将x的值代入含参数n的第一个方程，不需要单独求出n的取值，观察所求代数式$(2n-27)^2$的形式，直接整理得到$2n-27$的值后计算平方即可，简化运算步骤。
【解析】
第一步：解方程$\frac{2x-3}{5}=\frac{2}{3}x-3$
去分母，两边同时乘以15得：$3(2x-3)=10x-45$
去括号得：$6x-9=10x-45$
移项得：$6x-10x=-45+9$
合并同类项得：$-4x=-36$
系数化为1得：$x=9$
第二步：把$x=9$代入方程$3n-\frac{1}{4}=3(x+n)-2n$
代入得：$3n-\frac{1}{4}=3(9+n)-2n$
化简右边得：$3n-\frac{1}{4}=27+3n-2n$
整理得：$3n-\frac{1}{4}=27+n$
移项合并得：$2n-27=\frac{1}{4}$
第三步：计算$(2n-27)^2$
代入得：$(2n-27)^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
【答案】
$\frac{1}{16}$
【知识点】
一元一次方程解法，同解方程，代数式求值
【点评】
本题重点考查同解方程的应用，解题的核心是先求出不含参数的方程的解，再代入含参数的方程推导所求代数式的值，过程中观察所求式子的形式可简化计算，减少运算失误。
【难度系数】
0.7
本题属于同解方程问题，解题思路如下：首先，两个方程解相同说明两个方程中未知数x的取值一致，我们先求解不含参数n的方程$\frac{2x-3}{5}=\frac{2}{3}x-3$，得到x的具体值；再将x的值代入含参数n的第一个方程，不需要单独求出n的取值，观察所求代数式$(2n-27)^2$的形式，直接整理得到$2n-27$的值后计算平方即可，简化运算步骤。
【解析】
第一步：解方程$\frac{2x-3}{5}=\frac{2}{3}x-3$
去分母，两边同时乘以15得：$3(2x-3)=10x-45$
去括号得：$6x-9=10x-45$
移项得：$6x-10x=-45+9$
合并同类项得：$-4x=-36$
系数化为1得：$x=9$
第二步：把$x=9$代入方程$3n-\frac{1}{4}=3(x+n)-2n$
代入得：$3n-\frac{1}{4}=3(9+n)-2n$
化简右边得：$3n-\frac{1}{4}=27+3n-2n$
整理得：$3n-\frac{1}{4}=27+n$
移项合并得：$2n-27=\frac{1}{4}$
第三步：计算$(2n-27)^2$
代入得：$(2n-27)^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
【答案】
$\frac{1}{16}$
【知识点】
一元一次方程解法，同解方程，代数式求值
【点评】
本题重点考查同解方程的应用，解题的核心是先求出不含参数的方程的解，再代入含参数的方程推导所求代数式的值，过程中观察所求式子的形式可简化计算，减少运算失误。
【难度系数】
0.7
19 (8分)已知关于x的一元一次方程$x-\frac{x+1}{2}=\frac{5-a}{3}$的解为非负整数，求正整数a的值。
答案：19. 解方程$x-\frac{x+1}{2}=\frac{5-a}{3}$,得$x=\frac{13-2a}{3}$.因为方程的解为非负整数,所以13-2a为非负数,且13-2a是3的倍数.又因为a为正整数,所以13-2a=3或13-2a=9.所以a=5或a=2.
所以正整数a的值为5或2
所以正整数a的值为5或2
解析：
【分析】
首先需要先求解这个含参数a的一元一次方程，用含a的代数式表示出方程的解x；再结合题目给出的限制条件：解为非负整数、a是正整数，推导得到关于a的取值要求，逐步筛选出符合所有条件的正整数a即可。
【解析】
第一步：求解含参数的一元一次方程 $x-\frac{x+1}{2}=\frac{5-a}{3}$
1. 去分母，两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$6x - 3(x+1) = 2(5-a)$
2. 去括号，得：
$6x - 3x - 3 = 10 - 2a$
3. 移项、合并同类项，得：
$3x = 13 - 2a$
4. 系数化为1，得方程的解：
$x = \frac{13 - 2a}{3}$
第二步：根据条件筛选a的取值
∵ 方程的解x为非负整数，
∴ $\frac{13-2a}{3} ≥ 0$，且$13-2a$是3的非负整数倍
又
∵ a为正整数，
∴ $13-2a ≥ 0$，即$a ≤ 6.5$，a可取1~6的正整数
逐一验证3的倍数的情况：
若$13-2a=0$，得$a=6.5$，不是正整数，舍去；
若$13-2a=3$，得$a=5$，符合要求；
若$13-2a=6$，得$a=3.5$，不是正整数，舍去；
若$13-2a=9$，得$a=2$，符合要求；
若$13-2a≥12$，得到的a均不是正整数或结果为负，不符合要求，舍去。
因此符合条件的正整数a为2或5。
【答案】
正整数a的值为2或5
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 方程解的应用
3. 整数解筛选
【点评】
本题是一元一次方程与整数解结合的常考题型，解题核心是先求出用参数表示的方程解，再结合解的取值要求和参数的取值限制有序筛选结果，解题时需注意不要遗漏“非负”“正整数”等限制条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
首先需要先求解这个含参数a的一元一次方程，用含a的代数式表示出方程的解x；再结合题目给出的限制条件：解为非负整数、a是正整数，推导得到关于a的取值要求，逐步筛选出符合所有条件的正整数a即可。
【解析】
第一步：求解含参数的一元一次方程 $x-\frac{x+1}{2}=\frac{5-a}{3}$
1. 去分母，两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$6x - 3(x+1) = 2(5-a)$
2. 去括号，得：
$6x - 3x - 3 = 10 - 2a$
3. 移项、合并同类项，得：
$3x = 13 - 2a$
4. 系数化为1，得方程的解：
$x = \frac{13 - 2a}{3}$
第二步：根据条件筛选a的取值
∵ 方程的解x为非负整数，
∴ $\frac{13-2a}{3} ≥ 0$，且$13-2a$是3的非负整数倍
又
∵ a为正整数，
∴ $13-2a ≥ 0$，即$a ≤ 6.5$，a可取1~6的正整数
逐一验证3的倍数的情况：
若$13-2a=0$，得$a=6.5$，不是正整数，舍去；
若$13-2a=3$，得$a=5$，符合要求；
若$13-2a=6$，得$a=3.5$，不是正整数，舍去；
若$13-2a=9$，得$a=2$，符合要求；
若$13-2a≥12$，得到的a均不是正整数或结果为负，不符合要求，舍去。
因此符合条件的正整数a为2或5。
【答案】
正整数a的值为2或5
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 方程解的应用
3. 整数解筛选
【点评】
本题是一元一次方程与整数解结合的常考题型，解题核心是先求出用参数表示的方程解，再结合解的取值要求和参数的取值限制有序筛选结果，解题时需注意不要遗漏“非负”“正整数”等限制条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
20（8分）某市为保障供水及道路安全，在排查地下管线密集区后，决定翻新一段已使用多年面临老化的自来水管.这项翻新工程如果由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要24天.现要求甲、乙两支工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天.问：完成这项工程一共用了多少天？
答案：20. 设完成这项工程一共用了$x$天,则甲工程队翻新了$x$天,乙工程队翻新了$(x-3)$天.依题意,得$\frac{x}{12}+\frac{x-3}{24}=1$,解得$x=9$.
所以完成这项工程一共用了9天
所以完成这项工程一共用了9天
解析：
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：首先工程问题通常将总工作量设为单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”可算出甲、乙两队的工作效率分别为$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{24}$；接下来找等量关系：甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量1；设总工期为x天，甲全程参与，工作时长为x天，乙中途离开3天，实际工作时长为$(x-3)$天，再根据“工作量=工作效率×工作时间”分别表示两队的工作量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设完成这项工程一共用了$x$天。
甲队全程参与工作，工作时长为$x$天，乙队中途离开3天，工作时长为$(x-3)$天，甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{24}$，根据总工作量为1列方程：
$\frac{x}{12}+\frac{x-3}{24}=1$
去分母（两边同时乘24）得：
$2x + x - 3 = 24$
移项、合并同类项得：
$3x=27$
系数化为1得：
$x=9$
经检验，$x=9$符合实际题意。
【答案】
完成这项工程一共用了9天。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题解法
【点评】
本题是一元一次方程应用的常规题型，核心是掌握工程问题把总工作量看作单位“1”的处理技巧，解题关键是准确梳理两队的实际工作时长，根据总工作量等于各部分工作量之和建立方程，注意不要漏扣乙中途离开的时长即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：首先工程问题通常将总工作量设为单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”可算出甲、乙两队的工作效率分别为$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{24}$；接下来找等量关系：甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量1；设总工期为x天，甲全程参与，工作时长为x天，乙中途离开3天，实际工作时长为$(x-3)$天，再根据“工作量=工作效率×工作时间”分别表示两队的工作量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设完成这项工程一共用了$x$天。
甲队全程参与工作，工作时长为$x$天，乙队中途离开3天，工作时长为$(x-3)$天，甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{24}$，根据总工作量为1列方程：
$\frac{x}{12}+\frac{x-3}{24}=1$
去分母（两边同时乘24）得：
$2x + x - 3 = 24$
移项、合并同类项得：
$3x=27$
系数化为1得：
$x=9$
经检验，$x=9$符合实际题意。
【答案】
完成这项工程一共用了9天。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题解法
【点评】
本题是一元一次方程应用的常规题型，核心是掌握工程问题把总工作量看作单位“1”的处理技巧，解题关键是准确梳理两队的实际工作时长，根据总工作量等于各部分工作量之和建立方程，注意不要漏扣乙中途离开的时长即可顺利求解。
【难度系数】
0.7