24 (16分)如图①,点O在直线AB上,一把直角三角尺的直角顶点在点O处(∠DOE=90°),三角尺可以绕点O转动.
(1) 如图②,若∠BOC=50°,三角尺的边OD落在射线OB上,则∠COE=
(2) 如图③,若∠BOC=120°,OD始终在∠BOC的内部,且∠BOD=2∠COE,求∠AOE的度数;
(3) 若∠BOC=α(0°＜α＜180°,且α≠90°),点C在直线AB上方,且直线OC恰好平分∠AOD,请画出示意图并直接写出∠COE的度数(用含α的式子表示).
(1) 如图②,若∠BOC=50°,三角尺的边OD落在射线OB上,则∠COE=
40
°;(2) 如图③,若∠BOC=120°,OD始终在∠BOC的内部,且∠BOD=2∠COE,求∠AOE的度数;
(3) 若∠BOC=α(0°＜α＜180°,且α≠90°),点C在直线AB上方,且直线OC恰好平分∠AOD,请画出示意图并直接写出∠COE的度数(用含α的式子表示).
答案：
(1) 40
(2) 如图①,当OE在OC的右边时,因为$∠ BOC=120°$,$OD$始终在$∠ BOC$的内部,$∠ DOE=90°$,所以$∠ COE+∠ BOD=120°-90°=30°$. 因为$∠ BOD=2∠ COE$,所以$∠ BOD=20°$.所以$∠ AOE=180°-90°-20°=70°$.如图②,当OE在OC的左边时,因为$∠ BOC=120°$,$∠ DOE=90°$,所以$∠ BOD=120°-∠ COD$,$∠ COE=90°-∠ COD$.因为$∠ BOD=2∠ COE$,所以$120°-∠ COD=2(90°-∠ COD)$.所以$∠ COD=60°$.所以$∠ COE=90°-60°=30°$.所以$∠ AOE=180°-120°-30°=30°$.综上所述,$∠ AOE$的度数为$70°$或$30°$.
(3) 示意图如图③④所示 $∠ COE=90°-α$或$∠ COE=α-90°$ 【解析】如图③,点K在直线OC上.当OE在OC的右边时,因为$∠ BOC=α$,直线OC恰好平分$∠ AOD$,所以$∠ DOK=∠ AOK=∠ BOC=α$.所以$∠ COE=180°-90°-α=90°-α$.如图④,当OE在OC的左边时,因为$∠ BOC=α$,直线OC恰好平分$∠ AOD$,所以$∠ COD=∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-α$.所以$∠ BOD=180°-2(180°-α)=2α-180°$.所以$∠ COE=∠ BOD+∠ DOE-∠ BOC=2α-180°+90°-α=α-90°$.综上所述,$∠ COE$的度数为$90°-α$或$α-90°$.
(1) 40
(2) 如图①,当OE在OC的右边时,因为$∠ BOC=120°$,$OD$始终在$∠ BOC$的内部,$∠ DOE=90°$,所以$∠ COE+∠ BOD=120°-90°=30°$. 因为$∠ BOD=2∠ COE$,所以$∠ BOD=20°$.所以$∠ AOE=180°-90°-20°=70°$.如图②,当OE在OC的左边时,因为$∠ BOC=120°$,$∠ DOE=90°$,所以$∠ BOD=120°-∠ COD$,$∠ COE=90°-∠ COD$.因为$∠ BOD=2∠ COE$,所以$120°-∠ COD=2(90°-∠ COD)$.所以$∠ COD=60°$.所以$∠ COE=90°-60°=30°$.所以$∠ AOE=180°-120°-30°=30°$.综上所述,$∠ AOE$的度数为$70°$或$30°$.
(3) 示意图如图③④所示 $∠ COE=90°-α$或$∠ COE=α-90°$ 【解析】如图③,点K在直线OC上.当OE在OC的右边时,因为$∠ BOC=α$,直线OC恰好平分$∠ AOD$,所以$∠ DOK=∠ AOK=∠ BOC=α$.所以$∠ COE=180°-90°-α=90°-α$.如图④,当OE在OC的左边时,因为$∠ BOC=α$,直线OC恰好平分$∠ AOD$,所以$∠ COD=∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-α$.所以$∠ BOD=180°-2(180°-α)=2α-180°$.所以$∠ COE=∠ BOD+∠ DOE-∠ BOC=2α-180°+90°-α=α-90°$.综上所述,$∠ COE$的度数为$90°-α$或$α-90°$.
解析：
【分析】
(1) 先明确已知条件：直角三角尺的∠DOE=90°，OD落在射线OB上，说明∠BOE与∠DOE相等，要求∠COE，直接用∠BOE减去已知的∠BOC即可。
(2) 三角尺绕点O转动时，OE的位置存在两种情况：①OE在OC右侧，②OE在OC左侧。两种情况都先利用∠BOC和∠DOE的度数，推导∠COE和∠BOD的数量关系，再结合已知∠BOD=2∠COE求出对应角的度数，最后结合平角∠AOB=180°计算∠AOE即可。
(3) 首先根据OC平分∠AOD、∠BOC=α求出∠AOC的度数，再分两种情况讨论OE的位置：①OE在OC右侧，②OE在OC左侧，结合角平分线的性质、直角和平角的定义，推导∠COE与α的关系，同时画出对应示意图。
【解析】
(1) 因为OD落在射线OB上，∠DOE=90°，所以∠BOE=90°，又已知∠BOC=50°，因此$∠ COE=∠ BOE-∠ BOC=90°-50°=40°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当OE在OC的右侧时：
已知$∠ BOC=120°$，$∠ DOE=90°$，且OD在$∠ BOC$内部，因此$∠ COE+∠ BOD=∠ BOC-∠ DOE=120°-90°=30°$。
结合$∠ BOD=2∠ COE$，代入得$∠ COE+2∠ COE=30°$，解得$∠ BOD=20°$。
因为平角$∠ AOB=180°$，所以$∠ AOE=180°-∠ DOE-∠ BOD=180°-90°-20°=70°$。
② 当OE在OC的左侧时：
由$∠ BOC=120°$可得$∠ COD=120°-∠ BOD$，由$∠ DOE=90°$可得$∠ COE=90°-∠ COD$。
结合$∠ BOD=2∠ COE$，将$∠ COD=120°-∠ BOD$代入得：$120°-∠ COD=2×(90°-∠ COD)$，解得$∠ COD=60°$，因此$∠ COE=90°-60°=30°$。
所以$∠ AOE=180°-∠ BOC-∠ COE=180°-120°-30°=30°$。
综上，$∠ AOE$的度数为$70°$或$30°$。
(3) 分两种情况计算：
① 当OE在OC的右侧时：
因为$∠ BOC=α$，OC平分$∠ AOD$，所以$∠ AOC=∠ COD=180°-α$，因此$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=90°-(180°-α)=α-90°$。
② 当OE在OC的左侧时：
因为$∠ BOC=α$，OC平分$∠ AOD$，所以$∠ AOK=∠ DOK=α$（K为OC反向延长线上的点），因此$∠ COE=180°-∠ DOE-α=180°-90°-α=90°-α$。
综上，$∠ COE$的度数为$90°-α$或$α-90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{70°}$或$\boldsymbol{30°}$
(3) 示意图如下：
$\boldsymbol{∠COE=90°-α}$或$\boldsymbol{∠COE=α-90°}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的性质，平角与直角的定义
【点评】
本题属于动态几何中的角计算问题，重点考查分类讨论思想，解题时要注意三角尺绕点转动过程中存在多种位置情况，避免漏解，同时需要熟练运用角的和差关系、角平分线性质以及特殊角的定义求解，能有效锻炼几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先明确已知条件：直角三角尺的∠DOE=90°，OD落在射线OB上，说明∠BOE与∠DOE相等，要求∠COE，直接用∠BOE减去已知的∠BOC即可。
(2) 三角尺绕点O转动时，OE的位置存在两种情况：①OE在OC右侧，②OE在OC左侧。两种情况都先利用∠BOC和∠DOE的度数，推导∠COE和∠BOD的数量关系，再结合已知∠BOD=2∠COE求出对应角的度数，最后结合平角∠AOB=180°计算∠AOE即可。
(3) 首先根据OC平分∠AOD、∠BOC=α求出∠AOC的度数，再分两种情况讨论OE的位置：①OE在OC右侧，②OE在OC左侧，结合角平分线的性质、直角和平角的定义，推导∠COE与α的关系，同时画出对应示意图。
【解析】
(1) 因为OD落在射线OB上，∠DOE=90°，所以∠BOE=90°，又已知∠BOC=50°，因此$∠ COE=∠ BOE-∠ BOC=90°-50°=40°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当OE在OC的右侧时：
已知$∠ BOC=120°$，$∠ DOE=90°$，且OD在$∠ BOC$内部，因此$∠ COE+∠ BOD=∠ BOC-∠ DOE=120°-90°=30°$。
结合$∠ BOD=2∠ COE$，代入得$∠ COE+2∠ COE=30°$，解得$∠ BOD=20°$。
因为平角$∠ AOB=180°$，所以$∠ AOE=180°-∠ DOE-∠ BOD=180°-90°-20°=70°$。
② 当OE在OC的左侧时：
由$∠ BOC=120°$可得$∠ COD=120°-∠ BOD$，由$∠ DOE=90°$可得$∠ COE=90°-∠ COD$。
结合$∠ BOD=2∠ COE$，将$∠ COD=120°-∠ BOD$代入得：$120°-∠ COD=2×(90°-∠ COD)$，解得$∠ COD=60°$，因此$∠ COE=90°-60°=30°$。
所以$∠ AOE=180°-∠ BOC-∠ COE=180°-120°-30°=30°$。
综上，$∠ AOE$的度数为$70°$或$30°$。
(3) 分两种情况计算：
① 当OE在OC的右侧时：
因为$∠ BOC=α$，OC平分$∠ AOD$，所以$∠ AOC=∠ COD=180°-α$，因此$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=90°-(180°-α)=α-90°$。
② 当OE在OC的左侧时：
因为$∠ BOC=α$，OC平分$∠ AOD$，所以$∠ AOK=∠ DOK=α$（K为OC反向延长线上的点），因此$∠ COE=180°-∠ DOE-α=180°-90°-α=90°-α$。
综上，$∠ COE$的度数为$90°-α$或$α-90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{70°}$或$\boldsymbol{30°}$
(3) 示意图如下：
$\boldsymbol{∠COE=90°-α}$或$\boldsymbol{∠COE=α-90°}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的性质，平角与直角的定义
【点评】
本题属于动态几何中的角计算问题，重点考查分类讨论思想，解题时要注意三角尺绕点转动过程中存在多种位置情况，避免漏解，同时需要熟练运用角的和差关系、角平分线性质以及特殊角的定义求解，能有效锻炼几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6