1.「2026 四川自贡期末，★☆」下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（
A.$ax^2+bx+c=0$
B.$x^2-2=(x+3)^2$
C.$x^2+\frac{3}{x}-5=0$
D.$x^2=0$
D
）A.$ax^2+bx+c=0$
B.$x^2-2=(x+3)^2$
C.$x^2+\frac{3}{x}-5=0$
D.$x^2=0$
答案：1.D A.当a=0时，$ax^2+bx+c=0$不是一元二次方程；B.由$x^2-2=(x+3)^2$，得6x+11=0，不是一元二次方程；C.$x^2+\frac{3}{x}-5=0$中，$\frac{3}{x}$不是整式，不是一元二次方程；D.$x^2=0$是一元二次方程.故选D.
解析：
【分析】
要判断方程是否为关于x的一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定条件：①只含有1个未知数x；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且二次项系数不为0。解题时对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对照判定条件逐个分析选项：
A. 对于$ax^2+bx+c=0$，当$a=0$时，二次项消失，方程变为一元一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合要求；
B. 化简$x^2-2=(x+3)^2$，展开右侧得$x^2+6x+9$，移项合并同类项后为$6x+11=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；
C. $x^2+\frac{3}{x}-5=0$中$\frac{3}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. $x^2=0$仅含未知数x，x的最高次数为2，是整式方程且二次项系数为1≠0，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，整式方程的概念
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0、方程为整式方程这两个易漏易错点，避免掉入命题陷阱。
【难度系数】
0.9
要判断方程是否为关于x的一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定条件：①只含有1个未知数x；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且二次项系数不为0。解题时对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对照判定条件逐个分析选项：
A. 对于$ax^2+bx+c=0$，当$a=0$时，二次项消失，方程变为一元一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合要求；
B. 化简$x^2-2=(x+3)^2$，展开右侧得$x^2+6x+9$，移项合并同类项后为$6x+11=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；
C. $x^2+\frac{3}{x}-5=0$中$\frac{3}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. $x^2=0$仅含未知数x，x的最高次数为2，是整式方程且二次项系数为1≠0，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，整式方程的概念
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0、方程为整式方程这两个易漏易错点，避免掉入命题陷阱。
【难度系数】
0.9
2.「2026北京海淀月考，★☆」用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +3=0$时，将它化为$(x+m)^2 =n$的形式，则$m+n$的值为（
A.-6
B.-3
C.0
D.3
D
）A.-6
B.-3
C.0
D.3
答案：2.D $x^2-6x+3=0$，配方得$x^2-6x+9=-3+9$，即$(x-3)^2=6$，$\therefore m=-3,n=6$，则$m+n=-3+6=3$.故选D.
解析：
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤：第一步移项，把常数项移到等号右侧；第二步配方，给等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，即可得到$(x+m)^2=n$的形式，再对应找到$m$、$n$的值计算$m+n$即可。
【解析】
解：对原方程先移项，得：
$x^2 -6x = -3$
给方程左右两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = -3 +9$
将左边整理为完全平方形式，得：
$(x-3)^2=6$
对比$(x+m)^2=n$，可得$m=-3$，$n=6$
因此$m+n=-3+6=3$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的基本操作步骤，熟练掌握移项、配方的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤：第一步移项，把常数项移到等号右侧；第二步配方，给等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，即可得到$(x+m)^2=n$的形式，再对应找到$m$、$n$的值计算$m+n$即可。
【解析】
解：对原方程先移项，得：
$x^2 -6x = -3$
给方程左右两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = -3 +9$
将左边整理为完全平方形式，得：
$(x-3)^2=6$
对比$(x+m)^2=n$，可得$m=-3$，$n=6$
因此$m+n=-3+6=3$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的基本操作步骤，熟练掌握移项、配方的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.「2026河南漯河期中，★☆」已知m是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的一个根，则$2026 - m^2 + m$的值为（
A.2023
B.2022
C.2021
D.2024
A
）A.2023
B.2022
C.2021
D.2024
答案：3.A $\because m$是$x^2-x-3=0$的一个根，$\therefore m^2-m-3=0$，即$m^2=m+3$.$\therefore$ 原式$= 2\ 026-(m+3)+m= 2\ 026-3=2\ 023$.故选A.
解析：
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：将根代入方程可使方程左右两边相等，得到关于m的等式；再观察所求代数式的结构，无需计算m的具体值，通过整体代入的方法即可简化运算，快速求出结果。
【解析】
$\because$ m是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的一个根，
$\therefore$ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 3 = 0$，整理得$m^2 - m = 3$。
对所求代数式变形可得：$2026 - m^2 + m = 2026 - (m^2 - m)$，
将$m^2 - m = 3$代入上式，得：
原式$=2026 - 3 = 2023$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心是利用方程根的性质得到相关代数式的值，通过整体代入规避求解一元二次方程的复杂运算，考查转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：将根代入方程可使方程左右两边相等，得到关于m的等式；再观察所求代数式的结构，无需计算m的具体值，通过整体代入的方法即可简化运算，快速求出结果。
【解析】
$\because$ m是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的一个根，
$\therefore$ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 3 = 0$，整理得$m^2 - m = 3$。
对所求代数式变形可得：$2026 - m^2 + m = 2026 - (m^2 - m)$，
将$m^2 - m = 3$代入上式，得：
原式$=2026 - 3 = 2023$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心是利用方程根的性质得到相关代数式的值，通过整体代入规避求解一元二次方程的复杂运算，考查转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.8
4.「2025江苏扬州中考，★☆」关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案：4.A $\because \Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，$\therefore$ 方程$x^2-3x+1=0$有两个不相等的实数根.故选A.
解析：
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta$来分析，解题思路如下：第一步，先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步，根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题，主要考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题时需注意准确提取各项系数、牢记判别式与根的对应关系，计算时注意系数符号避免出错。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta$来分析，解题思路如下：第一步，先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步，根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题，主要考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题时需注意准确提取各项系数、牢记判别式与根的对应关系，计算时注意系数符号避免出错。
【难度系数】
0.9
5.「2025黑龙江龙东地区中考，★☆」随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该品牌汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（
A.$8000(1+2x)=1200$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
B
）A.$8000(1+2x)=1200$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
答案：5.B 由题意得一月份销售8 000辆，则二月份销售$8\ 000(1+x)$辆，三月份销售$8\ 000(1+x)^2$辆，所以列方程为$8\ 000(1+x)^2=12\ 000$.故选B.
解析：
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确基期量：一月份的销量8000辆是基期数值，平均每月增长率为x；②回忆增长率的计算规律：每增长一次，数量变为原来的(1+x)倍，从一月份到三月份一共经过2次增长（一月→二月，二月→三月）；③题目给出的是三月份的单月销量，不是三个月的总销量，因此只需用基期量乘两次(1+x)得到三月份的销量，再和已知的三月份销量12000辆列等式即可，注意排除“把增长次数和增长率直接相乘”“误算三个月销量总和”等易错思路。
【解析】
已知一月份销量为8000辆，平均每月增长率为x：
二月份的销量 = 一月份销量×(1+x) = 8000(1+x)辆
三月份的销量 = 二月份销量×(1+x) = 8000(1+x)·(1+x) = 8000(1+x)²辆
已知三月份销量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$
对应选项，B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是理清增长次数、单期量与基期量、增长率之间的关系，做题时注意看清题干给出的是单期量还是累计总量，避免混淆概念选错选项。
【难度系数】
0.85
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确基期量：一月份的销量8000辆是基期数值，平均每月增长率为x；②回忆增长率的计算规律：每增长一次，数量变为原来的(1+x)倍，从一月份到三月份一共经过2次增长（一月→二月，二月→三月）；③题目给出的是三月份的单月销量，不是三个月的总销量，因此只需用基期量乘两次(1+x)得到三月份的销量，再和已知的三月份销量12000辆列等式即可，注意排除“把增长次数和增长率直接相乘”“误算三个月销量总和”等易错思路。
【解析】
已知一月份销量为8000辆，平均每月增长率为x：
二月份的销量 = 一月份销量×(1+x) = 8000(1+x)辆
三月份的销量 = 二月份销量×(1+x) = 8000(1+x)·(1+x) = 8000(1+x)²辆
已知三月份销量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$
对应选项，B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是理清增长次数、单期量与基期量、增长率之间的关系，做题时注意看清题干给出的是单期量还是累计总量，避免混淆概念选错选项。
【难度系数】
0.85
6.「2026江苏扬州邗江期中，★★☆」方程$x^2 -7x +12=0$的两个实数根恰好是等腰$△ ABC$的两条边的长，则$△ ABC$的周长为（
A.7
B.10
C.11
D.10或11
D
）A.7
B.10
C.11
D.10或11
答案：6.D 因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3,x_2=4$，$\therefore$ 等腰$△ ABC$的两条边的长为3,4.当底边长为3时，周长为$4+4+3=11$；当底边长为4时，周长为$3+3+4=10$，且均符合三角形三边关系，$\therefore △ ABC$的周长为10或11.故选D.
解析：
【分析】
本题需要先求解一元二次方程得到两根，再结合等腰三角形的性质分类讨论腰和底边的取值，最后根据三角形三边关系验证每种情况是否成立，进而计算出三角形的周长。具体思考步骤：第一步先解一元二次方程得到两个根，也就是等腰三角形的两条边长；第二步因为等腰三角形两腰相等，所以分两种情况讨论，分别以其中一个根为腰，另一个为底；第三步每种情况都要验证是否满足三角形两边之和大于第三边，符合的情况再计算周长。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，所以$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即等腰$△ ABC$的两条边长为3和4。
接下来分两种情况讨论：
① 当底边长为3，腰长为4时，三边长分别为3、4、4，由于$3+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$4+4+3=11$；
② 当底边长为4，腰长为3时，三边长分别为3、3、4，由于$3+3＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+4=10$。
综上，$△ ABC$的周长为10或11，故选D。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需要注意分类讨论两种等腰情况，且每种情况都要验证是否符合三角形三边关系，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
本题需要先求解一元二次方程得到两根，再结合等腰三角形的性质分类讨论腰和底边的取值，最后根据三角形三边关系验证每种情况是否成立，进而计算出三角形的周长。具体思考步骤：第一步先解一元二次方程得到两个根，也就是等腰三角形的两条边长；第二步因为等腰三角形两腰相等，所以分两种情况讨论，分别以其中一个根为腰，另一个为底；第三步每种情况都要验证是否满足三角形两边之和大于第三边，符合的情况再计算周长。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，所以$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即等腰$△ ABC$的两条边长为3和4。
接下来分两种情况讨论：
① 当底边长为3，腰长为4时，三边长分别为3、4、4，由于$3+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$4+4+3=11$；
② 当底边长为4，腰长为3时，三边长分别为3、3、4，由于$3+3＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+4=10$。
综上，$△ ABC$的周长为10或11，故选D。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需要注意分类讨论两种等腰情况，且每种情况都要验证是否符合三角形三边关系，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7