7.「2025山东东营中考，★☆」若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.-1
C
）A.0
B.25
C.26
D.-1
答案：7.C $\because x_1,x_2$是方程的两个实数根，$\therefore$ 由根与系数的关系得$x_1+x_2=25$，$x_1^2-25x_1-1=0$，$\therefore x_1^2=25x_1+1$，$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25x_1+1-24x_1+x_2=x_1+x_2+1=25+1=26$.故选C.
解析：
【分析】
本题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，解题思路如下：首先观察所求代数式含有$x_1$的二次项，可先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程得到$x_1^2$的表达式实现降次；再将降次后的式子代入所求代数式化简，化简后会出现两根之和的结构，最后利用根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可，无需单独求解两根的具体值，能大幅简化计算。
【解析】
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$；
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 25$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
原式$= 25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + 1$，
再将$x_1 + x_2 = 25$代入得：$25 + 1 = 26$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用类常考基础题，解题核心是熟练运用根的定义实现降次，结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解方程根的繁琐计算，考查对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，解题思路如下：首先观察所求代数式含有$x_1$的二次项，可先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程得到$x_1^2$的表达式实现降次；再将降次后的式子代入所求代数式化简，化简后会出现两根之和的结构，最后利用根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可，无需单独求解两根的具体值，能大幅简化计算。
【解析】
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$；
根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 25$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
原式$= 25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + 1$，
再将$x_1 + x_2 = 25$代入得：$25 + 1 = 26$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用类常考基础题，解题核心是熟练运用根的定义实现降次，结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解方程根的繁琐计算，考查对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
8.「2026河南南阳新野期中，★★★」“一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法.如图，某小区在一块长为90 m，宽为65 m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的长平行，另外两条和矩形的宽平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为218 m²，求小路的宽度.这三位同学都用了方程来解决.设小路的宽度为x m，得出方程：①$(90-2x)(65-x)=90×65-218$；②$65×2x+(90-2x)x=218$；③$65×2x+90x-x²=218$.其中正确的是 (
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
C
)A.①
B.②
C.①②
D.①②③
答案：8.C 方程①:将“小路”平移，则“种植区域”是一个长为$(90-2x)\mathrm{m}$，宽为$(65-x)\mathrm{m}$的矩形，方程表示“种植区域面积=总面积-小路面积”，正确；方程②:方程表示“两条与宽平行的小路面积+一条与长平行的小路面积(不含重叠部分)=小路总面积”，正确；方程③:三条小路重叠部分总面积为$2x^2\ \mathrm{m}^2$，故正确方程应为$65×2x+90x-2x^2=218$，表示单独计算三条小路面积和-重叠部分面积=小路总面积，因此③错误.故选C.
解析：
【分析】
要判断三个方程是否正确，可从两个常用等量关系入手分析：一是“种植区域面积=矩形总面积-小路占地面积”，二是“小路占地面积=各小路面积之和减去重叠部分的面积”，结合图形特点逐个验证三个方程即可。
【解析】
对三个方程逐一分析：
1. 验证方程①：将三条小路向矩形边缘平移，剩余种植区域可拼接为一个新的矩形，新矩形的长为原长减去2条竖直小路的宽度，即$(90-2x)\mathrm{m}$，宽为原宽减去1条水平小路的宽度，即$(65-x)\mathrm{m}$。根据“种植区域面积=总面积-小路面积”，可列方程$(90-2x)(65-x)=90×65-218$，因此①正确。
2. 验证方程②：两条与宽平行的竖直小路，单条面积为$65x$，总面积为$65×2x$；与长平行的水平小路，去除和两条竖直小路重叠的部分后，长度为$(90-2x)$，面积为$(90-2x)x$。两部分面积和等于小路总面积218，可列方程$65×2x+(90-2x)x=218$，因此②正确。
3. 验证方程③：若先单独计算三条小路的面积和，两条竖直小路面积和为$65×2x$，水平小路面积为$90x$，两者相加时，两条竖直小路和水平小路的重叠部分（共2个边长为$x$的正方形）被重复计算了1次，因此需要减去$2x^2$才是实际小路面积，正确方程应为$65×2x+90x-2x^2=218$，因此③错误。
综上，①②正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，平移法求面积，重叠面积计算
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程应用题，解题的核心是避免重复计算小路的重叠部分，平移法是此类问题的常用技巧，可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.65
要判断三个方程是否正确，可从两个常用等量关系入手分析：一是“种植区域面积=矩形总面积-小路占地面积”，二是“小路占地面积=各小路面积之和减去重叠部分的面积”，结合图形特点逐个验证三个方程即可。
【解析】
对三个方程逐一分析：
1. 验证方程①：将三条小路向矩形边缘平移，剩余种植区域可拼接为一个新的矩形，新矩形的长为原长减去2条竖直小路的宽度，即$(90-2x)\mathrm{m}$，宽为原宽减去1条水平小路的宽度，即$(65-x)\mathrm{m}$。根据“种植区域面积=总面积-小路面积”，可列方程$(90-2x)(65-x)=90×65-218$，因此①正确。
2. 验证方程②：两条与宽平行的竖直小路，单条面积为$65x$，总面积为$65×2x$；与长平行的水平小路，去除和两条竖直小路重叠的部分后，长度为$(90-2x)$，面积为$(90-2x)x$。两部分面积和等于小路总面积218，可列方程$65×2x+(90-2x)x=218$，因此②正确。
3. 验证方程③：若先单独计算三条小路的面积和，两条竖直小路面积和为$65×2x$，水平小路面积为$90x$，两者相加时，两条竖直小路和水平小路的重叠部分（共2个边长为$x$的正方形）被重复计算了1次，因此需要减去$2x^2$才是实际小路面积，正确方程应为$65×2x+90x-2x^2=218$，因此③错误。
综上，①②正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，平移法求面积，重叠面积计算
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程应用题，解题的核心是避免重复计算小路的重叠部分，平移法是此类问题的常用技巧，可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.65
9.「2025贵州中考，★☆」一元二次方程$x^2 -1=0$的根是
$x=\pm1$
。答案：9.答案 $x=\pm1$
解析 $x^2-1=0$，移项得$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm1$.
解析 $x^2-1=0$，移项得$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm1$.
解析：
【分析】
求解本题首先观察一元二次方程的形式，该方程不含一次项，可采用直接开平方法简化计算：首先将常数项移至等号右侧，得到$x^2$等于正数的形式，再根据平方根的定义对两边开平方，就能得到方程的两个根；也可利用平方差公式因式分解求解，两种方法均适合本题。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -1=0$进行移项，将常数项$-1$移到等号右侧，得：
$x^2=1$
对等式两边直接开平方，可得：
$x=\pm1$
【答案】
$x=\pm1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考察核心是一元二次方程的基础解法，运算量小，属于易得分题目，只要掌握直接开平方法的运算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
求解本题首先观察一元二次方程的形式，该方程不含一次项，可采用直接开平方法简化计算：首先将常数项移至等号右侧，得到$x^2$等于正数的形式，再根据平方根的定义对两边开平方，就能得到方程的两个根；也可利用平方差公式因式分解求解，两种方法均适合本题。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -1=0$进行移项，将常数项$-1$移到等号右侧，得：
$x^2=1$
对等式两边直接开平方，可得：
$x=\pm1$
【答案】
$x=\pm1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考察核心是一元二次方程的基础解法，运算量小，属于易得分题目，只要掌握直接开平方法的运算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
10.「2026天津南开月考，★☆」若关于x的一元二次方程$kx^2 + (k^2 - 3k +1)x -3=0$的一次项系数是1，则k=
$3$
。答案：10.答案 3
解析 由题意得$k^2-3k+1=1$且$k\ne0$，解得$k=3$.
解析 由题意得$k^2-3k+1=1$且$k\ne0$，解得$k=3$.
解析：
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的成立条件：首先二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程；其次题目明确给出一次项系数为1，对应找到方程的一次项系数表达式列等式求解，最后结合二次项系数不为0的限制筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$k \ne 0$
又
∵ 一次项系数是1
∴ $k^2 - 3k +1 = 1$
移项整理得：$k^2 - 3k = 0$
因式分解得：$k(k-3)=0$
解得：$k_1=0$，$k_2=3$
结合$k \ne 0$的限制，舍去$k=0$
∴ $k=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义，因式分解法解方程，一元二次方程的系数
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，直接解出两个k值就全部填入，做题时要先关注方程的类型限定条件，再根据题意列式求解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确一元二次方程的成立条件：首先二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程；其次题目明确给出一次项系数为1，对应找到方程的一次项系数表达式列等式求解，最后结合二次项系数不为0的限制筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$k \ne 0$
又
∵ 一次项系数是1
∴ $k^2 - 3k +1 = 1$
移项整理得：$k^2 - 3k = 0$
因式分解得：$k(k-3)=0$
解得：$k_1=0$，$k_2=3$
结合$k \ne 0$的限制，舍去$k=0$
∴ $k=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义，因式分解法解方程，一元二次方程的系数
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，直接解出两个k值就全部填入，做题时要先关注方程的类型限定条件，再根据题意列式求解。
【难度系数】
0.7
11.「2026江苏无锡宜兴月考，★☆」已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - 2 = 0$，若$x = -1$是方程的一个根，则方程的另一根是
$x=2$
。答案：11.答案 $x=2$
解析 设方程的另一根为$x_2$，由根与系数的关系得$(-1)· x_2=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_2=2$.
解析 设方程的另一根为$x_2$，由根与系数的关系得$(-1)· x_2=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_2=2$.
解析：
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一根，有两种常用思路：一是将已知根代入方程求出参数m的值，再解方程得到另一根；二是利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根乘积和方程系数的关系计算另一根，后者计算更简便。本题可设另一根为$x_2$，根据两根之积等于常数项除以二次项系数的规律列等式求解即可。
【解析】
设方程的另一根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1·x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - mx - 2 = 0$中，$a=1$，$c=-2$，已知其中一个根$x_1=-1$，代入得：
$(-1)·x_2=\frac{-2}{1}=-2$
解得$x_2=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，熟练掌握该知识点可快速解题，无需先求解参数m，能减少计算量。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根求另一根，有两种常用思路：一是将已知根代入方程求出参数m的值，再解方程得到另一根；二是利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根乘积和方程系数的关系计算另一根，后者计算更简便。本题可设另一根为$x_2$，根据两根之积等于常数项除以二次项系数的规律列等式求解即可。
【解析】
设方程的另一根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1·x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - mx - 2 = 0$中，$a=1$，$c=-2$，已知其中一个根$x_1=-1$，代入得：
$(-1)·x_2=\frac{-2}{1}=-2$
解得$x_2=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，熟练掌握该知识点可快速解题，无需先求解参数m，能减少计算量。
【难度系数】
0.9
12.学科特色 易错题「2025四川广元中考，★★☆」若关于x的一元二次方程$(a - 1)x^2 + (a - 1)x - \frac{1}{2} = 0$有两个相等的实数根，则$a =$
$-1$
.答案：12.答案 -1
解析 由题意得$a-1\ne0$且$\Delta=(a-1)^2-4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$，$\therefore a=-1$.
易错警示 易忽视二次项系数不为0.
解析 由题意得$a-1\ne0$且$\Delta=(a-1)^2-4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$，$\therefore a=-1$.
易错警示 易忽视二次项系数不为0.
解析：
【分析】
要解决这道题，需结合两个核心条件思考：首先题目明确是一元二次方程，因此隐含了二次项系数不为0的前提，否则方程会退化为一次方程，不存在两个相等的实数根；其次，一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ=0，联立两个条件求解后排除不符合前提的解，就能得到正确的a值。
【解析】
解：
∵方程$(a - 1)x^2 + (a - 1)x - \frac{1}{2} = 0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1\ne0$，解得$a\ne1$
∵方程有两个相等的实数根
∴判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2}) = 0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1) = 0$
提取公因式$(a-1)$：
$(a-1)(a-1+2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$，结合$a\ne1$的前提，舍去$a=1$
∴$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时需优先考虑一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，再结合根的判别式列方程求解，避免忽略限制条件得到错误解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合两个核心条件思考：首先题目明确是一元二次方程，因此隐含了二次项系数不为0的前提，否则方程会退化为一次方程，不存在两个相等的实数根；其次，一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ=0，联立两个条件求解后排除不符合前提的解，就能得到正确的a值。
【解析】
解：
∵方程$(a - 1)x^2 + (a - 1)x - \frac{1}{2} = 0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1\ne0$，解得$a\ne1$
∵方程有两个相等的实数根
∴判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta=(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2}) = 0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1) = 0$
提取公因式$(a-1)$：
$(a-1)(a-1+2)=0$
即$(a-1)(a+1)=0$
解得$a=1$或$a=-1$，结合$a\ne1$的前提，舍去$a=1$
∴$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时需优先考虑一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，再结合根的判别式列方程求解，避免忽略限制条件得到错误解。
【难度系数】
0.6
13.「2026山西晋中月考，★★☆」为丰富学生的校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，某校组织了学生篮球赛，共有若干支队伍报名参赛.参赛的每两支队伍之间都要进行一场比赛，受场地限制，每天都安排4场比赛，赛程计划持续7天.则参赛队伍共有
$8$
支.答案：13.答案 8
解析 设参赛队伍共有x支，根据题意列方程得，$\frac{x(x-1)}{2}=4×7$，整理得，$x^2-x-56=0$，解得$x=8$或$x=-7$(舍去)，则参赛队伍共有8支.
解析 设参赛队伍共有x支，根据题意列方程得，$\frac{x(x-1)}{2}=4×7$，整理得，$x^2-x-56=0$，解得$x=8$或$x=-7$(舍去)，则参赛队伍共有8支.
解析：
【分析】
首先明确本题是单循环赛制的实际应用问题，解题思路分为三步：第一步，回忆单循环比赛总场次的计算方法：若有x支队伍参赛，每两队赛一场，总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步，计算赛程安排的总比赛场次：每天4场，共7天，总场次为$4×7=28$场；第三步，根据两种方式计算的总场次相等建立一元二次方程，求解后结合队伍数为正整数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
设参赛队伍共有$x$支。
单循环赛制下总比赛场次为$\frac{x(x-1)}{2}$，根据赛程安排总场次为$4×7=28$场，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=4×7$
整理得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为参赛队伍数量不能为负数，故舍去$x=-7$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程应用，单循环场次计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是实际场景下的方程应用类题型，核心是正确理解单循环赛制的计数规则，找准等量关系列方程，解题时要注意对求解结果结合实际意义进行取舍，属于常考的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
首先明确本题是单循环赛制的实际应用问题，解题思路分为三步：第一步，回忆单循环比赛总场次的计算方法：若有x支队伍参赛，每两队赛一场，总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步，计算赛程安排的总比赛场次：每天4场，共7天，总场次为$4×7=28$场；第三步，根据两种方式计算的总场次相等建立一元二次方程，求解后结合队伍数为正整数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
设参赛队伍共有$x$支。
单循环赛制下总比赛场次为$\frac{x(x-1)}{2}$，根据赛程安排总场次为$4×7=28$场，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=4×7$
整理得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为参赛队伍数量不能为负数，故舍去$x=-7$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程应用，单循环场次计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是实际场景下的方程应用类题型，核心是正确理解单循环赛制的计数规则，找准等量关系列方程，解题时要注意对求解结果结合实际意义进行取舍，属于常考的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
14.「2026广东中山期中，★★☆」对于两个不相等的实数$a,b$，我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中较大的数，如:$\max\{-1,3\}=3$.按照这个规定，方程$\max\{x+2,2\}=x^2$的解为
$x=2或x=-\sqrt{2}$
.答案：14.答案 $x=2$或$x=-\sqrt{2}$
解析 ①当$x+2\ge2$，即$x\ge0$时，有$x+2=x^2$，$\therefore x^2-x-2=0$，$\therefore (x-2)(x+1)=0$，解得$x=-1$(舍去)或$x=2$；②当$x+2＜2$，即$x＜0$时，有$2=x^2$，解得$x=\sqrt{2}$(舍去)或$x=-\sqrt{2}$.综上所述，$x=2$或$x=-\sqrt{2}$.
解析 ①当$x+2\ge2$，即$x\ge0$时，有$x+2=x^2$，$\therefore x^2-x-2=0$，$\therefore (x-2)(x+1)=0$，解得$x=-1$(舍去)或$x=2$；②当$x+2＜2$，即$x＜0$时，有$2=x^2$，解得$x=\sqrt{2}$(舍去)或$x=-\sqrt{2}$.综上所述，$x=2$或$x=-\sqrt{2}$.
解析：
【分析】
本题是新定义运算类题目，首先要明确符号$\max\{a,b\}$的含义是取两个数中较大的数。由于$x+2$和2的大小关系随$x$的取值变化，因此需要分两种情况讨论：先根据大小关系确定$\max\{x+2,2\}$对应的代数式，再将原方程转化为普通的一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合对应情况的$x$取值范围，不符合的要舍去，最终汇总得到方程的解。
【解析】
我们分两种情况讨论：
① 当$x+2\ge2$，即$x\ge0$时，$\max\{x+2,2\}=x+2$，原方程可化为：
$x+2=x^2$
整理得$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
其中$x=-1$不符合$x\ge0$的前提，舍去，保留$x=2$。
② 当$x+2＜2$，即$x＜0$时，$\max\{x+2,2\}=2$，原方程可化为：
$2=x^2$
解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$
其中$x=\sqrt{2}$不符合$x＜0$的前提，舍去，保留$x=-\sqrt{2}$。
综上，方程的解为$x=2$或$x=-\sqrt{2}$。
【答案】
$x=2$或$x=-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，解题的核心是根据$\max$的定义合理分类，将新定义方程转化为常规方程求解，求出解后要注意验证是否符合对应分类的取值范围，避免多解错解。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算类题目，首先要明确符号$\max\{a,b\}$的含义是取两个数中较大的数。由于$x+2$和2的大小关系随$x$的取值变化，因此需要分两种情况讨论：先根据大小关系确定$\max\{x+2,2\}$对应的代数式，再将原方程转化为普通的一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合对应情况的$x$取值范围，不符合的要舍去，最终汇总得到方程的解。
【解析】
我们分两种情况讨论：
① 当$x+2\ge2$，即$x\ge0$时，$\max\{x+2,2\}=x+2$，原方程可化为：
$x+2=x^2$
整理得$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
其中$x=-1$不符合$x\ge0$的前提，舍去，保留$x=2$。
② 当$x+2＜2$，即$x＜0$时，$\max\{x+2,2\}=2$，原方程可化为：
$2=x^2$
解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$
其中$x=\sqrt{2}$不符合$x＜0$的前提，舍去，保留$x=-\sqrt{2}$。
综上，方程的解为$x=2$或$x=-\sqrt{2}$。
【答案】
$x=2$或$x=-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，解题的核心是根据$\max$的定义合理分类，将新定义方程转化为常规方程求解，求出解后要注意验证是否符合对应分类的取值范围，避免多解错解。
【难度系数】
0.6