三、解答题(共44分)
15.「2026天津河西月考，★☆」(12分)用适当方法解方程.
(1)$\frac{1}{3}(x-2)^2=3$.
(2)$x^2+4x-2=10$.
(3)$2x^2-5x+1=0$.
(4)$(3-x)^2+x^2=9$.
15.「2026天津河西月考，★☆」(12分)用适当方法解方程.
(1)$\frac{1}{3}(x-2)^2=3$.
(2)$x^2+4x-2=10$.
(3)$2x^2-5x+1=0$.
(4)$(3-x)^2+x^2=9$.
答案：15.解析 (1)原方程整理，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$.
(2)原方程整理，得$x^2+4x-12=0$，
因式分解，得$(x-2)(x+6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-6$.
(3)$a=2,b=-5,c=1$，$\therefore \Delta=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
(4)原方程移项，得$(x-3)^2+x^2-9=0$，
因式分解，得$(x-3)^2+(x+3)(x-3)=0$，
$\therefore [(x-3)+(x+3)](x-3)=0$，
$\therefore 2x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$.
直接开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$.
(2)原方程整理，得$x^2+4x-12=0$，
因式分解，得$(x-2)(x+6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-6$.
(3)$a=2,b=-5,c=1$，$\therefore \Delta=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
(4)原方程移项，得$(x-3)^2+x^2-9=0$，
因式分解，得$(x-3)^2+(x+3)(x-3)=0$，
$\therefore [(x-3)+(x+3)](x-3)=0$，
$\therefore 2x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$.
解析：
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：①第(1)题方程符合“常数乘以平方项等于常数”的形式，优先用直接开平方法，先将平方项的系数化为1，再开平方求解；②第(2)题先整理为一般式，观察二次三项式可因式分解，用因式分解法更简便；③第(3)题无法直接开方也不易因式分解，选用公式法，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；④第(4)题两项中含有公因式$(x-3)$，移项后提取公因式用因式分解法求解，可避免展开计算的繁琐。
【解析】
(1) 原方程整理，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 原方程整理，得$x^2+4x-12=0$，
因式分解，得$(x-2)(x+6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-6$。
(3) 由方程得$a=2,b=-5,c=1$，
$\therefore \Delta=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
(4) 原方程移项，得$(x-3)^2+x^2-9=0$，
因式分解，得$(x-3)^2+(x+3)(x-3)=0$，
$\therefore [(x-3)+(x+3)](x-3)=0$，
$\therefore 2x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-1$
(2) $x_1=2,x_2=-6$
(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=0,x_2=3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要先观察方程的形式，选择最简便的方法求解，既能提升解题速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：①第(1)题方程符合“常数乘以平方项等于常数”的形式，优先用直接开平方法，先将平方项的系数化为1，再开平方求解；②第(2)题先整理为一般式，观察二次三项式可因式分解，用因式分解法更简便；③第(3)题无法直接开方也不易因式分解，选用公式法，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；④第(4)题两项中含有公因式$(x-3)$，移项后提取公因式用因式分解法求解，可避免展开计算的繁琐。
【解析】
(1) 原方程整理，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 原方程整理，得$x^2+4x-12=0$，
因式分解，得$(x-2)(x+6)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-6$。
(3) 由方程得$a=2,b=-5,c=1$，
$\therefore \Delta=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
(4) 原方程移项，得$(x-3)^2+x^2-9=0$，
因式分解，得$(x-3)^2+(x+3)(x-3)=0$，
$\therefore [(x-3)+(x+3)](x-3)=0$，
$\therefore 2x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-1$
(2) $x_1=2,x_2=-6$
(3) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(4) $x_1=0,x_2=3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时要先观察方程的形式，选择最简便的方法求解，既能提升解题速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
16.「2026 浙江嘉兴月考，★☆」(6分)嘉嘉解一元二次方程 $2x^2 - x = 1$ 的过程如下：
解:$2x^2 - x -1 =0$, ………………………………………………… ①
$a=2,b=1,c=1$, ………………………………………………… ②
$\Delta = b^2 -4ac =1 -4×2×1 =-7＜0$, ……………………………………… ③
方程无实数根.……………………………………………………… ④
(1)嘉嘉解方程的方法是 ______,他的求解过程从第 ______ 步开始出现错误.
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤.
解:$2x^2 - x -1 =0$, ………………………………………………… ①
$a=2,b=1,c=1$, ………………………………………………… ②
$\Delta = b^2 -4ac =1 -4×2×1 =-7＜0$, ……………………………………… ③
方程无实数根.……………………………………………………… ④
(1)嘉嘉解方程的方法是 ______,他的求解过程从第 ______ 步开始出现错误.
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤.
答案：16.解析 (1)公式法；②.
(2)$2x^2-x-1=0$，$a=2,b=-1,c=-1$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，$\therefore x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)$2x^2-x-1=0$，$a=2,b=-1,c=-1$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，$\therefore x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$.
解析：
【分析】
(1) 先判断解题方法：嘉嘉先将方程化为一元二次方程的一般形式，再确定系数计算判别式，使用的是公式法解一元二次方程。再找错误步骤：一元二次方程一般式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，原方程移项后为$2x^2 -x -1=0$，系数需带对应符号，因此$b=-1$，$c=-1$，嘉嘉第②步写错了b、c的取值，所以从第②步开始出错。
(2) 正确解题遵循公式法的标准流程：第一步将方程化为一般形式，第二步准确确定带符号的a、b、c取值，第三步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第四步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可。
【解析】
(1) 观察嘉嘉的解题流程，使用的是公式法解一元二次方程；原方程化为一般式$2x^2 -x -1=0$后，对应系数为$a=2$、$b=-1$、$c=-1$，因此第②步中b、c的取值错误，即从第②步开始出现错误。
(2) 正确解题步骤：
先将方程整理为一般形式：$2x^2 - x -1 = 0$，
确定对应系数：$a=2$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×2×(-1) = 9＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1+3}{4}=1$，$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 公式法；②
(2) $2x^2-x-1=0$，$a=2,b=-1,c=-1$，$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，$\therefore x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，根的判别式
【点评】
本题围绕一元二次方程的公式法解法设置，核心考查对公式法求解步骤的掌握程度，易错点是确定系数时忽略正负号，解题时需先将方程整理为一般形式，再准确对应a、b、c的取值，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
(1) 先判断解题方法：嘉嘉先将方程化为一元二次方程的一般形式，再确定系数计算判别式，使用的是公式法解一元二次方程。再找错误步骤：一元二次方程一般式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，原方程移项后为$2x^2 -x -1=0$，系数需带对应符号，因此$b=-1$，$c=-1$，嘉嘉第②步写错了b、c的取值，所以从第②步开始出错。
(2) 正确解题遵循公式法的标准流程：第一步将方程化为一般形式，第二步准确确定带符号的a、b、c取值，第三步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第四步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可。
【解析】
(1) 观察嘉嘉的解题流程，使用的是公式法解一元二次方程；原方程化为一般式$2x^2 -x -1=0$后，对应系数为$a=2$、$b=-1$、$c=-1$，因此第②步中b、c的取值错误，即从第②步开始出现错误。
(2) 正确解题步骤：
先将方程整理为一般形式：$2x^2 - x -1 = 0$，
确定对应系数：$a=2$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×2×(-1) = 9＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1+3}{4}=1$，$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 公式法；②
(2) $2x^2-x-1=0$，$a=2,b=-1,c=-1$，$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{1\pm3}{4}$，$\therefore x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，根的判别式
【点评】
本题围绕一元二次方程的公式法解法设置，核心考查对公式法求解步骤的掌握程度，易错点是确定系数时忽略正负号，解题时需先将方程整理为一般形式，再准确对应a、b、c的取值，避免符号错误。
【难度系数】
0.8