17.「2026黑龙江绥化绥棱期末，★☆」(8分)已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 + x - 3 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1, x_2$,且满足$(x_1 - x_2)^2 + 5x_1x_2 = 4$,求$k$的值.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1, x_2$,且满足$(x_1 - x_2)^2 + 5x_1x_2 = 4$,求$k$的值.
答案：17.解析 (1)$\because$ 关于x的一元二次方程$kx^2+x-3=0$有两个不相等的实数根，$\therefore k\ne0$且$\Delta＞0$，
$\therefore \Delta=1^2-4k×(-3)＞0$，解得$k＞-\frac{1}{12}$，
$\therefore k$的取值范围为$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$.
(2)由根与系数的关系得，$x_1+x_2=-\frac{1}{k}$，$x_1x_2=-\frac{3}{k}$，
$\therefore (x_1-x_2)^2+5x_1x_2=(x_1+x_2)^2+x_1x_2=(-\frac{1}{k})^2+(-\frac{3}{k})=4$，
整理得$4k^2+3k-1=0$，
$\therefore (4k-1)(k+1)=0$，解得$k=\frac{1}{4}$或$k=-1$，
经检验，$k=\frac{1}{4}$和$k=-1$都是原分式方程的解，
由(1)可得，$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$，$\therefore k=\frac{1}{4}$.
$\therefore \Delta=1^2-4k×(-3)＞0$，解得$k＞-\frac{1}{12}$，
$\therefore k$的取值范围为$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$.
(2)由根与系数的关系得，$x_1+x_2=-\frac{1}{k}$，$x_1x_2=-\frac{3}{k}$，
$\therefore (x_1-x_2)^2+5x_1x_2=(x_1+x_2)^2+x_1x_2=(-\frac{1}{k})^2+(-\frac{3}{k})=4$，
整理得$4k^2+3k-1=0$，
$\therefore (4k-1)(k+1)=0$，解得$k=\frac{1}{4}$或$k=-1$，
经检验，$k=\frac{1}{4}$和$k=-1$都是原分式方程的解，
由(1)可得，$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$，$\therefore k=\frac{1}{4}$.
解析：
【分析】
（1）要解决一元二次方程有两个不相等实数根求参数范围的问题，需同时满足两个条件：一是二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式Δ＞0，保证方程有两个不相等的实数根。分别列出关于k的不等式，求解后取公共部分即可得到k的取值范围。
（2）已知含两根的代数式的值，可先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积关于k的表达式，再将给定的代数式利用完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于k的方程，解方程后结合第一问得到的k的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到最终k的值。
【解析】
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$kx^2+x-3=0$有两个不相等的实数根，
∴ $k\ne0$且$\Delta＞0$，
其中$\Delta=1^2-4k×(-3)=1+12k$，
即$1+12k＞0$，解得$k＞-\frac{1}{12}$，
∴ k的取值范围为$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$。
(2) 由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{k}$，$x_1x_2=-\frac{3}{k}$，
对代数式变形可得：
$(x_1-x_2)^2+5x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+5x_1x_2=(x_1+x_2)^2+x_1x_2$，
代入得：
$(-\frac{1}{k})^2 + (-\frac{3}{k}) = 4$，
整理得$4k^2+3k-1=0$，
因式分解得$(4k-1)(k+1)=0$，解得$k=\frac{1}{4}$或$k=-1$，
经检验，$k=\frac{1}{4}$和$k=-1$都是原分式方程的解，
结合(1)中$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$的要求，$k=-1$不符合，舍去，
∴ $k=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$；
(2) $k=\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题重点考查一元二次方程相关性质的应用，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，求解参数后要结合取值范围对结果进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）要解决一元二次方程有两个不相等实数根求参数范围的问题，需同时满足两个条件：一是二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式Δ＞0，保证方程有两个不相等的实数根。分别列出关于k的不等式，求解后取公共部分即可得到k的取值范围。
（2）已知含两根的代数式的值，可先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积关于k的表达式，再将给定的代数式利用完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于k的方程，解方程后结合第一问得到的k的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到最终k的值。
【解析】
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$kx^2+x-3=0$有两个不相等的实数根，
∴ $k\ne0$且$\Delta＞0$，
其中$\Delta=1^2-4k×(-3)=1+12k$，
即$1+12k＞0$，解得$k＞-\frac{1}{12}$，
∴ k的取值范围为$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$。
(2) 由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{k}$，$x_1x_2=-\frac{3}{k}$，
对代数式变形可得：
$(x_1-x_2)^2+5x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+5x_1x_2=(x_1+x_2)^2+x_1x_2$，
代入得：
$(-\frac{1}{k})^2 + (-\frac{3}{k}) = 4$，
整理得$4k^2+3k-1=0$，
因式分解得$(4k-1)(k+1)=0$，解得$k=\frac{1}{4}$或$k=-1$，
经检验，$k=\frac{1}{4}$和$k=-1$都是原分式方程的解，
结合(1)中$k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$的要求，$k=-1$不符合，舍去，
∴ $k=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $k＞-\frac{1}{12}$且$k\ne0$；
(2) $k=\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题重点考查一元二次方程相关性质的应用，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，求解参数后要结合取值范围对结果进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7