18.「2026广东深圳期中，★☆」(8分)【材料】请你认真阅读材料并解决下面问题.
已知关于$x,y$的方程$(x+y)^2 -2(x+y)-8=0$,求$x+y$的值.
解:设$t=x+y$,则方程变形为$t^2 -2t -8=0$,
$\therefore (t-4)(t+2)=0$,
$\therefore t_1=4,t_2=-2$,即$x+y=4$或$x+y=-2$.
(1)【引申】已知$(m^2+n^2-1)^2=9$,则$m^2+n^2=$
(2)【学科特色多解法】【拓展】已知$(x^2+x)(x^2+x-1)-2=0$,求$x^2+x$的值.
已知关于$x,y$的方程$(x+y)^2 -2(x+y)-8=0$,求$x+y$的值.
解:设$t=x+y$,则方程变形为$t^2 -2t -8=0$,
$\therefore (t-4)(t+2)=0$,
$\therefore t_1=4,t_2=-2$,即$x+y=4$或$x+y=-2$.
(1)【引申】已知$(m^2+n^2-1)^2=9$,则$m^2+n^2=$
$4$
.(2)【学科特色多解法】【拓展】已知$(x^2+x)(x^2+x-1)-2=0$,求$x^2+x$的值.
答案：18.解析 (1)4.
详解:设$t=m^2+n^2$，则原方程变形为$(t-1)^2=9$，解得$t=4$或$-2$，$\because m^2+n^2＞0$，$\therefore m^2+n^2=4$.
(2)设$y=x^2+x$，则原方程可化为$y(y-1)-2=0$，即$y^2-y-2=0$，解得$y=2$或$-1$.
【解法一】验证法:当$x^2+x=-1$时，$\Delta＜0$，方程无解；当$x^2+x=2$时，$\Delta＞0$，故符合题意.综上所述，$x^2+x=2$.
【解法二】范围法:$x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$，$\because (x+\frac{1}{2})^2\ge0$，$\therefore (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}$，$\therefore x^2+x=2$.
详解:设$t=m^2+n^2$，则原方程变形为$(t-1)^2=9$，解得$t=4$或$-2$，$\because m^2+n^2＞0$，$\therefore m^2+n^2=4$.
(2)设$y=x^2+x$，则原方程可化为$y(y-1)-2=0$，即$y^2-y-2=0$，解得$y=2$或$-1$.
【解法一】验证法:当$x^2+x=-1$时，$\Delta＜0$，方程无解；当$x^2+x=2$时，$\Delta＞0$，故符合题意.综上所述，$x^2+x=2$.
【解法二】范围法:$x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$，$\because (x+\frac{1}{2})^2\ge0$，$\therefore (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}$，$\therefore x^2+x=2$.
解析：
【分析】
这两道题均适用换元法求解，核心是利用整体思想，将重复出现的复杂代数式设为新的未知数，把原方程简化为熟悉的一元二次方程求解，最后要结合新未知数的实际取值范围，舍去不符合题意的解。第(1)题将$m^2+n^2$看作整体，注意平方和的非负性；第(2)题将$x^2+x$看作整体，可通过配方求取值范围或利用根的判别式验证解的合理性。
【解析】
(1) 设$t = m^2 + n^2$，则原方程变形为$(t-1)^2 = 9$，
开平方得$t-1 = ±3$，解得$t=4$或$t=-2$，
∵ 平方数具有非负性，$m^2≥0$，$n^2≥0$，
∴ $m^2+n^2≥0$，
∴ 舍去$t=-2$，即$m^2+n^2=4$。
(2) 设$y = x^2 + x$，则原方程可化为$y(y-1)-2=0$，
整理得$y^2 - y - 2 = 0$，因式分解得$(y-2)(y+1)=0$，
解得$y=2$或$y=-1$。
验证解的合理性（两种方法二选一即可）：
方法1（范围法）：对$x^2+x$配方得$x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$，
∵ $(x+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴ $(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，
∴ $y=-1 ＜ -\frac{1}{4}$不符合要求，舍去，故$x^2+x=2$。
方法2（判别式法）：当$x^2+x=-1$时，方程变为$x^2+x+1=0$，判别式$Δ=1^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程无实根，舍去；当$x^2+x=2$时，方程变为$x^2+x-2=0$，$Δ=1^2 + 4×2=9＞0$，有实根，符合题意，故$x^2+x=2$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，非负数的性质
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意换元后新变量的取值限制，避免出现增根，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式的应用是解题的核心。
【难度系数】
0.7
这两道题均适用换元法求解，核心是利用整体思想，将重复出现的复杂代数式设为新的未知数，把原方程简化为熟悉的一元二次方程求解，最后要结合新未知数的实际取值范围，舍去不符合题意的解。第(1)题将$m^2+n^2$看作整体，注意平方和的非负性；第(2)题将$x^2+x$看作整体，可通过配方求取值范围或利用根的判别式验证解的合理性。
【解析】
(1) 设$t = m^2 + n^2$，则原方程变形为$(t-1)^2 = 9$，
开平方得$t-1 = ±3$，解得$t=4$或$t=-2$，
∵ 平方数具有非负性，$m^2≥0$，$n^2≥0$，
∴ $m^2+n^2≥0$，
∴ 舍去$t=-2$，即$m^2+n^2=4$。
(2) 设$y = x^2 + x$，则原方程可化为$y(y-1)-2=0$，
整理得$y^2 - y - 2 = 0$，因式分解得$(y-2)(y+1)=0$，
解得$y=2$或$y=-1$。
验证解的合理性（两种方法二选一即可）：
方法1（范围法）：对$x^2+x$配方得$x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$，
∵ $(x+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴ $(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，
∴ $y=-1 ＜ -\frac{1}{4}$不符合要求，舍去，故$x^2+x=2$。
方法2（判别式法）：当$x^2+x=-1$时，方程变为$x^2+x+1=0$，判别式$Δ=1^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程无实根，舍去；当$x^2+x=2$时，方程变为$x^2+x-2=0$，$Δ=1^2 + 4×2=9＞0$，有实根，符合题意，故$x^2+x=2$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，非负数的性质
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意换元后新变量的取值限制，避免出现增根，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式的应用是解题的核心。
【难度系数】
0.7