19.「2026河北邯郸期末，★☆」(10分)如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=9$厘米，$BC=12$厘米，若点$P$从点$A$沿$AB$边向点$B$以1厘米/秒的速度移动，点$Q$从点$B$沿$BC$边向点$C$以2厘米/秒的速度移动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点同时停止移动.
(1)出发几秒后，$△ PBQ$的面积为18平方厘米？
(2)出发几秒后，线段$PQ$的长为$\sqrt{65}$厘米？
(3)$△ PBQ$的面积能否为22平方厘米？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由.
(1)出发几秒后，$△ PBQ$的面积为18平方厘米？
(2)出发几秒后，线段$PQ$的长为$\sqrt{65}$厘米？
(3)$△ PBQ$的面积能否为22平方厘米？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由.
答案：19.解析 设移动时间为t秒，则$PB=(9-t)$厘米，$BQ=2t$厘米，$0＜t\le6$.
(1)由题意得$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=18$，
整理，得$t^2-9t+18=0$，解得$t=3$或$t=6$.
故出发3秒或6秒后，$△ PBQ$的面积为18平方厘米.
(2)由题意得$(9-t)^2+(2t)^2=(\sqrt{65})^2$，
整理，得$5t^2-18t+16=0$，解得$t=\frac{8}{5}$或$t=2$.
故出发$\frac{8}{5}$秒或2秒后，线段$PQ$的长为$\sqrt{65}$厘米.
(3)不能.理由如下：
假设能，根据题意得$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=22$，整理，得$t^2-9t+22=0$，$\because \Delta=(-9)^2-4×1×22=-7＜0$，$\therefore$ 该方程无解，
$\therefore$ 假设不成立，即$△ PBQ$的面积不能为22平方厘米.
(1)由题意得$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=18$，
整理，得$t^2-9t+18=0$，解得$t=3$或$t=6$.
故出发3秒或6秒后，$△ PBQ$的面积为18平方厘米.
(2)由题意得$(9-t)^2+(2t)^2=(\sqrt{65})^2$，
整理，得$5t^2-18t+16=0$，解得$t=\frac{8}{5}$或$t=2$.
故出发$\frac{8}{5}$秒或2秒后，线段$PQ$的长为$\sqrt{65}$厘米.
(3)不能.理由如下：
假设能，根据题意得$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=22$，整理，得$t^2-9t+22=0$，$\because \Delta=(-9)^2-4×1×22=-7＜0$，$\therefore$ 该方程无解，
$\therefore$ 假设不成立，即$△ PBQ$的面积不能为22平方厘米.
解析：
【分析】
本题是几何动点与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：①先设移动时间为t秒，根据P、Q的移动速度，用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度，再根据两点停止移动的规则确定t的取值范围：Q走到C点需要$12÷2=6$秒，P走到B点需要$9÷1=9$秒，因此t的取值范围是$0＜t\le6$；②第(1)问利用直角三角形面积公式，结合$△ PBQ$面积为18的条件列一元二次方程，求解后验证解是否在t的取值范围内；③第(2)问因为$△ PBQ$是直角三角形，根据勾股定理结合PQ的长度列方程求解，同样验证解的合理性；④第(3)问先假设面积能为22平方厘米，列方程后通过判断一元二次方程根的判别式的正负，确定方程是否有符合条件的实根，进而得出结论。
【解析】
设移动时间为t秒，则$PB=(9-t)$厘米，$BQ=2t$厘米，由点移动的终止条件得t的取值范围为$0＜t\le6$。
(1) 根据直角三角形面积公式，$△ PBQ$的面积为$\frac{1}{2} · PB · BQ$，由题意得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=18$
整理得$t^2-9t+18=0$，解得$t=3$或$t=6$，两个解均符合t的取值范围。
(2) 在$Rt△ PBQ$中，由勾股定理得$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$，代入已知条件得：
$(9-t)^2+(2t)^2=(\sqrt{65})^2$
整理得$5t^2-18t+16=0$，解得$t=\frac{8}{5}$或$t=2$，两个解均符合t的取值范围。
(3) 不能，理由如下：
假设$△ PBQ$的面积能为22平方厘米，由面积公式列方程得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=22$
整理得$t^2-9t+22=0$，
$\because \Delta=(-9)^2-4×1×22=-7＜0$，
$\therefore$ 该方程无实数根，假设不成立，即$△ PBQ$的面积不能为22平方厘米。
【答案】
(1) 出发3秒或6秒后，$△ PBQ$的面积为18平方厘米；
(2) 出发$\frac{8}{5}$秒或2秒后，线段PQ的长为$\sqrt{65}$厘米；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、直角三角形面积计算、勾股定理
【点评】
本题是动点类综合题，需要学生先将动态的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何性质列方程求解，同时要注意验证解是否符合实际的取值范围，第三问通过判别式判断方程根的情况来确定结论，很好地考查了代数与几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是几何动点与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：①先设移动时间为t秒，根据P、Q的移动速度，用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度，再根据两点停止移动的规则确定t的取值范围：Q走到C点需要$12÷2=6$秒，P走到B点需要$9÷1=9$秒，因此t的取值范围是$0＜t\le6$；②第(1)问利用直角三角形面积公式，结合$△ PBQ$面积为18的条件列一元二次方程，求解后验证解是否在t的取值范围内；③第(2)问因为$△ PBQ$是直角三角形，根据勾股定理结合PQ的长度列方程求解，同样验证解的合理性；④第(3)问先假设面积能为22平方厘米，列方程后通过判断一元二次方程根的判别式的正负，确定方程是否有符合条件的实根，进而得出结论。
【解析】
设移动时间为t秒，则$PB=(9-t)$厘米，$BQ=2t$厘米，由点移动的终止条件得t的取值范围为$0＜t\le6$。
(1) 根据直角三角形面积公式，$△ PBQ$的面积为$\frac{1}{2} · PB · BQ$，由题意得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=18$
整理得$t^2-9t+18=0$，解得$t=3$或$t=6$，两个解均符合t的取值范围。
(2) 在$Rt△ PBQ$中，由勾股定理得$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$，代入已知条件得：
$(9-t)^2+(2t)^2=(\sqrt{65})^2$
整理得$5t^2-18t+16=0$，解得$t=\frac{8}{5}$或$t=2$，两个解均符合t的取值范围。
(3) 不能，理由如下：
假设$△ PBQ$的面积能为22平方厘米，由面积公式列方程得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=22$
整理得$t^2-9t+22=0$，
$\because \Delta=(-9)^2-4×1×22=-7＜0$，
$\therefore$ 该方程无实数根，假设不成立，即$△ PBQ$的面积不能为22平方厘米。
【答案】
(1) 出发3秒或6秒后，$△ PBQ$的面积为18平方厘米；
(2) 出发$\frac{8}{5}$秒或2秒后，线段PQ的长为$\sqrt{65}$厘米；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、直角三角形面积计算、勾股定理
【点评】
本题是动点类综合题，需要学生先将动态的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何性质列方程求解，同时要注意验证解是否符合实际的取值范围，第三问通过判别式判断方程根的情况来确定结论，很好地考查了代数与几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7