【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图象性质分步思考：第一步，回忆反比例函数的形式，反比例函数可写成$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式，因此x的指数必须为-1，据此列方程求出m的可能取值；第二步，反比例函数图象在第一、三象限时，比例系数k＞0，据此列不等式排除不符合条件的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+1)x^{m^2-10}$是反比例函数
∴x的次数为-1，且比例系数不为0，即：
$m^2-10=-1$，且$m+1\ne0$
解方程$m^2-10=-1$得：$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$
又
∵函数图象在第一、三象限内
∴比例系数$m+1＞0$，解得$m＞-1$
综上，$m=-3$不符合要求，舍去，故$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题时需同时满足两个条件：一是符合反比例函数的形式要求，二是结合图象所在象限确定系数的符号，避免遗漏条件出现多解错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题的核心是利用反比例函数的坐标特征：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于$k$。首先观察图象中反比例函数与点A、B的位置关系：第一象限的图象在点$A(2,2)$下方，说明$x=2$时，反比例函数的函数值小于A点的纵坐标2；第三象限的图象在点$B(-1,-2)$下方，说明$x=-1$时，反比例函数的函数值小于B点的纵坐标-2。分别根据两个位置关系列关于$k$的不等式，求出$k$的取值范围后，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
∵ 反比例函数第一象限的图象低于点$A(2,2)$，即当$x=2$时，对应的函数值$\frac{k}{2}＜2$，
解得：$k＜2×2=4$；
∵ 反比例函数第三象限的图象低于点$B(-1,-2)$，即当$x=-1$时，对应的函数值$\frac{k}{-1}＜-2$，
两边乘$-1$（不等号方向改变）得：$k＞(-1)×(-2)=2$；
∴ $k$的取值范围为$2＜k＜4$，因此$k$可取该区间内任意值，例如3。
【答案】
3（答案不唯一，满足$2＜k＜4$即可）
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式的求解
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题关键是结合图象的位置关系，利用反比例函数点的坐标特征建立不等式求参数范围，能较好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，可按以下思路解题：第一步，利用已知在反比例函数图象上的点$(-2,3)$求出比例系数$k$，确定$k$的正负，明确反比例函数的图象分布和增减性；第二步，判断三个点所在的象限，根据象限特征确定三个函数值的正负，先区分出大小的层级（正数大于负数）；第三步，对同象限内的两个点，利用反比例函数的增减性比较对应函数值的大小，最终整理出三者的大小关系。
【解析】
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，
∵ 反比例函数图象经过点$(-2,3)$，
∴ 代入得$k=-2×3=-6＜0$，
∴ 该反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$(-4,y_1)$的横坐标$-4＜0$，在第二象限，
∴ $y_1＞0$；
∵ 点$(1,y_2)$、$(2,y_3)$的横坐标均大于0，都在第四象限，
∴ $y_2＜0,y_3＜0$，
又
∵ $1＜2$，在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，
∴ $y_2＜y_3＜0$，
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质的应用，解题的核心是先确定比例系数$k$的符号，再结合点所在的象限判断函数值的正负，同象限内的点可利用增减性比较函数值大小，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用，不能直接跨象限用增减性比较大小。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决本题，首先结合已知条件明确解题方向：要求k的值，可利用反比例函数中k的几何意义求解，因此需要将阴影部分的面积与双曲线上的点和坐标轴围成的三角形面积建立联系。首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，可将菱形划分为4个全等的直角三角形，由此可把左右两个阴影部分的面积分别转化为和$\frac{1}{2}|k|$相关的量，再结合阴影面积和求出$|k|$，最后根据双曲线所在象限确定k的符号即可。
【解析】
设BF与x轴交于点K，AC与x轴交于点H。
∵ 四边形OBEF是菱形，
∴ OE与BF互相垂直平分，
∴ 菱形OBEF被对角线分为4个面积相等的直角三角形，左边阴影部分的面积等于其中2个直角三角形的面积和，即$S_{\mathrm{左阴影}}=2S_{△ BOK}$。
∵ 点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ BOK}=\frac{1}{2}|k|$，
∴ $S_{\mathrm{左阴影}}=2×\frac{1}{2}|k|=|k|$。
同理可得，右边阴影部分的面积$S_{\mathrm{右阴影}}=2S_{△ AOH}=|k|$。
已知两个阴影部分的面积和为8，因此$S_{\mathrm{左阴影}}+S_{\mathrm{右阴影}}=|k|+|k|=2|k|=8$，
解得$|k|=4$。
又
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，
∴ $k＞0$，即$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义；菱形的性质；反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数与菱形性质的综合基础题，解题的核心是通过菱形对角线的性质，将阴影部分的面积转化为符合反比例函数k的几何意义的三角形面积，考查了对基础几何性质和反比例函数核心知识点的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据直线解析式求出其与坐标轴交点A、B的坐标；再利用正方形边相等、内角为90°的性质，通过作垂线构造全等三角形，推导得到顶点C、D的坐标；接着将D点坐标代入反比例函数解析式求出k值，确定反比例函数的表达式；最后求出C点横坐标对应的反比例函数值，计算C点原纵坐标与该函数值的差，即为向下平移的距离a。
【解析】
如图，作 $CE⊥y$ 轴于点 E，$DF⊥x$ 轴于点 F，$CH⊥x$ 轴于点 H，CH 交双曲线于点 G。

对于直线$y=-3x+3$，令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$，$OB=3$；令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，故$A(1,0)$，$OA=1$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠BAD=90°$，$AB=AD$，
∴ $∠BAO+∠DAF=90°$，
又
∵ $∠AOB=90°$，
∴ $∠BAO+∠OBA=90°$，
∴ $∠DAF=∠OBA$。
在 $△ OAB$ 和 $△ FDA$ 中，
$\begin{cases} ∠OBA=∠DAF, \\ ∠BOA=∠AFD=90°, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ $△ OAB≅△ FDA(\mathrm{AAS})$。
同理可证$△ OAB≅△ EBC$，
∴ $AF=OB=EC=3$，$DF=OA=BE=1$，
∴ 点D的横坐标为$OA+AF=1+3=4$，纵坐标为$DF=1$，即$D(4,1)$；
点C的横坐标为$EC=3$，纵坐标为$OB+BE=3+1=4$，即$C(3,4)$。
将$D(4,1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$1=\dfrac{k}{4}$，解得$k=4$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{4}{x}$。
将$x=3$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{3}$，即$G(3,\dfrac{4}{3})$，
∴ 向下平移的距离$a=CG=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{8}{3}}$
【知识点】
一次函数的性质，正方形的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题属于函数与几何的综合题，结合了一次函数、反比例函数、正方形以及全等三角形的相关知识，解题核心是通过构造全等三角形求出正方形顶点坐标，能有效锻炼几何与函数结合的综合解题思维。
【难度系数】
0.6