11.「2026北京西城期中，★☆」在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形$A'B'C'D'$（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点$M,N,P,Q$中，可能是旋转中心的是点
M
。答案：11.答案 M
解析 连接BB',CC',分别作BB',CC'的垂直平分线(图略),其交点为点M,则旋转中心是点M.
解析 连接BB',CC',分别作BB',CC'的垂直平分线(图略),其交点为点M,则旋转中心是点M.
解析：
【分析】
要确定旋转中心，需结合旋转的性质思考：旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，因此旋转中心一定在任意一组对应点连线的垂直平分线上。我们只需选取两组对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，再对照M、N、P、Q四个点即可得到结果。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。
1. 选取两组对应点：点B与对应点B'，点C与对应点C'；
2. 分别连接线段BB'、CC'；
3. 分别作BB'和CC'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点M，因此旋转中心是点M。
【答案】
M
【知识点】
旋转的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题关键是牢记旋转中心到所有对应点的距离相等，通过作两组对应点连线的垂直平分线即可确定旋转中心，掌握方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定旋转中心，需结合旋转的性质思考：旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，因此旋转中心一定在任意一组对应点连线的垂直平分线上。我们只需选取两组对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，再对照M、N、P、Q四个点即可得到结果。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。
1. 选取两组对应点：点B与对应点B'，点C与对应点C'；
2. 分别连接线段BB'、CC'；
3. 分别作BB'和CC'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点M，因此旋转中心是点M。
【答案】
M
【知识点】
旋转的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题关键是牢记旋转中心到所有对应点的距离相等，通过作两组对应点连线的垂直平分线即可确定旋转中心，掌握方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
12.「2026 吉林四平铁东期中，★★☆」如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF=$\frac{1}{2}$AB；G，H是BC边上的点，且GH=$\frac{1}{3}$BC.若S₁，S₂分别表示△EOF和△GOH的面积，则S₁，S₂之间的等量关系是
2S₁=3S₂
.答案：
12.答案 2S₁=3S₂
解析 如图,连接OA,OB,OC,设平行四边形ABCD的面积为4S,
∵ 点O是平行四边形ABCD的对称中心,
∴ S△AOB=S△BOC=1/4S平行四边形ABCD=S,
∵ EF=1/2AB,GH=1/3BC,
∴ S₁=1/2S,S₂=1/3S,
∴ S₁/S₂=(1/2S)/(1/3S)=3/2,
∴ 2S₁=3S₂.
12.答案 2S₁=3S₂
解析 如图,连接OA,OB,OC,设平行四边形ABCD的面积为4S,
∵ 点O是平行四边形ABCD的对称中心,
∴ S△AOB=S△BOC=1/4S平行四边形ABCD=S,
∵ EF=1/2AB,GH=1/3BC,
∴ S₁=1/2S,S₂=1/3S,
∴ S₁/S₂=(1/2S)/(1/3S)=3/2,
∴ 2S₁=3S₂.
解析：
【分析】
解题时首先利用平行四边形对称中心的性质：平行四边形的对称中心可将其分为4个面积相等的三角形。先设平行四边形的总面积，求得△AOB和△BOC的面积；再根据同高三角形的面积比等于对应底的比，结合EF与AB、GH与BC的比例关系，分别表示出S₁和S₂，最后整理即可得到二者的等量关系。
【解析】
如图，连接OA、OB、OC，设平行四边形ABCD的面积为4S。
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{平行四边形ABCD}=S$。
∵EF=$\frac{1}{2}$AB，△EOF和△AOB以AB上的线段为底时高相等，
∴$S_1=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S$。
∵GH=$\frac{1}{3}$BC，△GOH和△BOC以BC上的线段为底时高相等，
∴$S_2=\frac{1}{3}S_{△ BOC}=\frac{1}{3}S$。
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}S}{\frac{1}{3}S}=\frac{3}{2}$，即$2S_1=3S_2$。
【答案】
$2S_1=3S_2$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，中心对称的性质
【点评】
本题重点考查同高三角形面积与底的比例关系，以及平行四边形对称中心的性质，解题的核心是通过对称中心将平行四边形分割为等面积的小三角形，再结合底的比例关系推导目标面积的关系，是几何面积比例类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对称中心的性质：平行四边形的对称中心可将其分为4个面积相等的三角形。先设平行四边形的总面积，求得△AOB和△BOC的面积；再根据同高三角形的面积比等于对应底的比，结合EF与AB、GH与BC的比例关系，分别表示出S₁和S₂，最后整理即可得到二者的等量关系。
【解析】
如图，连接OA、OB、OC，设平行四边形ABCD的面积为4S。
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{平行四边形ABCD}=S$。
∵EF=$\frac{1}{2}$AB，△EOF和△AOB以AB上的线段为底时高相等，
∴$S_1=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S$。
∵GH=$\frac{1}{3}$BC，△GOH和△BOC以BC上的线段为底时高相等，
∴$S_2=\frac{1}{3}S_{△ BOC}=\frac{1}{3}S$。
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}S}{\frac{1}{3}S}=\frac{3}{2}$，即$2S_1=3S_2$。
【答案】
$2S_1=3S_2$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，中心对称的性质
【点评】
本题重点考查同高三角形面积与底的比例关系，以及平行四边形对称中心的性质，解题的核心是通过对称中心将平行四边形分割为等面积的小三角形，再结合底的比例关系推导目标面积的关系，是几何面积比例类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
13.「2026河南信阳期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转$30°$后得到$△ A_1BC_1$，则阴影部分面积为
16
。答案：
13.答案 16
解析 由旋转的性质得A₁B=AB=8,∠A₁BA=30°,S△A₁BC₁=S△ABC,
∴ S阴影=S四边形ABC₁A₁−S△ABC=S四边形ABC₁A₁−S△A₁BC₁=S△A₁BA.如图,过A作AD⊥A₁B于D,
∴ AD=1/2AB=4,
∴ S△A₁BA=1/2×8×4=16,即阴影部分面积为16.
13.答案 16
解析 由旋转的性质得A₁B=AB=8,∠A₁BA=30°,S△A₁BC₁=S△ABC,
∴ S阴影=S四边形ABC₁A₁−S△ABC=S四边形ABC₁A₁−S△A₁BC₁=S△A₁BA.如图,过A作AD⊥A₁B于D,
∴ AD=1/2AB=4,
∴ S△A₁BA=1/2×8×4=16,即阴影部分面积为16.
解析：
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析图形关系：旋转前后的两个三角形全等，对应边相等、面积相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。观察阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此采用割补法转化：阴影部分面积等于四边形$ABC_1A_1$的面积减去$△ ABC$的面积，结合$S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$，可将阴影面积转化为求等腰$△ A_1BA$的面积。已知$△ A_1BA$的腰长为8，顶角为$30°$，过A作$A_1B$边上的高，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出高，即可计算三角形面积，得到阴影部分的面积。
【解析】
由旋转的性质可得：$A_1B=AB=8$，$∠ A_1BA=30°$，$S_{△ A_1BC_1}=S_{△ ABC}$。
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{四边形ABC_1A_1}-S_{△ ABC}=S_{四边形ABC_1A_1}-S_{△ A_1BC_1}=S_{△ A_1BA}$。
如图，过A作$AD⊥ A_1B$于点D，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=30°$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $S_{△ A_1BA}=\frac{1}{2}× A_1B × AD=\frac{1}{2}×8×4=16$，即阴影部分的面积为16。
【答案】
16
【知识点】
旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是利用旋转的性质完成不规则图形面积到规则三角形面积的转化，解题过程中需熟练运用特殊直角三角形的边长关系求高，整体解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质分析图形关系：旋转前后的两个三角形全等，对应边相等、面积相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。观察阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此采用割补法转化：阴影部分面积等于四边形$ABC_1A_1$的面积减去$△ ABC$的面积，结合$S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$，可将阴影面积转化为求等腰$△ A_1BA$的面积。已知$△ A_1BA$的腰长为8，顶角为$30°$，过A作$A_1B$边上的高，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出高，即可计算三角形面积，得到阴影部分的面积。
【解析】
由旋转的性质可得：$A_1B=AB=8$，$∠ A_1BA=30°$，$S_{△ A_1BC_1}=S_{△ ABC}$。
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{四边形ABC_1A_1}-S_{△ ABC}=S_{四边形ABC_1A_1}-S_{△ A_1BC_1}=S_{△ A_1BA}$。
如图，过A作$AD⊥ A_1B$于点D，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=30°$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $S_{△ A_1BA}=\frac{1}{2}× A_1B × AD=\frac{1}{2}×8×4=16$，即阴影部分的面积为16。
【答案】
16
【知识点】
旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是利用旋转的性质完成不规则图形面积到规则三角形面积的转化，解题过程中需熟练运用特殊直角三角形的边长关系求高，整体解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
14.「2026黑龙江七台河期中，★☆」如图，在平面直角坐标系中，将$△ AOB$绕点$A$顺时针旋转到$△ AC_{1}B_{1}$的位置，点$O,B$分别落在点$C_{1},B_{1}$处，点$B_{1}$在$x$轴上，再将$△ AC_{1}B_{1}$绕点$B_{1}$顺时针旋转到$△ A_{1}C_{2}B_{1}$的位置，点$C_{2}$在$x$轴上，将$△ A_{1}C_{2}B_{1}$绕点$C_{2}$顺时针旋转到$△ A_{2}C_{2}B_{2}$的位置，点$A_{2}$在$x$轴上，……，依次进行下去，若点$A(3,0)$，$B(0,4)$，则点$B_{2026}$的坐标是
(12 156,4)
。答案：14.答案 (12 156,4)
解析 由题意可得OA=3,OB=4,
∴ AB=√(3²+4²)=5,由旋转的性质得AB₁=AB=5,B₂C₂=B₁C₂=OB=4,
∴ OC₂=3+5+4=12,
∴ B₂(12,4).依次类推,B₄(24,4),B₆(36,4),……,由此可得,B₂ₙ(12n,4),n为正整数,
∴ B₂₀₂₆的坐标是(12 156,4).
解析 由题意可得OA=3,OB=4,
∴ AB=√(3²+4²)=5,由旋转的性质得AB₁=AB=5,B₂C₂=B₁C₂=OB=4,
∴ OC₂=3+5+4=12,
∴ B₂(12,4).依次类推,B₄(24,4),B₆(36,4),……,由此可得,B₂ₙ(12n,4),n为正整数,
∴ B₂₀₂₆的坐标是(12 156,4).
解析：
【分析】
解题思路如下：首先根据已知点A、B的坐标求出Rt△AOB的三边长，再结合旋转前后对应边长度相等的性质，计算前几个偶数下标点B的坐标，总结出偶数下标B点的坐标变化规律，最后将2026代入规律即可求出结果。第一步先由坐标得OA、OB长度，用勾股定理计算AB长度；第二步根据旋转性质计算B₂的坐标，再推导B₄、B₆的坐标寻找规律；第三步利用规律计算B₂₀₂₆的坐标。
【解析】
解：
∵点$A(3,0)$，$B(0,4)$，
∴$OA=3$，$OB=4$，
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由旋转的性质可知，旋转前后对应边长度相等，
∴$AB_1=AB=5$，$B_2C_2=B_1C_2=OB=4$，
∴点$B_2$的横坐标为$OA+AB_1+B_1C_2=3+5+4=12$，纵坐标为4，即$B_2(12,4)$，
同理可得$B_4(24,4)$，$B_6(36,4)$……
由此总结规律：当n为正整数时，点$B_{2n}$的坐标为$(12n,4)$，
∵$2026=2×1013$，即$n=1013$，
∴$B_{2026}$的横坐标为$12×1013=12156$，纵坐标为4。
【答案】
$(12156,4)$
【知识点】
坐标与图形旋转；勾股定理；点的坐标规律
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是掌握旋转的性质，通过计算特殊点的坐标归纳出通用规律，只要细心梳理旋转过程中边长的变化关系，就能轻松得出结果。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：首先根据已知点A、B的坐标求出Rt△AOB的三边长，再结合旋转前后对应边长度相等的性质，计算前几个偶数下标点B的坐标，总结出偶数下标B点的坐标变化规律，最后将2026代入规律即可求出结果。第一步先由坐标得OA、OB长度，用勾股定理计算AB长度；第二步根据旋转性质计算B₂的坐标，再推导B₄、B₆的坐标寻找规律；第三步利用规律计算B₂₀₂₆的坐标。
【解析】
解：
∵点$A(3,0)$，$B(0,4)$，
∴$OA=3$，$OB=4$，
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由旋转的性质可知，旋转前后对应边长度相等，
∴$AB_1=AB=5$，$B_2C_2=B_1C_2=OB=4$，
∴点$B_2$的横坐标为$OA+AB_1+B_1C_2=3+5+4=12$，纵坐标为4，即$B_2(12,4)$，
同理可得$B_4(24,4)$，$B_6(36,4)$……
由此总结规律：当n为正整数时，点$B_{2n}$的坐标为$(12n,4)$，
∵$2026=2×1013$，即$n=1013$，
∴$B_{2026}$的横坐标为$12×1013=12156$，纵坐标为4。
【答案】
$(12156,4)$
【知识点】
坐标与图形旋转；勾股定理；点的坐标规律
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是掌握旋转的性质，通过计算特殊点的坐标归纳出通用规律，只要细心梳理旋转过程中边长的变化关系，就能轻松得出结果。
【难度系数】
0.75