6.「2025江苏镇江中考，★★☆」如图，直线$l_1 // l_2$，直线$m$分别交$l_1,l_2$于点$A,B$，以$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2,l_1$于直线$m$同侧的点$C,D$，若$∠ ADB=35°$，$AB=9$，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于（
A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
C
）A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
答案：
6.C 如图,连接AC,
∵$l_1 // l_2$,
∴$∠CBD=∠ADB=35°$,根据作图可知$AB = AC = AD$,
∴$∠ABD = ∠ADB = 35°$,$∠ABC = ∠ACB$,
∴$∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°$,
∵$l_1 // l_2$,
∴$∠DAC=∠ACB=70°$,
∴$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$.故选C.
6.C 如图,连接AC,
∵$l_1 // l_2$,
∴$∠CBD=∠ADB=35°$,根据作图可知$AB = AC = AD$,
∴$∠ABD = ∠ADB = 35°$,$∠ABC = ∠ACB$,
∴$∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°$,
∵$l_1 // l_2$,
∴$∠DAC=∠ACB=70°$,
∴$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$.故选C.
解析：
【分析】
要求$\overset{\frown}{CD}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可知需要确定弧对应的圆心角度数$n$和半径$r$。由作图方法可直接得到半径$r=AB=9$，因此解题核心是求$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角$∠ CAD$。我们可以先连接辅助线$AC$，结合平行线的内错角相等性质、等腰三角形等边对等角的性质，逐步推导角度，最终得到圆心角后代入公式计算即可。
【解析】
如图，连接$AC$，
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ADB=35°$（两直线平行，内错角相等），
根据作图可知$AB = AC = AD=9$，
$\therefore$在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ ABD = ∠ ADB = 35°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=35°+35°=70°$，
又$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ACB=∠ ABC=70°$，
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ACB=70°$（两直线平行，内错角相等），
代入弧长公式得$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了平行线、等腰三角形、弧长计算三类核心知识点，解题的关键是通过作辅助线构造等腰三角形，利用几何性质推导得到弧对应的圆心角，熟练掌握基础几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{CD}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可知需要确定弧对应的圆心角度数$n$和半径$r$。由作图方法可直接得到半径$r=AB=9$，因此解题核心是求$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角$∠ CAD$。我们可以先连接辅助线$AC$，结合平行线的内错角相等性质、等腰三角形等边对等角的性质，逐步推导角度，最终得到圆心角后代入公式计算即可。
【解析】
如图，连接$AC$，
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ADB=35°$（两直线平行，内错角相等），
根据作图可知$AB = AC = AD=9$，
$\therefore$在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ ABD = ∠ ADB = 35°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=35°+35°=70°$，
又$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ACB=∠ ABC=70°$，
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ACB=70°$（两直线平行，内错角相等），
代入弧长公式得$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了平行线、等腰三角形、弧长计算三类核心知识点，解题的关键是通过作辅助线构造等腰三角形，利用几何性质推导得到弧对应的圆心角，熟练掌握基础几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7.「2026江苏苏州昆山期中，★★☆」如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$DE$，$FG$是$\odot O$的弦，$AB=DE$，$FG=AC$。有下列结论：①$DE+FG=BC$；②$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{BC}$；③$∠ DOE+∠ FOG=∠ BOC$；④$∠ DEO+∠ FGO=∠ BAC$。其中所有正确结论的序号是（
A.①②③④
B.②③
C.②④
D.②③④
D
）A.①②③④
B.②③
C.②④
D.②③④
答案：
7.D
∵$AB+AC＞BC$,$AB=DE$,$FG=AC$,
∴$DE+FG＞BC$,
∴①错误;
∵$AB = DE$,$FG = AC$,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AC}$,
∴$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}$,
∴$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{BC}$,
∴②正确;如图,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,
∵$AB=DE$,$FG=AC$,
∴$∠AOB = ∠DOE$,$∠AOC = ∠FOG$,
∴$∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG$,即$∠DOE+∠FOG=∠BOC$,
∴ ③ 正确;
∵ $OA = OB$,
∴ $∠OAB = ∠OBA = \frac{180°-∠AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}∠AOB$,同理可得$∠OAC=90°-\frac{1}{2}∠AOC$,$∠DEO=90°-\frac{1}{2}∠DOE$,$∠FGO = 90° - \frac{1}{2}∠FOG$,
∴ $∠OAB+∠OAC = 180°-\frac{1}{2}(∠AOB + ∠AOC) = 180°-\frac{1}{2}∠BOC$,$∠DEO+∠FGO = 180° - \frac{1}{2}(∠DOE+∠FOG)$,
∵ $∠DOE + ∠FOG = ∠BOC$,
∴ $∠OAB+∠OAC=∠DEO+∠FGO$,即$∠DEO+∠FGO=∠BAC$,
∴④正确.综上,正确结论的序号是②③④.故选D.
7.D
∵$AB+AC＞BC$,$AB=DE$,$FG=AC$,
∴$DE+FG＞BC$,
∴①错误;
∵$AB = DE$,$FG = AC$,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AC}$,
∴$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}$,
∴$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{BC}$,
∴②正确;如图,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,
∵$AB=DE$,$FG=AC$,
∴$∠AOB = ∠DOE$,$∠AOC = ∠FOG$,
∴$∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG$,即$∠DOE+∠FOG=∠BOC$,
∴ ③ 正确;
∵ $OA = OB$,
∴ $∠OAB = ∠OBA = \frac{180°-∠AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}∠AOB$,同理可得$∠OAC=90°-\frac{1}{2}∠AOC$,$∠DEO=90°-\frac{1}{2}∠DOE$,$∠FGO = 90° - \frac{1}{2}∠FOG$,
∴ $∠OAB+∠OAC = 180°-\frac{1}{2}(∠AOB + ∠AOC) = 180°-\frac{1}{2}∠BOC$,$∠DEO+∠FGO = 180° - \frac{1}{2}(∠DOE+∠FOG)$,
∵ $∠DOE + ∠FOG = ∠BOC$,
∴ $∠OAB+∠OAC=∠DEO+∠FGO$,即$∠DEO+∠FGO=∠BAC$,
∴④正确.综上,正确结论的序号是②③④.故选D.
解析：
【分析】
本题围绕圆的基本性质设置结论判断，解题时可逐个分析4个结论：①判断线段和的关系时，借助三角形三边关系，已知AB=DE、AC=FG，△ABC中AB+AC＞BC，可直接判断①错误；②判断弧的和的关系时，根据同圆中等弦对等弧，可得$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AC}$，相加后即可得到$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{BC}$，判断②正确；③判断圆心角和的关系时，根据同圆中等弦对应的圆心角相等，可得$∠DOE=∠AOB$，$∠FOG=∠AOC$，相加即可推出$∠DOE+∠FOG=∠BOC$，判断③正确；④判断角度和的关系时，利用圆的半径相等，各圆心与弦端点构成的三角形均为等腰三角形，结合内角和公式表示出各底角，再结合③的结论即可推出$∠DEO+∠FGO=∠BAC$，判断④正确，最终选出正确结论即可。
【解析】
1. 判断结论①：
在$△ ABC$中，由三角形三边关系得$AB+AC＞BC$，
$\because AB=DE$，$FG=AC$，$\therefore DE+FG=AB+AC＞BC$，故①错误；
2. 判断结论②：
$\because$同圆中相等的弦对应相等的弧，$AB = DE$，$FG = AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故②正确；
3. 判断结论③：
如图，连接$OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG$，
$\because$同圆中相等的弦对应相等的圆心角，$AB=DE$，$FG=AC$，
$\therefore ∠AOB = ∠DOE$，$∠AOC = ∠FOG$，
$\therefore ∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG$，即$∠DOE+∠FOG=∠BOC$，故③正确；
4. 判断结论④：
$\because$圆的半径相等，$OA = OB$，
$\therefore ∠OAB = ∠OBA = \frac{180°-∠AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}∠AOB$，
同理可得：$∠OAC=90°-\frac{1}{2}∠AOC$，$∠DEO=90°-\frac{1}{2}∠DOE$，$∠FGO = 90° - \frac{1}{2}∠FOG$，
$\therefore ∠BAC=∠OAB+∠OAC = 180°-\frac{1}{2}(∠AOB + ∠AOC) = 180°-\frac{1}{2}∠BOC$，
$∠DEO+∠FGO = 180° - \frac{1}{2}(∠DOE+∠FOG)$，
由③知$∠DOE + ∠FOG = ∠BOC$，
$\therefore ∠DEO+∠FGO=∠BAC$，故④正确。
综上，正确结论为②③④，故选D。
【答案】D
【知识点】
弧弦圆心角的关系；三角形三边关系；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，侧重考查基础性质的灵活运用，解题时需要熟练掌握同圆中弦、弧、圆心角的对应关系，结合三角形相关性质逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
本题围绕圆的基本性质设置结论判断，解题时可逐个分析4个结论：①判断线段和的关系时，借助三角形三边关系，已知AB=DE、AC=FG，△ABC中AB+AC＞BC，可直接判断①错误；②判断弧的和的关系时，根据同圆中等弦对等弧，可得$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AC}$，相加后即可得到$\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{BC}$，判断②正确；③判断圆心角和的关系时，根据同圆中等弦对应的圆心角相等，可得$∠DOE=∠AOB$，$∠FOG=∠AOC$，相加即可推出$∠DOE+∠FOG=∠BOC$，判断③正确；④判断角度和的关系时，利用圆的半径相等，各圆心与弦端点构成的三角形均为等腰三角形，结合内角和公式表示出各底角，再结合③的结论即可推出$∠DEO+∠FGO=∠BAC$，判断④正确，最终选出正确结论即可。
【解析】
1. 判断结论①：
在$△ ABC$中，由三角形三边关系得$AB+AC＞BC$，
$\because AB=DE$，$FG=AC$，$\therefore DE+FG=AB+AC＞BC$，故①错误；
2. 判断结论②：
$\because$同圆中相等的弦对应相等的弧，$AB = DE$，$FG = AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故②正确；
3. 判断结论③：
如图，连接$OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG$，
$\because$同圆中相等的弦对应相等的圆心角，$AB=DE$，$FG=AC$，
$\therefore ∠AOB = ∠DOE$，$∠AOC = ∠FOG$，
$\therefore ∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG$，即$∠DOE+∠FOG=∠BOC$，故③正确；
4. 判断结论④：
$\because$圆的半径相等，$OA = OB$，
$\therefore ∠OAB = ∠OBA = \frac{180°-∠AOB}{2}=90°-\frac{1}{2}∠AOB$，
同理可得：$∠OAC=90°-\frac{1}{2}∠AOC$，$∠DEO=90°-\frac{1}{2}∠DOE$，$∠FGO = 90° - \frac{1}{2}∠FOG$，
$\therefore ∠BAC=∠OAB+∠OAC = 180°-\frac{1}{2}(∠AOB + ∠AOC) = 180°-\frac{1}{2}∠BOC$，
$∠DEO+∠FGO = 180° - \frac{1}{2}(∠DOE+∠FOG)$，
由③知$∠DOE + ∠FOG = ∠BOC$，
$\therefore ∠DEO+∠FGO=∠BAC$，故④正确。
综上，正确结论为②③④，故选D。
【答案】D
【知识点】
弧弦圆心角的关系；三角形三边关系；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，侧重考查基础性质的灵活运用，解题时需要熟练掌握同圆中弦、弧、圆心角的对应关系，结合三角形相关性质逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
8.「2025广东广州中考，★☆☆」如图，$\odot O$的直径$AB=4$，$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，点$D$在弧$BC$上，$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$，点$P$是$AB$上的一个动点，则$△ PCD$周长的最小值是（
A.$2+\sqrt{7}$
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{7}$
D.$4+4\sqrt{3}$
B
）A.$2+\sqrt{7}$
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{7}$
D.$4+4\sqrt{3}$
答案：
8.B 如图,作点C关于AB的对称点$C'$,连接OD,$C'D$,$C'P$,记$C'D$交AB于点$P'$,
∴$CP=C'P$,
∴$△PCD$的周长$= CD + PD + CP = CD + PD + C'P$,根据两点之间,线段最短可知,当P与$P'$重合时,$△PCD$的周长有最小值,最小值=$CD+C'D$,
∵⊙O的直径$AB=4$,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴点O在$C'C$上,
∴$CC'=AB=4$,$OC=OD=\frac{1}{2}×4=2$,$∠COB=90°$,
∵$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$,
∴$∠COD=(1-\frac{1}{3})×90°=60°$,
∴$△COD$是等边三角形,
∴$CD=OC=2$,
∵$CC'$是⊙O的直径,
∴$∠CDC'=90°$,
∴$DC'=\sqrt{CC'^2-CD^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$,
∴$△PCD$周长的最小值是$2+2\sqrt{3}$.故选B.
8.B 如图,作点C关于AB的对称点$C'$,连接OD,$C'D$,$C'P$,记$C'D$交AB于点$P'$,
∴$CP=C'P$,
∴$△PCD$的周长$= CD + PD + CP = CD + PD + C'P$,根据两点之间,线段最短可知,当P与$P'$重合时,$△PCD$的周长有最小值,最小值=$CD+C'D$,
∵⊙O的直径$AB=4$,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴点O在$C'C$上,
∴$CC'=AB=4$,$OC=OD=\frac{1}{2}×4=2$,$∠COB=90°$,
∵$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$,
∴$∠COD=(1-\frac{1}{3})×90°=60°$,
∴$△COD$是等边三角形,
∴$CD=OC=2$,
∵$CC'$是⊙O的直径,
∴$∠CDC'=90°$,
∴$DC'=\sqrt{CC'^2-CD^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$,
∴$△PCD$周长的最小值是$2+2\sqrt{3}$.故选B.
解析：
【分析】
要求$△ PCD$周长的最小值，首先观察周长组成：$C_{△ PCD}=CD+PD+PC$，其中点C、D是定点，因此CD是定长，只需让$PD+PC$的和最小即可。这属于典型的“将军饮马”最短路径问题，可通过作对称点转化线段：作点C关于AB的对称点$C'$，利用轴对称性质将PC转化为$PC'$，根据两点之间线段最短，当P落在$C'D$与AB的交点时，$PD+PC$最小，等于$C'D$的长度，再结合圆的性质计算CD和$C'D$的长度，即可得到周长最小值。
【解析】
作点C关于AB的对称点$C'$，连接OD，$C'D$，$C'P$，记$C'D$交AB于点$P'$。
由轴对称的性质可得$CP=C'P$，因此$△ PCD$的周长$= CD + PD + CP = CD + PD + C'P$。根据两点之间线段最短可知，当点P与$P'$重合时，$PD+C'P$取得最小值，等于$C'D$，此时$△ PCD$的周长最小，最小值为$CD+C'D$。
∵$\odot O$的直径$AB=4$，
∴$\odot O$的半径$OC=OD=\frac{1}{2}AB=2$。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$∠ COB=90°$，且$C'$在$\odot O$上，$CC'$为$\odot O$的直径，即$CC'=4$。
∵$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}=\frac{2}{3}\overset{\frown}{BC}$，对应的圆心角$∠ COD=\frac{2}{3}×90°=60°$。
又
∵$OC=OD=2$，
∴$△ COD$是等边三角形，即$CD=OC=2$。
∵$CC'$是$\odot O$的直径，
∴直径所对的圆周角$∠ CDC'=90°$。
在$Rt△ CDC'$中，由勾股定理得：
$C'D=\sqrt{CC'^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
因此$△ PCD$周长的最小值为$CD+C'D=2+2\sqrt{3}$。
【答案】B
【知识点】
最短路径问题，圆的基本性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与最短路径结合的典型综合题，解题核心是利用轴对称转化线段和，再结合圆的圆心角与弧的关系、圆周角定理、等边三角形判定等知识计算线段长度，能够很好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求$△ PCD$周长的最小值，首先观察周长组成：$C_{△ PCD}=CD+PD+PC$，其中点C、D是定点，因此CD是定长，只需让$PD+PC$的和最小即可。这属于典型的“将军饮马”最短路径问题，可通过作对称点转化线段：作点C关于AB的对称点$C'$，利用轴对称性质将PC转化为$PC'$，根据两点之间线段最短，当P落在$C'D$与AB的交点时，$PD+PC$最小，等于$C'D$的长度，再结合圆的性质计算CD和$C'D$的长度，即可得到周长最小值。
【解析】
作点C关于AB的对称点$C'$，连接OD，$C'D$，$C'P$，记$C'D$交AB于点$P'$。
由轴对称的性质可得$CP=C'P$，因此$△ PCD$的周长$= CD + PD + CP = CD + PD + C'P$。根据两点之间线段最短可知，当点P与$P'$重合时，$PD+C'P$取得最小值，等于$C'D$，此时$△ PCD$的周长最小，最小值为$CD+C'D$。
∵$\odot O$的直径$AB=4$，
∴$\odot O$的半径$OC=OD=\frac{1}{2}AB=2$。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$∠ COB=90°$，且$C'$在$\odot O$上，$CC'$为$\odot O$的直径，即$CC'=4$。
∵$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}=\frac{2}{3}\overset{\frown}{BC}$，对应的圆心角$∠ COD=\frac{2}{3}×90°=60°$。
又
∵$OC=OD=2$，
∴$△ COD$是等边三角形，即$CD=OC=2$。
∵$CC'$是$\odot O$的直径，
∴直径所对的圆周角$∠ CDC'=90°$。
在$Rt△ CDC'$中，由勾股定理得：
$C'D=\sqrt{CC'^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
因此$△ PCD$周长的最小值为$CD+C'D=2+2\sqrt{3}$。
【答案】B
【知识点】
最短路径问题，圆的基本性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与最短路径结合的典型综合题，解题核心是利用轴对称转化线段和，再结合圆的圆心角与弧的关系、圆周角定理、等边三角形判定等知识计算线段长度，能够很好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9.「2026江苏无锡期中，★☆」如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，若$∠ ABD=60°$，则$∠ BCD$的度数为
30°
。答案：
9.答案 30°
解析 如图,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴$∠ADB=90°$,
∵$∠ABD=60°$,
∴$∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°$,
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$∠BCD = ∠BAD=30°$.
9.答案 30°
解析 如图,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴$∠ADB=90°$,
∵$∠ABD=60°$,
∴$∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°$,
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$∠BCD = ∠BAD=30°$.
解析：
【分析】
要求∠BCD的度数，可结合圆的性质转化角度求解：首先看到AB是⊙O的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此先作辅助线连接AD，构造直角△ADB；已知∠ABD=60°，可在直角三角形中求出∠BAD的度数；再观察到∠BAD和∠BCD都对应弧BD，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠BCD的度数。
【解析】
如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，
∵$∠ ABD=60°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ ABD=90°-60°=30°$，
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BCD = ∠ BAD=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础性质的常规考查题，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，结合圆周角的性质完成角度转化，难度较低，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
要求∠BCD的度数，可结合圆的性质转化角度求解：首先看到AB是⊙O的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此先作辅助线连接AD，构造直角△ADB；已知∠ABD=60°，可在直角三角形中求出∠BAD的度数；再观察到∠BAD和∠BCD都对应弧BD，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠BCD的度数。
【解析】
如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，
∵$∠ ABD=60°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ ABD=90°-60°=30°$，
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BCD = ∠ BAD=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础性质的常规考查题，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，结合圆周角的性质完成角度转化，难度较低，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
10.「2026河南安阳期中，★☆」如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆，过点$B$作$BE// AD$，交$CD$于点$E$.若$∠ ABC=140°$，则$∠ BEC$的度数为
40°
.答案：10.答案 40°
解析
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴$∠ABC+∠D=180°$,
∴$∠D=180°-∠ABC=180°-140°=40°$,
∵$BE// AD$,
∴$∠BEC=∠D=40°$.
解析
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴$∠ABC+∠D=180°$,
∴$∠D=180°-∠ABC=180°-140°=40°$,
∵$BE// AD$,
∴$∠BEC=∠D=40°$.
解析：
【分析】
解题时首先根据已知条件中四边形ABCD是圆的内接四边形，联想到圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠D的度数；再结合BE平行AD的条件，利用平行线同位角相等的性质，即可得到∠BEC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠D = 180°，
∵ ∠ABC = 140°，
∴ ∠D = 180° - ∠ABC = 180° - 140° = 40°，
又
∵ BE // AD，
∴ ∠BEC = ∠D = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
圆内接四边形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质与平行线性质的综合运用，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据已知条件中四边形ABCD是圆的内接四边形，联想到圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠D的度数；再结合BE平行AD的条件，利用平行线同位角相等的性质，即可得到∠BEC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠D = 180°，
∵ ∠ABC = 140°，
∴ ∠D = 180° - ∠ABC = 180° - 140° = 40°，
又
∵ BE // AD，
∴ ∠BEC = ∠D = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
圆内接四边形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质与平行线性质的综合运用，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
11.「2025山东潍坊中考，★☆」如图，圆锥的底面圆圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为
8π
。答案：11.答案 $8π$
解析
∵母线l与高AO的夹角为30°,母线l长为4,
∴圆锥的底面圆的半径$=\frac{1}{2}×4=2$,
∴圆锥侧面展开图的面积$=π×2×4=8π$.
解析
∵母线l与高AO的夹角为30°,母线l长为4,
∴圆锥的底面圆的半径$=\frac{1}{2}×4=2$,
∴圆锥侧面展开图的面积$=π×2×4=8π$.
解析：
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。题目已经给出母线长$l=4$，所以只需要求出底面圆半径$r$即可。观察图形可知，圆锥的高$AO$、底面半径$r$与母线$l$构成直角三角形，已知母线与高的夹角为30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边（即底面半径$r$）等于斜边（母线$l$）的一半，即可求出$r$，最后代入公式计算侧面积即可。
【解析】
解：
∵圆锥的高$AO$、底面半径与母线构成直角三角形，母线与高$AO$的夹角为30°，母线长$l=4$，
∴底面圆的半径$r=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}×4=2$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入$r=2$，$l=4$得：
$S_{侧}=π×2×4=8π$。
【答案】
$8π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；含30°角直角三角形性质；圆锥结构特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确圆锥各部分的对应关系，结合直角三角形的性质求出底面半径，再代入侧面积公式计算即可，侧重对基础公式和性质的考查。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。题目已经给出母线长$l=4$，所以只需要求出底面圆半径$r$即可。观察图形可知，圆锥的高$AO$、底面半径$r$与母线$l$构成直角三角形，已知母线与高的夹角为30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边（即底面半径$r$）等于斜边（母线$l$）的一半，即可求出$r$，最后代入公式计算侧面积即可。
【解析】
解：
∵圆锥的高$AO$、底面半径与母线构成直角三角形，母线与高$AO$的夹角为30°，母线长$l=4$，
∴底面圆的半径$r=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}×4=2$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入$r=2$，$l=4$得：
$S_{侧}=π×2×4=8π$。
【答案】
$8π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；含30°角直角三角形性质；圆锥结构特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确圆锥各部分的对应关系，结合直角三角形的性质求出底面半径，再代入侧面积公式计算即可，侧重对基础公式和性质的考查。
【难度系数】
0.8