1.「2026山东菏泽单县月考，★☆」用反证法证明“在$△ ABC$中，若$∠ C$是直角，则$∠ B$一定是锐角”时，应假设（
A.$∠ B$是锐角
B.$∠ B$不是锐角
C.$∠ C$是直角
D.$∠ C$不是直角
B
）A.$∠ B$是锐角
B.$∠ B$不是锐角
C.$∠ C$是直角
D.$∠ C$不是直角
答案：1.B 用反证法证明“在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定是锐角”时,应假设∠B不是锐角,故选B.
解析：
【分析】
反证法的核心思路是先假设原命题的结论不成立，再通过推导矛盾证明原命题成立。解题时首先要明确原命题的条件和结论：本题原命题的条件是“△ABC中∠C是直角”，结论是“∠B一定是锐角”。反证法的假设仅需要否定结论，不需要改动条件，因此只要找到“∠B是锐角”的反面表述即可。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“∠B一定是锐角”，其反面是“∠B不是锐角”（包含∠B是直角或钝角两种情况），因此应假设∠B不是锐角，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是明确反证法中假设的设定规则：仅否定原命题的结论，不能否定原命题的已知条件，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
反证法的核心思路是先假设原命题的结论不成立，再通过推导矛盾证明原命题成立。解题时首先要明确原命题的条件和结论：本题原命题的条件是“△ABC中∠C是直角”，结论是“∠B一定是锐角”。反证法的假设仅需要否定结论，不需要改动条件，因此只要找到“∠B是锐角”的反面表述即可。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“∠B一定是锐角”，其反面是“∠B不是锐角”（包含∠B是直角或钝角两种情况），因此应假设∠B不是锐角，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是明确反证法中假设的设定规则：仅否定原命题的结论，不能否定原命题的已知条件，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
2.「2026山东德州夏津期中，★☆」下列说法正确的是 (
A.圆的对称轴是直径
B.平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D.三角形的三个顶点可以确定一个圆
D
)A.圆的对称轴是直径
B.平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D.三角形的三个顶点可以确定一个圆
答案：2.D A.圆的对称轴是直径所在的直线,故原说法错误;
B.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,故原说法错误;
C.在同圆或等圆中,相等的弦所对的优弧相等、劣弧相等,故原说法错误;
D.三角形的三个顶点可以确定一个圆,说法正确.故选D.
B.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,故原说法错误;
C.在同圆或等圆中,相等的弦所对的优弧相等、劣弧相等,故原说法错误;
D.三角形的三个顶点可以确定一个圆,说法正确.故选D.
解析：
【分析】
这道题考查圆的相关基础概念，解题时需逐一核对每个选项对应的知识点，重点关注各定理、概念的前提条件和细节表述，排除存在疏漏的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 对称轴的本质是直线，而直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线，因此原说法错误；
B. 垂径定理推论中，“平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧”的前提是被平分的弦不是直径，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此原说法错误；
C. 在同圆或等圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，相等的弦所对的优弧分别相等、劣弧分别相等，原表述未区分弧的类型，因此错误；
D. 三角形的三个顶点不在同一条直线上，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此该说法正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于忽略相关定理的限制条件，比如垂径定理推论中弦非直径的前提、一条弦对应两类弧的特点等，准确掌握概念细节即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查圆的相关基础概念，解题时需逐一核对每个选项对应的知识点，重点关注各定理、概念的前提条件和细节表述，排除存在疏漏的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 对称轴的本质是直线，而直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线，因此原说法错误；
B. 垂径定理推论中，“平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧”的前提是被平分的弦不是直径，若弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此原说法错误；
C. 在同圆或等圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，相等的弦所对的优弧分别相等、劣弧分别相等，原表述未区分弧的类型，因此错误；
D. 三角形的三个顶点不在同一条直线上，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此该说法正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于忽略相关定理的限制条件，比如垂径定理推论中弦非直径的前提、一条弦对应两类弧的特点等，准确掌握概念细节即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.「2026安徽亳州涡阳期末，★☆」已知$\odot O$的半径$r$为3，点$P$到圆心$O$的距离恰好是方程$x^2 -7x +10=0$的解，则点$P$与$\odot O$的位置关系是（
A.点$P$在$\odot O$内部
B.点$P$在$\odot O$外部
C.点$P$在$\odot O$内部或点$P$在$\odot O$外部
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$外部
C
）A.点$P$在$\odot O$内部
B.点$P$在$\odot O$外部
C.点$P$在$\odot O$内部或点$P$在$\odot O$外部
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$外部
答案：3.C 解方程$x^2-7x+10=0$,得$x_1=2,x_2=5$,设点P到圆心O的距离为d,则d=2或5.当r=3,d=2时,r＞d,
∴点P在圆O内部;当r=3,d=5时,r＜d,
∴点P在圆O外部.
∴点P在⊙O内部或点P在⊙O外部,故选C.
∴点P在圆O内部;当r=3,d=5时,r＜d,
∴点P在圆O外部.
∴点P在⊙O内部或点P在⊙O外部,故选C.
解析：
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到点P到圆心O的距离d的所有可能值；第二步，回忆点与圆的位置关系判定规则：当d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外；第三步，将d的两个取值分别与半径r=3比较，分类判断点P的位置，最终汇总得到结论。
【解析】
首先解方程$x^2 -7x +10=0$，用因式分解法可得：
$(x-2)(x-5)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=5$，即点P到圆心O的距离$d=2$或$d=5$。
已知$\odot O$的半径$r=3$：
① 当$d=2$时，$2＜3$，即$d＜r$，此时点P在$\odot O$内部；
② 当$d=5$时，$5＞3$，即$d＞r$，此时点P在$\odot O$外部。
因此点P的位置为在$\odot O$内部或在$\odot O$外部。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的求解
2. 点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确求解一元二次方程，同时注意方程存在两个不同的解，需要分类讨论所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到点P到圆心O的距离d的所有可能值；第二步，回忆点与圆的位置关系判定规则：当d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外；第三步，将d的两个取值分别与半径r=3比较，分类判断点P的位置，最终汇总得到结论。
【解析】
首先解方程$x^2 -7x +10=0$，用因式分解法可得：
$(x-2)(x-5)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=5$，即点P到圆心O的距离$d=2$或$d=5$。
已知$\odot O$的半径$r=3$：
① 当$d=2$时，$2＜3$，即$d＜r$，此时点P在$\odot O$内部；
② 当$d=5$时，$5＞3$，即$d＞r$，此时点P在$\odot O$外部。
因此点P的位置为在$\odot O$内部或在$\odot O$外部。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的求解
2. 点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确求解一元二次方程，同时注意方程存在两个不同的解，需要分类讨论所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
4.「2025山东东营中考，★☆」如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ BOD=130°$，则$∠ ECD$的度数是（
A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
C
）A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
答案：4.C 由圆周角定理可知$∠A=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}×130°=65°$,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴$∠BCD+∠A=180°$,
∵$∠BCD+∠DCE=180°$,
∴$∠DCE=∠A=65°$,故选C.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴$∠BCD+∠A=180°$,
∵$∠BCD+∠DCE=180°$,
∴$∠DCE=∠A=65°$,故选C.
解析：
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，题目给出圆心角∠BOD的度数，根据圆周角定理，可先求出同弧BD所对的圆周角∠A的度数；其次，四边形ABCD是圆内接四边形，结合圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A与∠BCD的和为180°；最后，∠BCD与∠ECD互为邻补角，和也为180°，根据同角的补角相等，即可推出∠ECD与∠A相等，从而得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×130°=65°$
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ BCD+∠ A=180°$
又
∵$∠ BCD+∠ ECD=180°$（邻补角的和为$180°$）
∴$∠ ECD=∠ A=65°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的关键是找准角的对应关系，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先，题目给出圆心角∠BOD的度数，根据圆周角定理，可先求出同弧BD所对的圆周角∠A的度数；其次，四边形ABCD是圆内接四边形，结合圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A与∠BCD的和为180°；最后，∠BCD与∠ECD互为邻补角，和也为180°，根据同角的补角相等，即可推出∠ECD与∠A相等，从而得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×130°=65°$
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ BCD+∠ A=180°$
又
∵$∠ BCD+∠ ECD=180°$（邻补角的和为$180°$）
∴$∠ ECD=∠ A=65°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的关键是找准角的对应关系，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.「2026江苏镇江京口期中，★★☆」游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一.如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大摆锤前后摆动1次底端的运动轨迹可以看作$\overset{\frown}{AC}$，连接AC，交OB于点D，已知$OB ⊥ AC$，且点B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，$AC = 16\ \mathrm{m}$，$BD = 4\ \mathrm{m}$，则大摆锤的长度为 （
A.8 m
B.12 m
C.10 m
D.9 m
C
）A.8 m
B.12 m
C.10 m
D.9 m
答案：5.C
∵$OB ⊥ AC$,且点B为$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$AD = CD = \frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{m}$,$∠ADO=∠CDO=90°$,设$OB=OA=r\ \mathrm{m}$,则$OD=(r-4)\ \mathrm{m}$,在$Rt△AOD$中,由勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$,
∴$r^2=(r-4)^2+8^2$,解得r=10,
∴大摆锤的长度为10 m.故选C.
∵$OB ⊥ AC$,且点B为$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$AD = CD = \frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{m}$,$∠ADO=∠CDO=90°$,设$OB=OA=r\ \mathrm{m}$,则$OD=(r-4)\ \mathrm{m}$,在$Rt△AOD$中,由勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$,
∴$r^2=(r-4)^2+8^2$,解得r=10,
∴大摆锤的长度为10 m.故选C.
解析：
【分析】
要解决本题，首先明确大摆锤的长度就是该扇形的半径OA（或OB）的长度。解题思路如下：第一步，根据已知条件$OB⊥AC$、B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，结合垂径定理可得到AC被OB平分，从而算出AD的长度；第二步，设半径为r，用r表示出OD的长度；第三步，发现$△ AOD$是直角三角形，利用勾股定理列关于r的方程，解方程即可求出大摆锤的长度。
【解析】
解：
∵$OB ⊥ AC$，且点B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴由垂径定理得$AD = CD = \frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{m}$，$∠ADO=90°$。
设大摆锤长度$OB=OA=r\ \mathrm{m}$，则$OD=OB-BD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△AOD$中，由勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开得：$r^2=r^2-8r+16+64$，
化简解得：$r=10$。
即大摆锤的长度为10 m。
【答案】C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景命题，考查几何知识的实际应用，解题核心是从实际问题中抽象出圆的几何模型，通过垂径定理构建直角三角形，再用勾股定理列方程求解，是几何应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确大摆锤的长度就是该扇形的半径OA（或OB）的长度。解题思路如下：第一步，根据已知条件$OB⊥AC$、B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，结合垂径定理可得到AC被OB平分，从而算出AD的长度；第二步，设半径为r，用r表示出OD的长度；第三步，发现$△ AOD$是直角三角形，利用勾股定理列关于r的方程，解方程即可求出大摆锤的长度。
【解析】
解：
∵$OB ⊥ AC$，且点B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴由垂径定理得$AD = CD = \frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{m}$，$∠ADO=90°$。
设大摆锤长度$OB=OA=r\ \mathrm{m}$，则$OD=OB-BD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△AOD$中，由勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开得：$r^2=r^2-8r+16+64$，
化简解得：$r=10$。
即大摆锤的长度为10 m。
【答案】C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景命题，考查几何知识的实际应用，解题核心是从实际问题中抽象出圆的几何模型，通过垂径定理构建直角三角形，再用勾股定理列方程求解，是几何应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7