【分析】
(1) 要证AN=DM，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用三角形中位线性质和等腰三角形的性质，得到DE=AE，且∠DEA=2α；结合旋转的性质可得ME=NE、∠MEN=2α，进而推出∠DEM=∠AEN，即可通过SAS判定△MDE≌△NAE，得到对应边相等。
(2) 要探究FB与FA的数量关系，已知MF=NF，可构造全等三角形转化线段：过点M作MG//AN交AB于G，先证△GFM≌△AFN，得到GF=AF、MG=AN；结合(1)的结论AN=DM得MG=MD，再通过角度推导证明GD//AC、DE//AG，得到四边形GDEA为平行四边形，进而推出AG与AB的数量关系，最终得到FB与FA的倍数关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ D,E分别是BC,AC的中点，
∴ AE=EC=1/2AC，DE=1/2AB。
∵ AB=AC，∠B=α，
∴ DE=1/2AC=AE=EC，∠C=∠B=α，
∴ ∠EDC=∠C=α，
∴ ∠DEA=∠EDC+∠C=2α。
由旋转的性质得∠MEN=2α，ME=NE。
∴ ∠DEM=∠AEN=2α−∠MEA。
在△MDE和△NAE中，
$\{\begin{array}{l} DE=AE\\ ∠ DEM=∠ AEN\\ ME=NE\end{array} $
∴ △MDE≅△NAE(SAS)，
∴ MD=AN，即AN=DM。
(2) FB=3FA，证明如下：
过点M作MG//AN交AB于点G，连接GD，
则∠MGF=∠NAF。
在△GFM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l} ∠ MGF=∠ NAF\\ ∠ GFM=∠ AFN\\ MF=NF\end{array} $
∴ △GFM≅△AFN(AAS)。
∴ MG=AN，GF=AF=1/2AG。
∵ MD=AN，
∴ MG=MD，
∴ ∠MGD=∠MDG。
∵ ∠EDC=α，
∴ ∠MDE=180°−α。
∵ △MDE≅△NAE，
∴ ∠NAE=∠MDE=180°−α。
∵ ∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−2α，
∴ ∠MGF=∠NAF=360°−∠BAC−∠NAE=3α。
∴ ∠BMG=∠MGF−∠B=2α，
∴ ∠MDG=∠MGD=α=∠C。
∴ GD//AC。
∵ ∠EDC=α=∠B，
∴ DE//AB即DE//AG，
∴ 四边形GDEA为平行四边形。
∴ AG=DE=1/2AB。
∵ AF=GF=1/2AG，
∴ AF=1/4AB，
∴ FB=AB-AF=3/4AB，即FB=3FA。
【答案】
(1) AN=DM，证明成立；(2) $\boldsymbol{FB=3FA}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了中点性质、等腰三角形、旋转、全等三角形、平行四边形等多个知识点，第一问考查基础全等的证明，思路清晰直接；第二问需要通过构造平行线得到全等三角形，对角度推导、逻辑推理能力有一定要求，能较好地考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.5