【分析】
要判断直线AP是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知AP过直径AB的端点A，因此只需证明AB⊥AP，即∠BAP=90°即可。接下来分别验证三位同学给出的条件能否推出∠BAP=90°：甲的条件直接给出∠BAP=90°，满足切线判定要求；结合AB是直径可得∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，乙的条件仅给出∠BAC=∠PAC，无法推导得到∠BAC+∠PAC=90°，不能确定∠BAP是直角；丙的条件为∠BAC=∠P，结合∠B+∠BAC=90°可推出∠B+∠P=90°，根据三角形内角和即可得到∠BAP=90°，满足切线判定要求，综上即可选出正确选项。
【解析】
要判断AP是⊙O的切线，已知AP经过直径AB的端点A，根据切线的判定定理，只需证明AB⊥AP（即∠BAP=90°）即可。
1. 分析甲的答案：若∠BAP=90°，则AB⊥AP，根据切线的判定定理，直线AP是⊙O的切线，故甲的答案正确。
2. 分析乙的答案：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠B+∠BAC=90°。仅给出∠BAC=∠PAC时，只能得到∠B+∠PAC=90°，无法推出∠BAC+∠PAC=90°，即无法确定∠BAP=90°，故乙的答案错误。
3. 分析丙的答案：若∠BAC=∠P，结合∠B+∠BAC=90°，可得∠B+∠P=90°。在△ABP中，∠BAP=180°-(∠B+∠P)=90°，则AB⊥AP，
∴直线AP是⊙O的切线，故丙的答案正确。
综上，甲、丙同学的答案正确，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理推论；三角形内角和定理
【点评】
本题属于切线判定的基础应用类题目，解题核心是明确“过直径端点的直线是切线的充要条件是该直线与直径垂直”，需要结合圆周角性质和角的等量代换推导垂直关系，解题时注意不要遗漏推导垂直的必要条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知条件出发：首先看到AB是圆O的直径，根据圆周角定理的推论可得∠C=90°，即可推出△ABC中∠CAB与∠CBA的和为90°；其次内切圆的圆心是三角形的内心，即三角形三条角平分线的交点，因此AD、BD分别平分∠CAB和∠CBA，可求出∠DAB与∠DBA的度数和；最后在△ADB中利用三角形内角和定理就能算出∠ADB的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ C=90°$，
∴ $∠ CAB+∠ CBA=180°-∠ C=90°$，
∵ $\odot D$是$△ ABC$的内切圆，
∴ AD平分$∠ CAB$，BD平分$∠ CBA$，
∴ $∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ DBA=\frac{1}{2}∠ CBA$，
∴ $∠ DAB+∠ DBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在$△ ADB$中，$∠ ADB=180°-(∠ DAB+∠ DBA)=180°-45°=135°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，三角形内心性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础常考题，将直径的性质、三角形内心的性质结合三角形内角和定理考查，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题为直角三角形内切圆直径表达式的正误判断题，可优先选用特殊值法降低计算难度：选取常见的勾股数代入各选项计算，快速筛选出结果异常的选项；也可通过切线长定理、面积分割法推导内切圆直径的正确表达式，逐一验证选项A、B、C的正确性，最终通过排除法确定错误选项。
【解析】
解法一：特殊值法
取满足直角三角形勾股定理的三边长$a=3$，$b=4$，$c=5$，分别代入各选项计算：
选项A：$d=a+b-c=3+4-5=2$；
选项B：$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}=\dfrac{2×3×4}{3+4+5}=\dfrac{24}{12}=2$；
选项C：$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}=\sqrt{2×(5-3)×(5-4)}=\sqrt{4}=2$；
选项D：$d=|(a-b)(c-b)|=|(3-4)×(5-4)|=1$；
只有D选项结果与其余三项不同，因此D的表达式错误。
解法二：推导验证法
设$\odot O$分别切$AC,BC,AB$于点$E,D,F$，连接$OE,OD,OF$，
$\because∠ C=90°$，$OE⊥ AC$，$OD⊥ BC$，且$OE=OD=r$（$r$为内切圆半径），
$\therefore$四边形$OECD$是正方形，得$EC=CD=r$。
根据切线长定理可得$AE=AF=b-r$，$BD=BF=a-r$，
$\because AF+BF=AB=c$，$\therefore(b-r)+(a-r)=c$，解得$r=\dfrac{a+b-c}{2}$，因此直径$d=a+b-c$，A正确。
再用面积法推导：$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$，
即$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}br+\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}cr$，整理得$ab=r(a+b+c)$，即$r=\dfrac{ab}{a+b+c}$，因此直径$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$，B正确。
验证选项C：由$d=a+b-c$，两边平方得：
$d^2=(a+b-c)^2=a^2+2ab+b^2-2c(a+b)+c^2$，
$\because$Rt$△ ABC$中$a^2+b^2=c^2$，代入得：
$d^2=c^2+2ab-2ac-2bc+c^2=2(c^2+ab-ac-bc)=2(c-a)(c-b)$，
$\because d＞0$，$\therefore d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$，C正确。
综上A、B、C均正确，错误的是D选项。
【答案】
D

【知识点】
直角三角形内切圆，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题结合中国传统数学文化设置情境，既考查了直角三角形内切圆相关性质的应用，也体现了特殊值法在选择题中的便捷性，解题时可灵活选择方法提升解题效率。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求$PQ+PR$的最小值，先梳理两条线段与$OP$的关联：1. 点$Q$在半径为3的$\odot O$上，由三角形三边关系可知$PQ≥ OP-OQ$，当$O、Q、P$共线且$Q$在$O、P$之间时取等号，即$PQ$最小值为$OP-3$；2. $PR$是$\odot O$的切线，根据切线性质$OR⊥ PR$，由勾股定理可得$PR=\sqrt{OP^2-OR^2}=\sqrt{OP^2-9}$。由此可知$PQ、PR$的长度均由$OP$的长度决定，因此当$OP$取最小值时，$PQ+PR$取得最小值。接下来根据垂线段最短，求原点$O$到直线$y=x+5\sqrt{2}$的最短距离，即为$OP$的最小值，代入计算即可得到最终结果。
【解析】
解：连接$OP、OQ、OR$，
$\because Q、R$在$\odot O$上，$\odot O$半径为3，$\therefore OQ=OR=3$。
由三角形三边关系得$PQ≥ OP-OQ=OP-3$，当$O、Q、P$共线且$Q$在$O、P$之间时等号成立。
$\because PR$是$\odot O$的切线，$R$为切点，$\therefore OR⊥ PR$，
在$\mathrm{Rt}△ OPR$中，由勾股定理得：$PR=\sqrt{OP^2-OR^2}=\sqrt{OP^2-9}$。
因此当$OP$取最小值时，$PQ、PR$均取得最小值，即$PQ+PR$最小。
设直线$y=x+5\sqrt{2}$与$x$轴交于$A$，与$y$轴交于$B$：
令$y=0$，得$x=-5\sqrt{2}$，即$A(-5\sqrt{2},0)$；令$x=0$，得$y=5\sqrt{2}$，即$B(0,5\sqrt{2})$，
$\therefore OA=OB=5\sqrt{2}$，
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=10$。
根据垂线段最短，当$OP⊥ AB$时，$OP$长度最小，此时$OP$为$\mathrm{Rt}△ AOB$斜边$AB$上的高，
由三角形面积公式：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OP$，
代入得$OP=\frac{OA· OB}{AB}=\frac{5\sqrt{2}×5\sqrt{2}}{10}=5$，即$OP$最小值为5。
将$OP=5$代入计算：
$PR$的最小值为$\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$PQ$的最小值为$5-3=2$，
$\therefore PQ+PR$的最小值为$4+2=6$。
【答案】
B

【知识点】
切线的性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与圆结合的最值综合题，解题核心是将双线段和的最值转化为单线段$OP$的最值问题，结合切线性质、点到直线的距离求解，考查了转化思想的应用，是同类题型中的典型题目。
【难度系数】
0.7