【分析】
要判断圆与y轴的位置关系，首先明确判定规则：比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小，若d＞r则圆与直线相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题先计算圆心到y轴的距离，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，再将计算出的距离和半径3做比较，就能得出位置关系。
【解析】
$\because$ 点$(-3,2)$到$y$轴的距离为横坐标的绝对值，即$|-3|=3$，
又$\because$ 题中圆的半径长为$3$，
$\therefore$ 圆心到$y$轴的距离等于圆的半径，
$\therefore$ 以点$(-3,2)$为圆心，$3$为半径长的圆与$y$轴相切。
【答案】
相切
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，考查直线和圆位置关系的判定，解题关键是正确求出圆心到y轴的距离，再与半径比较大小即可得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
遇到同心圆中大圆的弦与小圆相切的问题，首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OP、OA，得到直角三角形OAP；再结合垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可知AB=2AP，最后在直角三角形中利用勾股定理计算AP的长度，即可求出AB的长。
【解析】
解：如图，连接$OA$。
由题意得，大圆半径$OA=13\ \mathrm{cm}$，小圆半径$OP=5\ \mathrm{cm}$。
∵AB是小圆的切线，P为切点，
∴$OP ⊥ AB$。
根据垂径定理可得：$AB=2AP$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{cm})$，
∴$AB=2AP=2×12=24(\mathrm{cm})$。

【答案】
24 cm
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的典型基础题，将切线的性质、垂径定理与勾股定理结合考查，解题的关键是构造直角三角形，利用相关性质建立线段之间的关系求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察到阴影是圆心角为∠EAF、半径为AE的扇形，需先确定扇形的圆心角度数和半径。首先利用多边形内角和公式计算正五边形的内角度数，再结合等边三角形的内角为60°，求出扇形的圆心角∠EAF的度数；已知AB=3，正五边形各边相等、等边三角形各边相等，可得扇形半径AE=3，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的内角$∠ BAE=\frac{1}{5}×(5-2)×180°=108°$，且$AE=AB=3$。
又
∵$△ ABF$是等边三角形，
∴$∠ BAF=60°$，
∴$∠ EAF=∠ BAE - ∠ BAF=108°-60°=48°$。
阴影部分为圆心角48°、半径3的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{nπr²}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{48π×3²}{360}=\frac{6π}{5}$
【答案】
$\dfrac{6π}{5}$
【知识点】
正多边形的内角，扇形面积计算，等边三角形的性质
【点评】
本题综合考查正多边形、等边三角形的性质以及扇形面积的计算，解题核心是准确求出扇形的圆心角度数，整体难度较低，掌握基础性质和公式即可得分。
【难度系数】
0.75

【分析】
遇到圆的多条切线问题，优先考虑切线长定理解题：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长度相等。首先利用切线长定理得到线段相等关系：AB=AC，EB=ED，DF=CF；再将△AEF的周长通过等量代换，转化为AB与AC的和，结合已知周长即可求出AB、AC的长度；最后根据∠A=90°，△ABC为等腰直角三角形，用勾股定理求解BC的长度即可。
【解析】
∵AB、AC、EF都是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得：
$AB=AC$，$EB=ED$，$DF=CF$，
∴$△ AEF$的周长 $=AE+AF+EF$
$=AE+AF+DE+DF$
$=AE+AF+EB+CF$
$=(AE+EB)+(AF+CF)$
$=AB+AC$
已知$△ AEF$的周长为4，即$AB+AC=4$，
结合$AB=AC$，可得$AB=AC=2$，
∵$∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的解题关键是通过切线长定理对三角形周长进行等量转化，将未知线段转化为可求的切线长，再结合直角三角形的性质计算边长，属于切线应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题首先从切线的性质入手，连接过切点E的半径OE，可得OE⊥A'B'；结合矩形旋转的性质可知，旋转前后对应边、对应角相等，CD'=CD=10，要求D'F的长度，可转化为求CF的长度，再用CD'减去CF即可；要求CF可利用垂径定理，需要先求CF的弦心距，通过构造矩形和直角三角形，结合勾股定理求出弦心距，进而得到CF的长度，最终算出D'F。
【解析】
如图，连接 $OE$,延长 $EO$ 交 $CD'$ 于点 $G$,作 $OH ⊥ B'C$ 于点 $H$。
∵ $A'B'$ 与 $\odot O$ 相切，
∴ $∠ OEB'=90°=∠ OHB'$。
由旋转的性质可得 $∠ B=∠ B'=∠ BCD=∠ B'CD'=90°$，$AB=CD=CD'=10$，$B'C=BC=8$。
∴ 四边形 $OEB'H$ 和四边形 $EB'CG$ 都是矩形。
∵ $\odot O$ 的直径为$CD$，
∴ $OE=OC=5$。
∴ $B'H=OE=5$，
∴ $CH=B'C-B'H=8-5=3$。
在$Rt△ OCH$中，由勾股定理得：$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴ $CG=OH=4$。
∵ 四边形 $EB'CG$ 是矩形，
∴ $∠ OGC=90°$，即 $OG⊥ CD'$。
由垂径定理可得 $CF=2CG=8$。
∴ $D'F=CD'-CF=10-8=2$。

【答案】
2
【知识点】
切线的性质；旋转的性质；垂径定理
【点评】
本题综合考查了圆、旋转、矩形的相关性质，解题的关键是合理添加辅助线，将所求线段转化为已知线段的差，结合勾股定理和垂径定理进行求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从三角形内心的性质入手，内心是三角形角平分线的交点，可得AI平分∠BAC、BI平分∠ABC，结合圆周角定理可推出BD=CD=4；再通过角的和差关系证明∠DBI=∠BID，得到DI=BD=4；接着由OI⊥AD，且OA、OD都是圆的半径，可知I是AD的中点，因此AD=2DI=8；因为AB是直径，所以∠ADB=90°，用勾股定理可求出直径AB的长度；再根据垂径定理，AD平分∠BAC可知弧BD=弧CD，因此OD垂直平分BC，设DE为未知数，利用勾股定理列方程求出DE、BE的长度，进而得到BC的长；最后在Rt△ABC中，用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接BI、BD，
∵I为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴弧BD=弧CD，$\therefore BD=CD=4$，
∵∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DBI=∠ DBC+∠ CBI=∠ DAC+∠ CBI=∠ DAB+∠ ABI=∠ BID$，
∴$ID=BD=4$，
∵$OI⊥ AD$，$OA=OD$，
∴I为AD中点，$\therefore AD=2ID=8$，
∵AB为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
∴$\odot O$半径$OB=OD=2\sqrt{5}$，
连接OD交BC于E，
∵弧BD=弧CD，OD为半径，
∴$OD⊥ BC$，且$BC=2BE$，
设$DE=x$，则$OE=OD-DE=2\sqrt{5}-x$，
在$Rt△ OBE$中：$BE^2=OB^2-OE^2$，
在$Rt△ DBE$中：$BE^2=BD^2-DE^2$，
∴$(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5}-x)^2=4^2-x^2$，
展开化简得：$4\sqrt{5}x=16$，解得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
代入得$BE=\sqrt{4^2-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴$BC=2BE=\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵AB为直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$Rt△ ABC$中：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-(\frac{16\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12\sqrt{5}}{5}$

【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，将多个几何核心知识点结合考查，解题的关键是通过角的等量代换得到等腰三角形，再结合勾股定理列方程求解线段长度，对几何知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6