24.「2026甘肃庆阳镇原期末，★☆」(8分)如图1,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法:如图2,①作直径AF;②以点F为圆心,FO长为半径作圆弧,与$\odot O$交于点M,N;③连接AM,MN,NA.
(1)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由.
(2)从点A开始,以DN的长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
作法:如图2,①作直径AF;②以点F为圆心,FO长为半径作圆弧,与$\odot O$交于点M,N;③连接AM,MN,NA.
(1)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由.
(2)从点A开始,以DN的长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
答案：
24.解析 (1)△AMN 是正三角形. …………… (1分)
理由:如图,连接 ON,NF,由题意可得 FN=OF=ON,
∴ △FON 是等边三角形,
∴ ∠NFA=60°,
∴ ∠NMA=60°, ………… (2分)
同理可得∠ANM=60°, ……………… (3分)
∴ ∠MAN=60°=∠NMA=∠ANM,
∴ △AMN 是正三角形.……………… (4分)
(2)如图,连接 OD,
∵ △FON 是等边三角形,
∴ ∠FON=60°,
∴ ∠AON=120°, ……………… (5分)
∵ ∠AOD=360°/5 ×2=144°, ……………… (6分)
∴ ∠NOD=∠AOD-∠AON=24°, ………… (7分)
∵ 360°÷24°=15,
∴ n 的值是 15. ……… (8分)
24.解析 (1)△AMN 是正三角形. …………… (1分)
理由:如图,连接 ON,NF,由题意可得 FN=OF=ON,
∴ △FON 是等边三角形,
∴ ∠NFA=60°,
∴ ∠NMA=60°, ………… (2分)
同理可得∠ANM=60°, ……………… (3分)
∴ ∠MAN=60°=∠NMA=∠ANM,
∴ △AMN 是正三角形.……………… (4分)
(2)如图,连接 OD,
∵ △FON 是等边三角形,
∴ ∠FON=60°,
∴ ∠AON=120°, ……………… (5分)
∵ ∠AOD=360°/5 ×2=144°, ……………… (6分)
∴ ∠NOD=∠AOD-∠AON=24°, ………… (7分)
∵ 360°÷24°=15,
∴ n 的值是 15. ……… (8分)
解析：
【分析】
(1) 要判断△AMN是否为正三角形，可通过证明其三个内角均为60°推导：首先根据作图条件得FN=OF，结合OF、ON都是⊙O的半径，可得△FON是等边三角形，得到60°的圆心角，再利用圆周角定理推出△AMN的内角为60°，即可判定。
(2) 求正n边形的n值，需先求出弧DN对应的圆心角度数：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此$n=\frac{360°}{\mathrm{弧}DN\mathrm{的圆心角度数}}$。先计算正五边形的中心角，得到∠AOD的度数，再结合△FON是等边三角形求出∠AON的度数，作差得到∠DON的度数，代入计算即可得到n的值。
【解析】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
如图，连接$ON,NF$，由作图过程可知$FN=FO$，
$\because FO、ON$都是$\odot O$的半径，$\therefore FN=OF=ON$，
$\therefore △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$，
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ NMA=∠ NFA=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
$\therefore ∠ MAN=180°-60°-60°=60°=∠ NMA=∠ ANM$，
$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2) 如图，连接$OD$，
$\because △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ FON=60°$，
$\because AF$是直径，$\therefore ∠ AON=180°-∠ FON=120°$，
$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，$\therefore$ 正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
$\therefore ∠ AOD=2×72°=144°$，
$\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
正$n$边形的中心角等于弧$DN$的度数，因此$n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；(2) $n$的值为15。
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图考查了圆与正多边形的相关性质，同时涉及等边三角形的判定、圆周角定理的应用，侧重对基础几何知识综合运用能力的考查，解题的关键是正确理解作图过程，灵活利用圆心角与圆周角的关系计算角度。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△AMN是否为正三角形，可通过证明其三个内角均为60°推导：首先根据作图条件得FN=OF，结合OF、ON都是⊙O的半径，可得△FON是等边三角形，得到60°的圆心角，再利用圆周角定理推出△AMN的内角为60°，即可判定。
(2) 求正n边形的n值，需先求出弧DN对应的圆心角度数：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此$n=\frac{360°}{\mathrm{弧}DN\mathrm{的圆心角度数}}$。先计算正五边形的中心角，得到∠AOD的度数，再结合△FON是等边三角形求出∠AON的度数，作差得到∠DON的度数，代入计算即可得到n的值。
【解析】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
如图，连接$ON,NF$，由作图过程可知$FN=FO$，
$\because FO、ON$都是$\odot O$的半径，$\therefore FN=OF=ON$，
$\therefore △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$，
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ NMA=∠ NFA=60°$，
同理可得$∠ ANM=60°$，
$\therefore ∠ MAN=180°-60°-60°=60°=∠ NMA=∠ ANM$，
$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2) 如图，连接$OD$，
$\because △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ FON=60°$，
$\because AF$是直径，$\therefore ∠ AON=180°-∠ FON=120°$，
$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，$\therefore$ 正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
$\therefore ∠ AOD=2×72°=144°$，
$\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
正$n$边形的中心角等于弧$DN$的度数，因此$n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；(2) $n$的值为15。
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图考查了圆与正多边形的相关性质，同时涉及等边三角形的判定、圆周角定理的应用，侧重对基础几何知识综合运用能力的考查，解题的关键是正确理解作图过程，灵活利用圆心角与圆周角的关系计算角度。
【难度系数】
0.7