25.「2026湖北十堰月考，★☆」(9分)材料一:某种旅游纪念品的进价为每件15元,销售单价不低于20元.
材料二:当销售单价定为20元时,每天可以销售100件,市场调查反映,销售单价每提高1元,日销量将会减少10件.
材料三:物价部门规定销售单价不能超过28元,且为正整数,商店按规定适当涨价销售.
(1)设该纪念品的销售单价为x(单位:元),日销量为y(单位:件),日销售利润为W(单位:元),分别写出y与x,W与x的函数解析式,并写出x的取值范围.
(2)若日销售利润为540元,销售单价应定为多少元?
(3)销售单价定为多少元时,销售该纪念品所获日销售利润最大?最大利润是多少?
材料二:当销售单价定为20元时,每天可以销售100件,市场调查反映,销售单价每提高1元,日销量将会减少10件.
材料三:物价部门规定销售单价不能超过28元,且为正整数,商店按规定适当涨价销售.
(1)设该纪念品的销售单价为x(单位:元),日销量为y(单位:件),日销售利润为W(单位:元),分别写出y与x,W与x的函数解析式,并写出x的取值范围.
(2)若日销售利润为540元,销售单价应定为多少元?
(3)销售单价定为多少元时,销售该纪念品所获日销售利润最大?最大利润是多少?
答案：25.解析 (1)由题意可得 x 的取值范围为 20≤x≤28,且 x 为正整数.……………… (1分)
y=100-10(x-20)=-10x+300(20≤x≤28,且 x 为正整数),……………… (2分)
∴ W=(x-15)y=(x-15)(-10x+300)=-10x²+450x-4500(20≤x≤28,且 x 为正整数).………… (3分)
(2)当 W=540 时,-10x²+450x-4500=540,整理得x²-45x+504=0,……………… (4分)
解得x₁=21,x₂=24,……………… (5分)
∵ 20≤x≤28,
∴ 销售单价应定为 21 元或 24 元. ……………… (6分)
(3)W=-10x²+450x-4500=-10(x-22.5)²+562.5.……………… (7分)
∵ -10＜0,20≤x≤28 且 x 为正整数,
∴ 当 x=22 或 x=23 时,W 的值最大, …… (8分)
当 x=22 时,W=-10×22²+450×22-4500=560,当 x=23 时,W=-10×23²+450×23-4500=560.
答:销售单价定为 22 元或 23 元时,销售该纪念品所获日销售利润最大,最大利润是 560 元. … (9分)
y=100-10(x-20)=-10x+300(20≤x≤28,且 x 为正整数),……………… (2分)
∴ W=(x-15)y=(x-15)(-10x+300)=-10x²+450x-4500(20≤x≤28,且 x 为正整数).………… (3分)
(2)当 W=540 时,-10x²+450x-4500=540,整理得x²-45x+504=0,……………… (4分)
解得x₁=21,x₂=24,……………… (5分)
∵ 20≤x≤28,
∴ 销售单价应定为 21 元或 24 元. ……………… (6分)
(3)W=-10x²+450x-4500=-10(x-22.5)²+562.5.……………… (7分)
∵ -10＜0,20≤x≤28 且 x 为正整数,
∴ 当 x=22 或 x=23 时,W 的值最大, …… (8分)
当 x=22 时,W=-10×22²+450×22-4500=560,当 x=23 时,W=-10×23²+450×23-4500=560.
答:销售单价定为 22 元或 23 元时,销售该纪念品所获日销售利润最大,最大利润是 560 元. … (9分)
解析：
【分析】
解题时按小问逐步推导：
1. 第一问先根据题干的单价限制确定x的取值范围，再结合“单价每涨1元，日销量减少10件”的数量关系写出y关于x的一次函数，最后根据“日利润=单件利润×日销量”推导W关于x的二次函数，注意标注x的取值范围。
2. 第二问将W=540代入二次函数解析式，转化为一元二次方程求解，再结合x的取值范围对根进行取舍，得到符合要求的单价。
3. 第三问先将二次函数配方为顶点式，结合抛物线开口方向、自变量的取值范围（正整数），取离对称轴最近的整数x代入计算，得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意可知销售单价不低于20元，不超过28元且为正整数，因此x的取值范围为$20≤ x≤28$，且x为正整数。
日销量：$y=100-10(x-20)=-10x+300$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）
日销售利润：$W=(x-15)y=(x-15)(-10x+300)=-10x^2+450x-4500$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）
(2) 当$W=540$时，代入解析式得：
$-10x^2+450x-4500=540$
整理得$x^2-45x+504=0$
解得$x_1=21$，$x_2=24$，两个解均满足$20≤ x≤28$的范围，均符合要求。
(3) 将W的解析式配方得：
$W=-10x^2+450x-4500=-10(x-22.5)^2+562.5$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，且$20≤ x≤28$，x为正整数
$\therefore$ 当x取离对称轴$x=22.5$最近的正整数22或23时，W取得最大值
代入$x=22$：$W=-10×22^2+450×22-4500=560$元
代入$x=23$：$W=-10×23^2+450×23-4500=560$元
【答案】
(1) $y=-10x+300$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）；$W=-10x^2+450x-4500$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）
(2) 21元或24元
(3) 销售单价定为22元或23元时，日销售利润最大，最大利润为560元
【知识点】
一次函数解析式、二次函数实际应用、一元二次方程求解
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，综合考查了函数解析式列写、一元二次方程解法及二次函数最值求解，解题时需特别注意自变量的实际限制条件（取值范围、正整数要求），避免忽略限制导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时按小问逐步推导：
1. 第一问先根据题干的单价限制确定x的取值范围，再结合“单价每涨1元，日销量减少10件”的数量关系写出y关于x的一次函数，最后根据“日利润=单件利润×日销量”推导W关于x的二次函数，注意标注x的取值范围。
2. 第二问将W=540代入二次函数解析式，转化为一元二次方程求解，再结合x的取值范围对根进行取舍，得到符合要求的单价。
3. 第三问先将二次函数配方为顶点式，结合抛物线开口方向、自变量的取值范围（正整数），取离对称轴最近的整数x代入计算，得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意可知销售单价不低于20元，不超过28元且为正整数，因此x的取值范围为$20≤ x≤28$，且x为正整数。
日销量：$y=100-10(x-20)=-10x+300$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）
日销售利润：$W=(x-15)y=(x-15)(-10x+300)=-10x^2+450x-4500$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）
(2) 当$W=540$时，代入解析式得：
$-10x^2+450x-4500=540$
整理得$x^2-45x+504=0$
解得$x_1=21$，$x_2=24$，两个解均满足$20≤ x≤28$的范围，均符合要求。
(3) 将W的解析式配方得：
$W=-10x^2+450x-4500=-10(x-22.5)^2+562.5$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，且$20≤ x≤28$，x为正整数
$\therefore$ 当x取离对称轴$x=22.5$最近的正整数22或23时，W取得最大值
代入$x=22$：$W=-10×22^2+450×22-4500=560$元
代入$x=23$：$W=-10×23^2+450×23-4500=560$元
【答案】
(1) $y=-10x+300$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）；$W=-10x^2+450x-4500$（$20≤ x≤28$，且x为正整数）
(2) 21元或24元
(3) 销售单价定为22元或23元时，日销售利润最大，最大利润为560元
【知识点】
一次函数解析式、二次函数实际应用、一元二次方程求解
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，综合考查了函数解析式列写、一元二次方程解法及二次函数最值求解，解题时需特别注意自变量的实际限制条件（取值范围、正整数要求），避免忽略限制导致结果错误。
【难度系数】
0.7