26.「2025四川德阳中考，★★」(10分)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图2，连接BC，过点C作$CD⊥BC$与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标.
②如图3，点E,F为线段BC上两个动点(点E在点F的右侧)，且$EF=\sqrt{2}$，连接OF，DE.求$OF+DE$的最小值.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图2，连接BC，过点C作$CD⊥BC$与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标.
②如图3，点E,F为线段BC上两个动点(点E在点F的右侧)，且$EF=\sqrt{2}$，连接OF，DE.求$OF+DE$的最小值.
答案：
26.解析 (1)
∵ 点 A(-1,0),B(3,0)在抛物线 y=-x²+bx+c 上,
∴ y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3. … (2分)
(2)①把 x=0 代入 y=-x²+2x+3,得 y=3,
∴ C(0,3).如图,延长 DC 与 x 轴相交于点 G,
∵ B(3,0),C(0,3),
∴ OB=OC=3,
∵ ∠COB=90°,
∴ ∠CBO=45°,
∵ ∠DCB=90°=∠BCG,
∴ ∠CGB=90°-∠CBO=45°,
∴ ∠GCO=180°-∠COG-∠CGB=180°-90°-45°=45°=∠CGB,
∴ OG=OC=3,
∴ G(-3,0).设直线 CG 的解析式为 y=kx+m(k≠0),把 C(0,3),G(-3,0)代入,得{3=m, 0=-3k+m, 解得{k=1, m=3,
∴ 直线 CG 的解析式为 y=x+3. ……………… (4分)
联立,得{y=x+3, y=-x²+2x+3, 解得{x=0, y=3, 或{x=1, y=4,
∴ D(1,4). ……………… (6分)
②如图,过点 O 作 OH // EF,且 OH=EF=√2,连接 HE,HD,过点 H 作 HG ⊥ AB 于点 G,
∵ OH // EF, 且 OH = EF = √2,
∴ 四边形 OFEH 为平行四边形,
∴ OF=EH,
∵ OH // EF,∠CBO=45°,
∴ ∠BOH=∠CBO=45°,
∴ △OGH 为等腰直角三角形,
∴ OG=GH,
∵ OH=√2,OG²+GH²=OH²,
∴ OG=GH=1,
∴ H(1,-1),
∵ D(1,4),
∴ D,G,H 三点共线,DH=5,
∵ DE+EH≥DH,
∴ DE+OF 的最小值为 5. ……… (10分)
26.解析 (1)
∵ 点 A(-1,0),B(3,0)在抛物线 y=-x²+bx+c 上,
∴ y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3. … (2分)
(2)①把 x=0 代入 y=-x²+2x+3,得 y=3,
∴ C(0,3).如图,延长 DC 与 x 轴相交于点 G,
∵ B(3,0),C(0,3),
∴ OB=OC=3,
∵ ∠COB=90°,
∴ ∠CBO=45°,
∵ ∠DCB=90°=∠BCG,
∴ ∠CGB=90°-∠CBO=45°,
∴ ∠GCO=180°-∠COG-∠CGB=180°-90°-45°=45°=∠CGB,
∴ OG=OC=3,
∴ G(-3,0).设直线 CG 的解析式为 y=kx+m(k≠0),把 C(0,3),G(-3,0)代入,得{3=m, 0=-3k+m, 解得{k=1, m=3,
∴ 直线 CG 的解析式为 y=x+3. ……………… (4分)
联立,得{y=x+3, y=-x²+2x+3, 解得{x=0, y=3, 或{x=1, y=4,
∴ D(1,4). ……………… (6分)
②如图,过点 O 作 OH // EF,且 OH=EF=√2,连接 HE,HD,过点 H 作 HG ⊥ AB 于点 G,
∵ OH // EF, 且 OH = EF = √2,
∴ 四边形 OFEH 为平行四边形,
∴ OF=EH,
∵ OH // EF,∠CBO=45°,
∴ ∠BOH=∠CBO=45°,
∴ △OGH 为等腰直角三角形,
∴ OG=GH,
∵ OH=√2,OG²+GH²=OH²,
∴ OG=GH=1,
∴ H(1,-1),
∵ D(1,4),
∴ D,G,H 三点共线,DH=5,
∵ DE+EH≥DH,
∴ DE+OF 的最小值为 5. ……… (10分)
解析：
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A(-1,0)、B(3,0)，可直接利用交点式求抛物线解析式，属于二次函数基础考点。
(2) ① 先令x=0代入抛物线解析式求出C点坐标；由B、C坐标可知△BOC是等腰直角三角形，∠CBO=45°，结合CD⊥BC，可推出直线CD与x轴的交点G的坐标，求出直线CD的解析式后与抛物线解析式联立，即可解出另一交点D的坐标。
② 本题是定长线段下的最短路径问题，可通过平移构造平行四边形转化线段：作OH平行且等于EF，将OF转化为EH，此时OF+DE转化为DE+EH，根据两点之间线段最短，最小值即为DH的长度，求出H点坐标后计算DH即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点A(-1,0),B(3,0)在抛物线$y=-x^2+bx+c$上，
∴ $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。
(2) ① 把$x=0$代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴ $C(0,3)$。延长DC与x轴相交于点G，
∵ $B(3,0),C(0,3)$，
∴ $OB=OC=3$，
∵ $∠ COB=90°$，
∴ $∠ CBO=45°$，
∵ $∠ DCB=90°=∠ BCG$，
∴ $∠ CGB=90°-∠ CBO=45°$，
∴ $∠ GCO=180°-∠ COG-∠ CGB=180°-90°-45°=45°=∠ CGB$，
∴ $OG=OC=3$，
∴ $G(-3,0)$。
设直线CG的解析式为$y=kx+m(k≠0)$，把$C(0,3),G(-3,0)$代入，得$\begin{cases}3=m\\0=-3k+m\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\m=3\end{cases}$，
∴ 直线CG的解析式为$y=x+3$。
联立$\begin{cases}y=x+3\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，或$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，
∴ $D(1,4)$。
② 过点O作$OH // EF$，且$OH=EF=\sqrt{2}$，连接HE,HD，过点H作$HG ⊥ AB$于点G，
∵ $OH // EF$，且$OH = EF = \sqrt{2}$，
∴ 四边形OFEH为平行四边形，
∴ $OF=EH$，
∵ $OH // EF$，$∠ CBO=45°$，
∴ $∠ BOH=∠ CBO=45°$，
∴ $△ OGH$为等腰直角三角形，
∴ $OG=GH$，
∵ $OH=\sqrt{2}$，$OG^2+GH^2=OH^2$，
∴ $OG=GH=1$，
∴ $H(1,-1)$，
∵ $D(1,4)$，
∴ D,G,H三点共线，$DH=5$，
∵ $DE+EH≥ DH$，
∴ $DE+OF$的最小值为5。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) ① $D(1,4)$；② $OF+DE$的最小值为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数与二次函数交点，最短路径问题
【点评】
本题是二次函数综合题，难度梯度设置合理，前两问侧重基础性质考察，第三问考察平移转化的数学思想，是中考二次函数综合题的典型考法，需要学生熟练掌握线段最值的转化思路。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A(-1,0)、B(3,0)，可直接利用交点式求抛物线解析式，属于二次函数基础考点。
(2) ① 先令x=0代入抛物线解析式求出C点坐标；由B、C坐标可知△BOC是等腰直角三角形，∠CBO=45°，结合CD⊥BC，可推出直线CD与x轴的交点G的坐标，求出直线CD的解析式后与抛物线解析式联立，即可解出另一交点D的坐标。
② 本题是定长线段下的最短路径问题，可通过平移构造平行四边形转化线段：作OH平行且等于EF，将OF转化为EH，此时OF+DE转化为DE+EH，根据两点之间线段最短，最小值即为DH的长度，求出H点坐标后计算DH即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点A(-1,0),B(3,0)在抛物线$y=-x^2+bx+c$上，
∴ $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。
(2) ① 把$x=0$代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴ $C(0,3)$。延长DC与x轴相交于点G，
∵ $B(3,0),C(0,3)$，
∴ $OB=OC=3$，
∵ $∠ COB=90°$，
∴ $∠ CBO=45°$，
∵ $∠ DCB=90°=∠ BCG$，
∴ $∠ CGB=90°-∠ CBO=45°$，
∴ $∠ GCO=180°-∠ COG-∠ CGB=180°-90°-45°=45°=∠ CGB$，
∴ $OG=OC=3$，
∴ $G(-3,0)$。
设直线CG的解析式为$y=kx+m(k≠0)$，把$C(0,3),G(-3,0)$代入，得$\begin{cases}3=m\\0=-3k+m\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\m=3\end{cases}$，
∴ 直线CG的解析式为$y=x+3$。
联立$\begin{cases}y=x+3\\y=-x^2+2x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，或$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，
∴ $D(1,4)$。
② 过点O作$OH // EF$，且$OH=EF=\sqrt{2}$，连接HE,HD，过点H作$HG ⊥ AB$于点G，
∵ $OH // EF$，且$OH = EF = \sqrt{2}$，
∴ 四边形OFEH为平行四边形，
∴ $OF=EH$，
∵ $OH // EF$，$∠ CBO=45°$，
∴ $∠ BOH=∠ CBO=45°$，
∴ $△ OGH$为等腰直角三角形，
∴ $OG=GH$，
∵ $OH=\sqrt{2}$，$OG^2+GH^2=OH^2$，
∴ $OG=GH=1$，
∴ $H(1,-1)$，
∵ $D(1,4)$，
∴ D,G,H三点共线，$DH=5$，
∵ $DE+EH≥ DH$，
∴ $DE+OF$的最小值为5。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) ① $D(1,4)$；② $OF+DE$的最小值为$\boldsymbol{5}$
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数与二次函数交点，最短路径问题
【点评】
本题是二次函数综合题，难度梯度设置合理，前两问侧重基础性质考察，第三问考察平移转化的数学思想，是中考二次函数综合题的典型考法，需要学生熟练掌握线段最值的转化思路。
【难度系数】
0.6