1.如图,在钉子板上围多边形,下面每个多边形的面积各是多少平方厘米?每个多边形边上的钉子各有多少枚?每个多边形内的钉子各有多少枚?数一数,算一算,将结果填入表中。
(1)这些多边形的共同特点是多边形内只有( )枚钉子。
(2)当多边形内只有1枚钉子时,这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子枚数的( )。
(3)当多边形内只有1枚钉子时,用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,那么S=( )。
(1)这些多边形的共同特点是多边形内只有( )枚钉子。
(2)当多边形内只有1枚钉子时,这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子枚数的( )。
(3)当多边形内只有1枚钉子时,用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,那么S=( )。
答案：|图形编号|多边形内的钉子数/枚|多边形边上的钉子数/枚|多边形的面积/平方厘米|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|1|6|3|
|②|1|6|3|
|③|1|7|3.5|
|④|1|8|4|
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$（或一半）
(3) $\boldsymbol{n÷2}$（或$\frac{n}{2}$）
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|1|6|3|
|②|1|6|3|
|③|1|7|3.5|
|④|1|8|4|
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$（或一半）
(3) $\boldsymbol{n÷2}$（或$\frac{n}{2}$）
2.如图,在钉子板上围多边形,如果多边形内有2枚钉子,用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,那么$S=(\quad)$。
A.$(n-2)÷2$
B.$n÷2+2$
C.$n÷2-1$
D.$n÷2+1$
A.$(n-2)÷2$
B.$n÷2+2$
C.$n÷2-1$
D.$n÷2+1$
答案：解：
分别统计三个多边形的边上钉子数n和对应面积S：
图①：n=6，S=4，满足$4=6÷2+1$
图②：n=8，S=5，满足$5=8÷2+1$
图③：n=10，S=6，满足$6=10÷2+1$
可得规律：当多边形内有2枚钉子时，$S=n÷2+1$
答：选D，$S=n÷2+1$。
分别统计三个多边形的边上钉子数n和对应面积S：
图①：n=6，S=4，满足$4=6÷2+1$
图②：n=8，S=5，满足$5=8÷2+1$
图③：n=10，S=6，满足$6=10÷2+1$
可得规律：当多边形内有2枚钉子时，$S=n÷2+1$
答：选D，$S=n÷2+1$。
3.如图,在点子图上画四个图形,每个图形的面积是多少平方厘米？(横、竖每相邻两个点之间的距离是1厘米)
奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克发现:格点多边形的面积=边界的格点数÷2+内部的格点数-1,这个发现也被称为“皮克定理”。
(1)①号格点多边形的边界的格点数是8,内部的格点数是3,它的面积是( )平方厘米。
(2)②号格点多边形的边界的格点数是( ),内部的格点数是( ),它的面积是( )平方厘米。
(3)③号和④号格点多边形的面积相比较,( )号格点多边形的面积大,请你用上面的方法验证一下。
奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克发现:格点多边形的面积=边界的格点数÷2+内部的格点数-1,这个发现也被称为“皮克定理”。
(1)①号格点多边形的边界的格点数是8,内部的格点数是3,它的面积是( )平方厘米。
(2)②号格点多边形的边界的格点数是( ),内部的格点数是( ),它的面积是( )平方厘米。
(3)③号和④号格点多边形的面积相比较,( )号格点多边形的面积大,请你用上面的方法验证一下。
答案：(1)
$8÷2 + 3 - 1 = 6$
答案：$\boldsymbol{6}$
(2)
边界的格点数：$4$
内部的格点数：$4$
$4÷2 + 4 - 1 = 5$
答案：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{5}$
(3)
答案：$\boldsymbol{④}$
验证：
③号格点多边形边界的格点数是8，内部的格点数是4
面积：$8÷2 + 4 - 1 = 7$（平方厘米）
④号格点多边形边界的格点数是10，内部的格点数是6
面积：$10÷2 + 6 - 1 = 10$（平方厘米）
$7＜10$，所以④号格点多边形的面积更大。
答：①号图形面积是6平方厘米，②号图形面积是5平方厘米，③号图形面积是7平方厘米，④号图形面积是10平方厘米，④号面积更大。
$8÷2 + 3 - 1 = 6$
答案：$\boldsymbol{6}$
(2)
边界的格点数：$4$
内部的格点数：$4$
$4÷2 + 4 - 1 = 5$
答案：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{5}$
(3)
答案：$\boldsymbol{④}$
验证：
③号格点多边形边界的格点数是8，内部的格点数是4
面积：$8÷2 + 4 - 1 = 7$（平方厘米）
④号格点多边形边界的格点数是10，内部的格点数是6
面积：$10÷2 + 6 - 1 = 10$（平方厘米）
$7＜10$，所以④号格点多边形的面积更大。
答：①号图形面积是6平方厘米，②号图形面积是5平方厘米，③号图形面积是7平方厘米，④号图形面积是10平方厘米，④号面积更大。
4.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。
(1)在钉子板上围一个内部没有钉子的四边形，且边上有10枚钉子，它的面积是( )平方厘米。
(2)在钉子板上围一个内部有3枚钉子的八边形，且面积为6平方厘米，它的边上有( )枚钉子。
(1)在钉子板上围一个内部没有钉子的四边形，且边上有10枚钉子，它的面积是( )平方厘米。
(2)在钉子板上围一个内部有3枚钉子的八边形，且面积为6平方厘米，它的边上有( )枚钉子。
答案：(1)
$0 + 10÷2 - 1 = 4$（平方厘米）
(2)
$(6 - 3 + 1)×2 = 8$（枚）
答：(1)它的面积是4平方厘米，(2)它的边上有8枚钉子。
$0 + 10÷2 - 1 = 4$（平方厘米）
(2)
$(6 - 3 + 1)×2 = 8$（枚）
答：(1)它的面积是4平方厘米，(2)它的边上有8枚钉子。
5.在下面的点子图上,画出两个面积是6平方厘米且形状不同的多边形。(横、竖每相邻两个点之间的距离都是1厘米) 
答案：
