【分析】
解决这类角度计算问题，我们可以通过设未知数列方程的方法求解。首先要明确余角和补角的定义：互为余角的两个角和为90°，所以一个锐角$x°$的余角是$(90-x)°$；互为补角的两个角和为180°，所以这个锐角的补角是$(180-x)°$。接下来提取题干的等量关系：锐角的余角 = 这个锐角补角的$\frac{1}{2}$减去20°，最后根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
设这个锐角的度数为$x°$。
根据余角、补角的定义，该锐角的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
结合题意的等量关系列方程：
$90-x=\frac{1}{2}(180-x)-20$
解方程：
展开右边得：$90-x=90-\frac{1}{2}x-20$
整理得：$90-x=70-\frac{1}{2}x$
移项合并同类项得：$-\frac{1}{2}x=-20$
系数化为1得：$x=40$
【答案】
$40°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确找准题干中的等量关系列出方程，计算难度低，是基础得分题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1)要判断OE是否为∠BOD的平分线，依据角平分线的定义，只需证明∠BOE与∠DOE度数相等即可。已知∠DOF和∠EOF的度数，先通过角的减法运算求出∠DOE的度数，再和已知的∠BOE对比就能得出结论。
(2)求∠AOD的度数时，观察图形可知A、O、B三点共线，∠AOB是平角为180°，即∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，代入已知的∠BOE和第(1)问求出的∠DOE的度数，通过减法运算即可求出∠AOD的度数。
【解析】
(1)OE是∠BOD的平分线，理由如下：
已知$∠EOF=54°,∠DOF=90°$，根据角的和差关系可得：
$∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-54°=36°$
又因为$∠BOE=36°$，所以$∠BOE=∠DOE$，根据角平分线的定义，可知OE是$∠BOD$的平分线。
(2)因为点A、O、B在同一直线上，所以$∠AOB$是平角，度数为$180°$，即：
$∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°$
将$∠DOE=36°$，$∠BOE=36°$代入上式可得：
$∠AOD=180°-36°-36°=108°$
【答案】
(1)OE是$∠BOD$的平分线，理由见解析；
(2)$∠AOD=108°$
【知识点】
角平分线的判定、角的和差计算、平角的定义
【点评】
本题属于角运算的基础题型，解题关键是结合图形理清各角之间的和差关系，灵活运用角平分线的判定规则和平角的性质进行计算，熟练掌握这类基础题可以为后续复杂几何运算打下良好基础。
【难度系数】
0.85

【分析】
(1) 判断∠AOC与∠BOD是否相等，可利用补角的性质推导：已知A、O、B在同一直线上，可得∠AOC与∠BOC的和为平角180°，即二者互补；题目给出∠BOD与∠BOC互补，根据“同角的补角相等”即可得出两角相等的结论。
(2) ① 已知∠AOC与∠MON互余，根据互余的定义（两个角的和为90°），直接用90°减去∠AOC的度数即可求出∠MON的度数。
② 探究∠AON与∠DON的数量关系，首先利用角平分线的性质将∠AOC转化为2∠AOM，再结合∠AOC与∠MON互余的条件表示出∠AON；之后结合第一问得到的∠BOD=∠AOC，利用平角为180°的性质表示出∠DON，对比两个角的表达式即可得出数量关系。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠AOC=∠BOD}$，理由如下：
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD+∠BOC=180°$。
又因为A、O、B三点在同一条直线上，所以$∠AOC+∠BOC=180°$，根据同角的补角相等，可得$∠AOC=∠BOD$。
(2) ① 因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠AOC+∠MON=90°$，
代入$∠AOC=32°$，可得$∠MON=90°-∠AOC=90°-32°=58°$。
② $\boldsymbol{∠AON=∠DON}$，理由如下：
如答图：

因为OM平分$∠AOC$，所以$∠AOC=2∠AOM$，且$∠COM=∠AOM$。
因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠AOC+∠MON=90°$，
因此$∠AON=∠AOM+∠MON=∠AOM+(90°-∠AOC)=∠AOM+90°-2∠AOM=90°-∠AOM$。
进而可得$∠CON=∠AON-∠AOC=90°-∠AOM-2∠AOM=90°-3∠AOM$。
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD+∠BOC=180°$，
而$∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BOD+∠CON+∠DON$，代入得$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$。
由(1)可知$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$，代入上式：
$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD=180°-(90°-3∠AOM)-2×2∠AOM=180°-90°+3∠AOM-4∠AOM=90°-∠AOM$。
因此$∠AON=∠DON$。
【答案】
(1) $∠AOC=∠BOD$，理由如下：
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，
所以$∠BOD+∠BOC=180°$。
因为$∠AOC+∠BOC=180°$,所以$∠AOC=∠BOD$。
(2)①$∠MON=58°$；
②$∠AON=∠DON$，理由如下：
如答图：

因为OM平分$∠AOC$,
所以$∠AOC=2∠AOM,∠COM=∠AOM$。
因为$∠AOC$与$∠MON$互余，
所以$∠AOC+∠MON=90°$,
所以$∠AON=90°-∠AOM$,
所以$∠CON=∠AON-∠AOC=90°-3∠AOM$。
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，
所以$∠BOD+∠BOC=180°$,
所以$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$。
又因为$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$,
所以$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD$
$=180°-(90°-3∠AOM)-4∠AOM$
$=90°-∠AOM$,
所以$∠AON=∠DON$。
【知识点】
补角的性质，余角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了角的相关基础性质，涉及补角、余角、角平分线等核心知识点，解题的关键是结合图形梳理清楚各角之间的和差关系，熟练运用相关定义和性质进行推导，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确对顶角的基本性质：两条直线相交于一点，会形成2对对顶角。当多条直线交于同一点时，我们可以按“每两条直线为一组”分类计数：先数出图中共有多少组不同的两条直线，每组对应2对对顶角，组数乘2就是总对顶角数。
(1) 图①有2条直线交于一点，只有1组两条直线，对应2对对顶角；图②有3条直线交于一点，共有3组不同的两条直线，对应6对对顶角；图③有4条直线交于一点，共有6组不同的两条直线，对应12对对顶角。
(2) 把直线数量推广到n条，先算n条直线里两两分组的总数，再乘2即可得到通用公式。
(3) 把n=2026代入第(2)问的公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图①：两条直线AB、CD相交于点O，对顶角为∠AOC与∠BOD、∠AOD与∠BOC，共2对；
图②：三条直线AB、CD、EF交于点O，两两分组共3组（AB与CD、AB与EF、CD与EF），每组产生2对对顶角，总对数为$3×2=6$对；
图③：四条直线AB、CD、EF、GH交于点O，两两分组共6组，每组产生2对对顶角，总对数为$6×2=12$对。
(2) 若有n条直线相交于一点，两两分组的总组数为$\frac{n(n-1)}{2}$，每组对应2对对顶角，因此总对顶角数为$\frac{n(n-1)}{2}×2 = n(n-1)$对。
(3) 当n=2026时，代入公式得：$2026×(2026-1)=2026×2025=4102650$。
【答案】
(1)2，6，12；(2)$n(n-1)$；(3)4102650
【知识点】
对顶角的定义，相交线的性质，规律探究
【点评】
本题核心考查对顶角的计数，需要从特殊的2条、3条、4条直线相交的情况归纳出一般规律，解题的关键是掌握“两条直线相交形成2对对顶角”的基本结论，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7