6. 对任意有理数$a$,$b$,定义一种新运算“$*$”:$a*b=3a-4b$.
(1) 化简:$(x-y)*(x+y)$;
(2) 求代数式的值:$\{(x+3y)*[\frac{1}{2}(5y-x)]\}*(-y)$,其中$x=-\frac{1}{3},y=2$.
(1) 化简:$(x-y)*(x+y)$;
(2) 求代数式的值:$\{(x+3y)*[\frac{1}{2}(5y-x)]\}*(-y)$,其中$x=-\frac{1}{3},y=2$.
答案：(1) 原式$=3(x-y)-4(x+y)=3x-3y-4x-4y=-x-7y$。
(2) 原式$=[3(x+3y)-2(5y-x)]×(-y)=(5x-y)×(-y)=3(5x-y)+4y=15x+y$。当$x=-\frac{1}{3}$，$y=2$时，原式$=15×(-\frac{1}{3})+2=-3$。
(2) 原式$=[3(x+3y)-2(5y-x)]×(-y)=(5x-y)×(-y)=3(5x-y)+4y=15x+y$。当$x=-\frac{1}{3}$，$y=2$时，原式$=15×(-\frac{1}{3})+2=-3$。
解析：
【分析】
本题考查新定义运算下的整式化简与求值，解题核心是严格遵循给定的运算规则“$a*b=3a-4b$”，将新运算转化为常规的整式四则运算。
(1) 解题时只需将新运算中$*$左边的$(x-y)$看作公式里的$a$，$*$右边的$(x+y)$看作公式里的$b$，代入公式后去括号、合并同类项即可完成化简。
(2) 对于多层新运算的式子，要按照从内到外的顺序依次计算：先计算内层的$(x+3y)*[\frac{1}{2}(5y-x)]$，得到化简结果后，再将该结果作为$a$，将$(-y)$作为$b$，再次代入新运算公式化简，最后代入$x$、$y$的数值计算最终结果，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a*b=3a-4b$，将$a=x-y$，$b=x+y$代入得：
$\begin{aligned}原式&=3(x-y)-4(x+y)\\&=3x-3y-4x-4y\\&=-x-7y\end{aligned}$
(2) 先计算内层的新运算：令$a=x+3y$，$b=\frac{1}{2}(5y-x)$，代入得：
$\begin{aligned}(x+3y)*[\frac{1}{2}(5y-x)] &= 3(x+3y) - 4×[\frac{1}{2}(5y-x)]\\&= 3x+9y - 2(5y - x)\\&= 3x+9y -10y +2x\\&=5x - y\end{aligned}$
再计算外层的新运算：此时$a=5x-y$，$b=-y$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(5x - y)*(-y)\\&=3(5x - y) - 4×(-y)\\&=15x - 3y +4y\\&=15x + y\end{aligned}$
将$x=-\frac{1}{3}$，$y=2$代入上式：
$原式=15×(-\frac{1}{3}) + 2 = -5 + 2 = -3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-x-7y}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，代数式求值
【点评】
本题解题的关键是准确理解新运算的规则，清晰区分每次运算中对应$a$和$b$的代数式，运算过程中要注意去括号的符号变化，多层运算按从内到外的顺序逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
本题考查新定义运算下的整式化简与求值，解题核心是严格遵循给定的运算规则“$a*b=3a-4b$”，将新运算转化为常规的整式四则运算。
(1) 解题时只需将新运算中$*$左边的$(x-y)$看作公式里的$a$，$*$右边的$(x+y)$看作公式里的$b$，代入公式后去括号、合并同类项即可完成化简。
(2) 对于多层新运算的式子，要按照从内到外的顺序依次计算：先计算内层的$(x+3y)*[\frac{1}{2}(5y-x)]$，得到化简结果后，再将该结果作为$a$，将$(-y)$作为$b$，再次代入新运算公式化简，最后代入$x$、$y$的数值计算最终结果，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a*b=3a-4b$，将$a=x-y$，$b=x+y$代入得：
$\begin{aligned}原式&=3(x-y)-4(x+y)\\&=3x-3y-4x-4y\\&=-x-7y\end{aligned}$
(2) 先计算内层的新运算：令$a=x+3y$，$b=\frac{1}{2}(5y-x)$，代入得：
$\begin{aligned}(x+3y)*[\frac{1}{2}(5y-x)] &= 3(x+3y) - 4×[\frac{1}{2}(5y-x)]\\&= 3x+9y - 2(5y - x)\\&= 3x+9y -10y +2x\\&=5x - y\end{aligned}$
再计算外层的新运算：此时$a=5x-y$，$b=-y$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(5x - y)*(-y)\\&=3(5x - y) - 4×(-y)\\&=15x - 3y +4y\\&=15x + y\end{aligned}$
将$x=-\frac{1}{3}$，$y=2$代入上式：
$原式=15×(-\frac{1}{3}) + 2 = -5 + 2 = -3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-x-7y}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，代数式求值
【点评】
本题解题的关键是准确理解新运算的规则，清晰区分每次运算中对应$a$和$b$的代数式，运算过程中要注意去括号的符号变化，多层运算按从内到外的顺序逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
典例⑦ 已知代数式$m_1=a$，$m_2=2a$，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，即$m_3=m_1+m_2=3a$，$m_4=m_2+m_3=5a$，…给出下列说法：① 若$m_n=55a$，则$n=8$；② $m_1+m_2+m_3+…+m_{10}=231a$；③ 前2026个式子中，$a$的系数为偶数的代数式有674个；④ 记前$n$个式子的和为$S_n$，则$S_{2n+2}-S_{2n}=m_2+m_4+…+m_{2n}+m_{2n+2}$。其中正确的是。（填序号）
【思路点拨】由题意，得$m_3=3a$，$m_4=5a$，$m_5=8a$，$m_6=13a$，$m_7=21a$，$m_8=34a$，$m_9=55a$，故①错误；因为$m_{10}=89a$，所以$m_1+m_2+m_3+…+m_{10}=(1+2+3+…+89)a=231a$，故②正确；从第1个式子开始，系数按奇、偶、奇的规律循环出现。因为$2026÷3=675……1$，所以前2026个式子中，$a$的系数为偶数的代数式有675个，故③错误；当$n=1$时，$S_4-S_2=m_3+m_4=8a$，$m_2+m_4=7a$，所以$S_4-S_2≠m_2+m_4$，故④错误。
【答案】②
名师大招▶1. 整式加减的实质是合并同类项；2. 在进行加减运算时，不可合并的项不动。
【思路点拨】由题意，得$m_3=3a$，$m_4=5a$，$m_5=8a$，$m_6=13a$，$m_7=21a$，$m_8=34a$，$m_9=55a$，故①错误；因为$m_{10}=89a$，所以$m_1+m_2+m_3+…+m_{10}=(1+2+3+…+89)a=231a$，故②正确；从第1个式子开始，系数按奇、偶、奇的规律循环出现。因为$2026÷3=675……1$，所以前2026个式子中，$a$的系数为偶数的代数式有675个，故③错误；当$n=1$时，$S_4-S_2=m_3+m_4=8a$，$m_2+m_4=7a$，所以$S_4-S_2≠m_2+m_4$，故④错误。
【答案】②
名师大招▶1. 整式加减的实质是合并同类项；2. 在进行加减运算时，不可合并的项不动。
答案：解：
依次计算各代数式：
$m_1=a$，$m_2=2a$，$m_3=3a$，$m_4=5a$，$m_5=8a$，$m_6=13a$，$m_7=21a$，$m_8=34a$，$m_9=55a$，
① 若$m_n=55a$，则$n=9$，故①错误；
② $m_{10}=m_8+m_9=34a+55a=89a$，
$m_1+m_2+m_3+\dots+m_{10}=(1+2+3+5+8+13+21+34+55+89)a=231a$，故②正确；
③ 观察a的系数奇偶性，可得规律为奇、偶、奇循环，每3个代数式为一组，每组仅有1个a的系数为偶数。
$2026÷3=675······1$，余下的第2026个代数式的a的系数为奇数，因此前2026个式子中，a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误；
④ 当$n=1$时，$S_4-S_2=m_3+m_4=3a+5a=8a$，$m_2+m_4=2a+5a=7a$，$S_4-S_2≠ m_2+m_4$，等式不成立，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{②}$。
依次计算各代数式：
$m_1=a$，$m_2=2a$，$m_3=3a$，$m_4=5a$，$m_5=8a$，$m_6=13a$，$m_7=21a$，$m_8=34a$，$m_9=55a$，
① 若$m_n=55a$，则$n=9$，故①错误；
② $m_{10}=m_8+m_9=34a+55a=89a$，
$m_1+m_2+m_3+\dots+m_{10}=(1+2+3+5+8+13+21+34+55+89)a=231a$，故②正确；
③ 观察a的系数奇偶性，可得规律为奇、偶、奇循环，每3个代数式为一组，每组仅有1个a的系数为偶数。
$2026÷3=675······1$，余下的第2026个代数式的a的系数为奇数，因此前2026个式子中，a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误；
④ 当$n=1$时，$S_4-S_2=m_3+m_4=3a+5a=8a$，$m_2+m_4=2a+5a=7a$，$S_4-S_2≠ m_2+m_4$，等式不成立，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{②}$。
解析：
【分析】
本题属于代数式规律探究类题目，解题思路如下：第一步先根据题目给出的“从第三个式子开始，每个式子等于前两个之和”的递推规则，依次写出前若干个代数式的系数，得到各项的具体形式；第二步逐个验证四个说法的正误：①对照计算出的各项找到55a对应的序号；②计算前10项的系数和，再乘a得到总和判断；③观察系数的奇偶性，找到循环规律，再用总个数除以周期数，计算偶数系数的个数；④可以用代入特殊值（如n=1）的方法，分别计算等式左右两边的结果，判断是否相等。
【解析】
解：根据题意依次计算各代数式：
$m_1=a$，$m_2=2a$，$m_3=m_1+m_2=3a$，$m_4=m_2+m_3=5a$，$m_5=m_3+m_4=8a$，$m_6=m_4+m_5=13a$，$m_7=m_5+m_6=21a$，$m_8=m_6+m_7=34a$，$m_9=m_7+m_8=55a$，
① 若$m_n=55a$，对应的是$m_9$，则$n=9$，故①错误；
② 先算$m_{10}=m_8+m_9=34a+55a=89a$，
前10项和为$m_1+m_2+m_3+\dots+m_{10}=(1+2+3+5+8+13+21+34+55+89)a=231a$，故②正确；
③ 观察a的系数奇偶性，依次为：奇、偶、奇、奇、偶、奇……，规律为每3个代数式为一组，按“奇、偶、奇”循环，每组仅有1个a的系数为偶数。
计算$2026÷3=675······1$，余下的第2026个代数式对应循环的第一个，系数为奇数，因此前2026个式子中，a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误；
④ 取特殊值$n=1$验证：左边$S_{2n+2}-S_{2n}=S_4-S_2=m_3+m_4=3a+5a=8a$，右边$m_2+m_4=2a+5a=7a$，显然$8a≠7a$，等式不成立，故④错误。
综上，只有②正确。
【答案】
$\boldsymbol{②}$
【知识点】
代数式规律探究，整式加减运算，周期规律应用
【点评】
本题结合递推关系考查代数式的规律探索，需要学生具备一定的归纳推理能力，解题时可通过计算前几项快速找到规律，验证结论时特殊值法是高效的技巧，易错点为周期计算时余数对应的属性判断、递推计算时系数算错。
【难度系数】
0.6
本题属于代数式规律探究类题目，解题思路如下：第一步先根据题目给出的“从第三个式子开始，每个式子等于前两个之和”的递推规则，依次写出前若干个代数式的系数，得到各项的具体形式；第二步逐个验证四个说法的正误：①对照计算出的各项找到55a对应的序号；②计算前10项的系数和，再乘a得到总和判断；③观察系数的奇偶性，找到循环规律，再用总个数除以周期数，计算偶数系数的个数；④可以用代入特殊值（如n=1）的方法，分别计算等式左右两边的结果，判断是否相等。
【解析】
解：根据题意依次计算各代数式：
$m_1=a$，$m_2=2a$，$m_3=m_1+m_2=3a$，$m_4=m_2+m_3=5a$，$m_5=m_3+m_4=8a$，$m_6=m_4+m_5=13a$，$m_7=m_5+m_6=21a$，$m_8=m_6+m_7=34a$，$m_9=m_7+m_8=55a$，
① 若$m_n=55a$，对应的是$m_9$，则$n=9$，故①错误；
② 先算$m_{10}=m_8+m_9=34a+55a=89a$，
前10项和为$m_1+m_2+m_3+\dots+m_{10}=(1+2+3+5+8+13+21+34+55+89)a=231a$，故②正确；
③ 观察a的系数奇偶性，依次为：奇、偶、奇、奇、偶、奇……，规律为每3个代数式为一组，按“奇、偶、奇”循环，每组仅有1个a的系数为偶数。
计算$2026÷3=675······1$，余下的第2026个代数式对应循环的第一个，系数为奇数，因此前2026个式子中，a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误；
④ 取特殊值$n=1$验证：左边$S_{2n+2}-S_{2n}=S_4-S_2=m_3+m_4=3a+5a=8a$，右边$m_2+m_4=2a+5a=7a$，显然$8a≠7a$，等式不成立，故④错误。
综上，只有②正确。
【答案】
$\boldsymbol{②}$
【知识点】
代数式规律探究，整式加减运算，周期规律应用
【点评】
本题结合递推关系考查代数式的规律探索，需要学生具备一定的归纳推理能力，解题时可通过计算前几项快速找到规律，验证结论时特殊值法是高效的技巧，易错点为周期计算时余数对应的属性判断、递推计算时系数算错。
【难度系数】
0.6