7. 新素养 推理能力 依次排列的两个整式$-2a+b$，$-2a+3b$，将第1个整式乘2再加上第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式$-6a+5b$；将第2个整式乘2再加上第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式$-10a+11b$；将第3个整式乘2再加上第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式$-22a+21b$……依此类推，给出下列说法：① 第8个整式为$-170a+171b$；② 第7次操作后得到的整式的各项系数之和为$-1$；③ 若$a=b=-24$，则第2026次操作完成后，所有整式之和为0。其中正确的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D 解析:由题意，得第6个整式为$2(-10a+11b)-22a+21b=-42a+43b$，第7个整式为$2(-22a+21b)-42a+43b=-86a+85b$，第8个整式为$2(-42a+43b)-86a+85b=-170a+171b$，故①正确；第7次操作后，得到第9个整式为$2(-86a+85b)-170a+171b=-342a+341b$，其系数之和为$-342+341=-1$，故②正确；若$a=b=-24$，则第1个整式为$-a$，第2个整式为$a$，第3个整式为$-a$……第2028个整式为$a$，所以第2026次操作完成后，所有整式之和为$-a+a-a+\dots-a+a=0$，故③正确。综上所述，正确的个数是3。
解析：
【分析】
这是一道结合新定义操作的整式规律探究题，解题思路如下：1. 先明确操作规则：第k次操作是将第k个整式乘2，再加第k+1个整式，得到第k+2个整式；2. 对三个结论逐一验证：①要得到第8个整式，按操作规则依次计算到第8个即可；②第7次操作得到的是第9个整式，算出它的a、b系数相加就是系数和；③当a=b时，先代入化简前几个整式，找到符号交替的规律，再计算2026次操作后所有整式的和即可。
【解析】
我们按照操作规则逐步推导：
1. 验证结论①：
已知前5个整式：第1个$-2a+b$，第2个$-2a+3b$，第3个$-6a+5b$，第4个$-10a+11b$，第5个$-22a+21b$
第6个整式：$2×$第4个$+$第5个$=2(-10a+11b)+(-22a+21b)=-20a+22b-22a+21b=-42a+43b$
第7个整式：$2×$第5个$+$第6个$=2(-22a+21b)+(-42a+43b)=-44a+42b-42a+43b=-86a+85b$
第8个整式：$2×$第6个$+$第7个$=2(-42a+43b)+(-86a+85b)=-84a+86b-86a+85b=-170a+171b$，故①正确。
2. 验证结论②：
第7次操作得到的是第$7+2=9$个整式：$2×$第7个$+$第8个$=2(-86a+85b)+(-170a+171b)=-172a+170b-170a+171b=-342a+341b$
各项系数之和为$-342+341=-1$，故②正确。
3. 验证结论③：
当$a=b=-24$时，代入前几个整式：
第1个：$-2a+b=-2a+a=-a$
第2个：$-2a+3b=-2a+3a=a$
第3个：$-6a+5b=-6a+5a=-a$
第4个：$-10a+11b=-10a+11a=a$
可得规律：第奇数个整式为$-a$，第偶数个整式为$a$。
2026次操作完成后，总整式个数为$2+2026=2028$个，刚好是偶数个，两两分组$(-a+a)+(-a+a)+\dots+(-a+a)$，每组和为0，总和为0，故③正确。
综上，①②③都正确，正确个数为3。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减，规律探究，代数式求值
【点评】
本题以新定义操作为背景，考查整式的运算与规律归纳能力，解题关键是准确理解操作规则，理清操作次数与整式序号的对应关系，验证规律时可以先从简单的前几项入手，总结普遍规律后再解决问题。
【难度系数】
0.55
这是一道结合新定义操作的整式规律探究题，解题思路如下：1. 先明确操作规则：第k次操作是将第k个整式乘2，再加第k+1个整式，得到第k+2个整式；2. 对三个结论逐一验证：①要得到第8个整式，按操作规则依次计算到第8个即可；②第7次操作得到的是第9个整式，算出它的a、b系数相加就是系数和；③当a=b时，先代入化简前几个整式，找到符号交替的规律，再计算2026次操作后所有整式的和即可。
【解析】
我们按照操作规则逐步推导：
1. 验证结论①：
已知前5个整式：第1个$-2a+b$，第2个$-2a+3b$，第3个$-6a+5b$，第4个$-10a+11b$，第5个$-22a+21b$
第6个整式：$2×$第4个$+$第5个$=2(-10a+11b)+(-22a+21b)=-20a+22b-22a+21b=-42a+43b$
第7个整式：$2×$第5个$+$第6个$=2(-22a+21b)+(-42a+43b)=-44a+42b-42a+43b=-86a+85b$
第8个整式：$2×$第6个$+$第7个$=2(-42a+43b)+(-86a+85b)=-84a+86b-86a+85b=-170a+171b$，故①正确。
2. 验证结论②：
第7次操作得到的是第$7+2=9$个整式：$2×$第7个$+$第8个$=2(-86a+85b)+(-170a+171b)=-172a+170b-170a+171b=-342a+341b$
各项系数之和为$-342+341=-1$，故②正确。
3. 验证结论③：
当$a=b=-24$时，代入前几个整式：
第1个：$-2a+b=-2a+a=-a$
第2个：$-2a+3b=-2a+3a=a$
第3个：$-6a+5b=-6a+5a=-a$
第4个：$-10a+11b=-10a+11a=a$
可得规律：第奇数个整式为$-a$，第偶数个整式为$a$。
2026次操作完成后，总整式个数为$2+2026=2028$个，刚好是偶数个，两两分组$(-a+a)+(-a+a)+\dots+(-a+a)$，每组和为0，总和为0，故③正确。
综上，①②③都正确，正确个数为3。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减，规律探究，代数式求值
【点评】
本题以新定义操作为背景，考查整式的运算与规律归纳能力，解题关键是准确理解操作规则，理清操作次数与整式序号的对应关系，验证规律时可以先从简单的前几项入手，总结普遍规律后再解决问题。
【难度系数】
0.55
上分点八 实际问题中的应用
典例8 新趋势 综合实践 根据以下实践内容，完成问题解决。
实践主题 拼图中的周长探究
实践材料：若干小长方形(如图①)和两个形状及大小完全相同的大长方形(如图②)。
实践操作：小亮操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图③；
小明操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图④。
实践数据：图③中阴影部分的周长与图④中阴影部分周长的差为$m$。
问题解决：(1) 求小长方形(如图①)的宽；(用含$m$的代数式表示)
(2) 求大长方形(如图②)的周长。(用含$m$的代数式表示)
【思路点拨】(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$，表示出两图形中阴影部分的周长，求出差值即可得小长方形的宽；(2) 求出$y$就能够求出大长方形的周长。
【答案】(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$，则图②中大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。由题意，得图③中阴影部分的周长为$2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$，图④中阴影部分的周长为$2(5y+4y-x)=18y-2x$，则$(20y-2x)-(18y-2x)=m$，即$y=\frac{m}{2}$。故小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2) 由(1)，得大长方形的周长为$2(4y+5y)=18y$。因为$y=\frac{m}{2}$，所以$18y=9m$。故大长方形的周长为$9m$。
【名师大招】整式加减的实际应用就是把实际问题中的数量关系数学化，把题目中的量用整式表示出来，然后进行整式的加减运算。
典例8 新趋势 综合实践 根据以下实践内容，完成问题解决。
实践主题 拼图中的周长探究
实践材料：若干小长方形(如图①)和两个形状及大小完全相同的大长方形(如图②)。
实践操作：小亮操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图③；
小明操作如下：在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图④。
实践数据：图③中阴影部分的周长与图④中阴影部分周长的差为$m$。
问题解决：(1) 求小长方形(如图①)的宽；(用含$m$的代数式表示)
(2) 求大长方形(如图②)的周长。(用含$m$的代数式表示)
【思路点拨】(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$，表示出两图形中阴影部分的周长，求出差值即可得小长方形的宽；(2) 求出$y$就能够求出大长方形的周长。
【答案】(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$，则图②中大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。由题意，得图③中阴影部分的周长为$2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$，图④中阴影部分的周长为$2(5y+4y-x)=18y-2x$，则$(20y-2x)-(18y-2x)=m$，即$y=\frac{m}{2}$。故小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2) 由(1)，得大长方形的周长为$2(4y+5y)=18y$。因为$y=\frac{m}{2}$，所以$18y=9m$。故大长方形的周长为$9m$。
【名师大招】整式加减的实际应用就是把实际问题中的数量关系数学化，把题目中的量用整式表示出来，然后进行整式的加减运算。
答案：解：
(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由拼接方式可知，图②中大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。
图③中阴影部分的周长为：
$2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$
图④中阴影部分的周长为：
$2(5y+4y-x)=18y-2x$
根据题意，两阴影部分周长差为$m$，可得：
$(20y-2x)-(18y-2x)=m$
化简得$2y=m$，即$y=\frac{m}{2}$。
故小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2) 大长方形的长为$5y$，宽为$4y$，因此大长方形的周长为：
$2(5y+4y)=18y$
将$y=\frac{m}{2}$代入，得$18y=18×\frac{m}{2}=9m$。
故大长方形的周长为$9m$。
(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由拼接方式可知，图②中大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。
图③中阴影部分的周长为：
$2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$
图④中阴影部分的周长为：
$2(5y+4y-x)=18y-2x$
根据题意，两阴影部分周长差为$m$，可得：
$(20y-2x)-(18y-2x)=m$
化简得$2y=m$，即$y=\frac{m}{2}$。
故小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2) 大长方形的长为$5y$，宽为$4y$，因此大长方形的周长为：
$2(5y+4y)=18y$
将$y=\frac{m}{2}$代入，得$18y=18×\frac{m}{2}=9m$。
故大长方形的周长为$9m$。
解析：
【分析】
解决本题的核心是将拼图中的周长关系转化为整式运算问题。首先设小长方形的长为$x$、宽为$y$，根据拼接特征先确定大长方形的长和宽分别为$5y$、$4y$；再分别表示出图③和图④中阴影部分的周长，根据二者的周长差为$m$列等式，化简等式时$x$会被消去，即可求出小长方形的宽$y$；第二问直接将求得的$y$代入大长方形的周长公式计算即可。
【解析】
(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由拼接方式可知，图②中大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。
图③中阴影部分的周长为：
$2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$
图④中阴影部分的周长为：
$2(5y+4y-x)=18y-2x$
根据题意，两阴影部分周长差为$m$，可得：
$(20y-2x)-(18y-2x)=m$
化简得$2y=m$，即$y=\frac{m}{2}$。
故小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2) 大长方形的长为$5y$，宽为$4y$，因此大长方形的周长为：
$2(5y+4y)=18y$
将$y=\frac{m}{2}$代入，得$18y=18×\frac{m}{2}=9m$。
故大长方形的周长为$9m$。
【答案】
(1) $\frac{m}{2}$；(2) $9m$
【知识点】
整式加减运算、周长计算、代数式应用
【点评】
本题结合拼图实践场景考察代数式的实际应用，需要学生准确梳理拼接图形中各边长的数量关系，熟练掌握周长计算规则和整式化简的方法，能够有效锻炼将实际问题转化为代数问题的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是将拼图中的周长关系转化为整式运算问题。首先设小长方形的长为$x$、宽为$y$，根据拼接特征先确定大长方形的长和宽分别为$5y$、$4y$；再分别表示出图③和图④中阴影部分的周长，根据二者的周长差为$m$列等式，化简等式时$x$会被消去，即可求出小长方形的宽$y$；第二问直接将求得的$y$代入大长方形的周长公式计算即可。
【解析】
(1) 设图①中小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由拼接方式可知，图②中大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。
图③中阴影部分的周长为：
$2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$
图④中阴影部分的周长为：
$2(5y+4y-x)=18y-2x$
根据题意，两阴影部分周长差为$m$，可得：
$(20y-2x)-(18y-2x)=m$
化简得$2y=m$，即$y=\frac{m}{2}$。
故小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2) 大长方形的长为$5y$，宽为$4y$，因此大长方形的周长为：
$2(5y+4y)=18y$
将$y=\frac{m}{2}$代入，得$18y=18×\frac{m}{2}=9m$。
故大长方形的周长为$9m$。
【答案】
(1) $\frac{m}{2}$；(2) $9m$
【知识点】
整式加减运算、周长计算、代数式应用
【点评】
本题结合拼图实践场景考察代数式的实际应用，需要学生准确梳理拼接图形中各边长的数量关系，熟练掌握周长计算规则和整式化简的方法，能够有效锻炼将实际问题转化为代数问题的能力。
【难度系数】
0.6