4. 如图,在长方形ABCD中,已知$AB=6,AD=4$,在长方形ABCD外画$△ ABE$,使得$AE=BE=5$,请建立适当的平面直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
答案：解：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ DC=AB=6，BC=AD=4，
可得：$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$。
∵ $AE=BE=5$，
∴ $△ ABE$是等腰三角形，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，由等腰三角形三线合一可知F为AB中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵ 点E在长方形ABCD外，位于AB上方，
∴ 点E的横坐标为3，纵坐标为$4+4=8$，即$E(3,8)$。
（注：坐标系建立方式不唯一，上述为符合要求的一种建法及对应坐标）
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ DC=AB=6，BC=AD=4，
可得：$D(0,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$。
∵ $AE=BE=5$，
∴ $△ ABE$是等腰三角形，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，由等腰三角形三线合一可知F为AB中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵ 点E在长方形ABCD外，位于AB上方，
∴ 点E的横坐标为3，纵坐标为$4+4=8$，即$E(3,8)$。
（注：坐标系建立方式不唯一，上述为符合要求的一种建法及对应坐标）
5. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,5),B(-5,2),C(-1,3).
(1) ① △A₀B₀C₀与△ABC关于y轴对称，在图①中画出△A₀B₀C₀，并写出△A₀B₀C₀三个顶点的坐标；
② 观察图中对应点坐标之间的关系，写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标：.
(2) ① 直线l₁经过点(1,0)，并且与y轴平行，△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l₁对称，在图②中画出△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标.
② 比较图②中△A₁B₁C₁与图①中△A₀B₀C₀的位置关系，你发现了什么？
③ 写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于直线l₁的对称点的坐标：.
(3) 如果要继续探究，你还能提出哪些问题？针对你提出的问题，请分别写出你的结论.
(1) ① △A₀B₀C₀与△ABC关于y轴对称，在图①中画出△A₀B₀C₀，并写出△A₀B₀C₀三个顶点的坐标；
② 观察图中对应点坐标之间的关系，写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标：.
(2) ① 直线l₁经过点(1,0)，并且与y轴平行，△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l₁对称，在图②中画出△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标.
② 比较图②中△A₁B₁C₁与图①中△A₀B₀C₀的位置关系，你发现了什么？
③ 写出平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于直线l₁的对称点的坐标：.
(3) 如果要继续探究，你还能提出哪些问题？针对你提出的问题，请分别写出你的结论.
答案：解：
(1) ① 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，依次连接得到△A₀B₀C₀。
△A₀B₀C₀三个顶点的坐标为：$A_0(4,5)$，$B_0(5,2)$，$C_0(1,3)$。
② $(-a,b)$
(2) ① 分别作出点A、B、C关于直线$l_1$（直线$x=1$）的对称点，依次连接得到△A₁B₁C₁。
△A₁B₁C₁三个顶点的坐标为：$A_1(6,5)$，$B_1(7,2)$，$C_1(3,3)$。
② 发现：$△ A_1B_1C_1$可由$△ A_0B_0C_0$沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到。
③ $(2-a,b)$
(3) 示例探究问题与结论：
问题1：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于x轴的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(a,-b)$。
问题2：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于平行于y轴的直线$x=m$的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(2m-a,b)$。
问题3：将△ABC先关于y轴对称，再向右平移2个单位得到的图形，与△ABC的对称轴是哪条直线？
结论：两个图形关于直线$x=1$对称。
(1) ① 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，依次连接得到△A₀B₀C₀。
△A₀B₀C₀三个顶点的坐标为：$A_0(4,5)$，$B_0(5,2)$，$C_0(1,3)$。
② $(-a,b)$
(2) ① 分别作出点A、B、C关于直线$l_1$（直线$x=1$）的对称点，依次连接得到△A₁B₁C₁。
△A₁B₁C₁三个顶点的坐标为：$A_1(6,5)$，$B_1(7,2)$，$C_1(3,3)$。
② 发现：$△ A_1B_1C_1$可由$△ A_0B_0C_0$沿x轴正方向向右平移2个单位长度得到。
③ $(2-a,b)$
(3) 示例探究问题与结论：
问题1：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于x轴的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(a,-b)$。
问题2：平面直角坐标系中任意一点$P(a,b)$关于平行于y轴的直线$x=m$的对称点的坐标是什么？
结论：对称点坐标为$(2m-a,b)$。
问题3：将△ABC先关于y轴对称，再向右平移2个单位得到的图形，与△ABC的对称轴是哪条直线？
结论：两个图形关于直线$x=1$对称。