【分析】
解题的核心是明确一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。按照这四个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，且二次项系数不能为0。
对各选项逐一分析：
A. 当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，故该方程不一定是一元二次方程，排除A；
B. $x^2 - 5 = 0$符合一元二次方程的所有判定条件，是一元二次方程；
C. 该方程分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不可能是一元二次方程，排除C；
D. 先化简方程右侧：$x(x-2)+1=x^2-2x+1$，移项整理得$2x-1=0$，是一元一次方程，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略一元二次方程需满足二次项系数不为0、是整式方程的要求，也容易未化简方程就直接判断最高次数，解题时要紧扣定义逐一验证。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，需按照配方法的标准步骤操作：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，最后化简右侧即可得到配方后的结果，按这个思路逐步推导就能选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$x^2+10x+9=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + 10x = -9$
一次项系数为10，它的一半是5，平方为$5^2=25$，给方程左右两边同时加25：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
根据完全平方公式，左侧可整理为$(x+5)^2$，右侧计算得16，因此配方后结果为：
$(x+5)^2 = 16$
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，配方法是后续学习二次函数相关知识的重要基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时不能直接给方程两边同时除以含未知数的整式$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确思路是先移项，将方程右边的$(x-2)$移到左边，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$\quad(x-2)^2 - (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$\quad(x-2)(x-2 - 1) = 0$
整理得：
$\quad(x-2)(x-3) = 0$
令每个因式等于0，得：
$\quad x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
因此方程的根为$x_1=2, x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题，易错点是直接在方程两边除以$(x-2)$导致漏根，求解一元二次方程时若两边有公共的含未知数的因式，优先选择移项提取公因式的方法求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路分两步：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，可得到关于a的方程，求出a的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对求出的a的取值进行筛选，排除不符合条件的值，最终得到正确的a值。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1=0$的根
∴将x=0代入方程得：
$a^2 -1=0$
解得：$a=1$或$a=-1$
又
∵原方程是一元二次方程
∴二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
综上，$a=-1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，误选C选项，解题时要先明确参数的隐含限制条件，再结合已知条件求解，避免多解漏验。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题需紧扣题目给出的两个核心条件：一是方程为一元二次方程，二是方程有两个实数根。第一步根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；第二步根据一元二次方程根的个数与判别式的关系，有两个实数根说明判别式Δ≥0，代入对应系数列出不等式求解；最后取两个条件的公共解集，即为k的取值范围，两个条件缺一不可。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$(k-2)x^2 + 2x + 3 = 0$有两个实数根
∴需同时满足以下两个条件：
1. 保证方程为一元二次方程，二次项系数不为0：
$k-2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
2. 保证方程有两个实数根，根的判别式非负：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × (k-2) × 3 ≥ 0$
化简得：$4 - 12(k-2) ≥ 0$
去括号得：$4 - 12k + 24 ≥ 0$
合并同类项得：$28 - 12k ≥ 0$
移项解得：$k ≤ \frac{7}{3}$
综上，两个条件同时成立，k的取值范围是$k ≤ \frac{7}{3}$且$k ≠ 2$。
【答案】
$k ≤ \frac{7}{3}$且$k ≠ 2$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式组求解
【点评】
本题属于一元二次方程的易错题，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提，漏写二次项系数不为0的限制条件，仅通过判别式求解范围，解题时要注意审题，紧扣定义和性质分步判断。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先要明确第三季度包含7、8、9三个月，已知7月销量和八、九月的月平均增长率x，可依据平均增长率的计算公式“增长后量=原有量×(1+增长率)”，依次表示出8月份、9月份的销量，再根据“三个月销量之和=第三季度总销量”的等量关系列出方程即可。
【解析】
七月份的销量为3万件，
八月份的销量在七月份基础上增长，为$3(1+x)$万件，
九月份的销量在八月份基础上增长，为$3(1+x)(1+x)=3(1+x)^2$万件，
第三季度总销量为七、八、九三个月的销量之和，已知总销量为9.93万件，因此可列方程：
$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 9.93$
【答案】
$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 9.93$
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，解题核心是正确用含x的代数式表示出每个月的销量，再结合总量的等量关系列方程，需注意不要遗漏任意一个月的销量。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题是结合几何动态变化的列方程应用题，解题核心是抓住梯子长度始终不变的关键特征，且墙面与地面垂直，梯子、墙面、地面始终构成直角三角形。解题时先计算滑动前梯子底端到墙根的水平距离，再分别表示出顶端下滑后的垂直高度、底端滑动后的水平距离，最后根据勾股定理建立等量关系即可列出方程。
【解析】
滑动前，梯子、墙面、地面构成直角三角形，梯子长为斜边长10m，顶端距地面垂直高度为8m，由勾股定理得梯子底端到墙根的水平距离为：$\sqrt{10^2 - 8^2}=6\ \mathrm{m}$。
顶端下滑1m后，梯子顶端距地面的垂直高度变为$8-1=7\ \mathrm{m}$；底端滑动$x\ \mathrm{m}$后，梯子底端到墙根的水平距离变为$(6+x)\ \mathrm{m}$。
梯子长度始终为10m，滑动后三者仍构成直角三角形，根据勾股定理可列方程：
$(x+6)^2 + 7^2 = 10^2$，也可整理为$(x+6)^2 + 49 = 100$。
【答案】
$(x+6)^2 + 7^2 = 10^2$（或$(x+6)^2 + 49 = 100$）
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础题型，重点考察学生对动态问题中不变量的提取能力，只要梳理清楚滑动前后直角三角形各边的长度，结合勾股定理就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.8