1. 下列 $ y $ 关于 $ x $ 的函数中，属于二次函数的是（）.
A.$ y=(x+1)^2 - x^2 $
B.$ y=ax^2 + bx + c $
C.$ y=x(2x - 3) $
D.$ y=2x + 5 $
A.$ y=(x+1)^2 - x^2 $
B.$ y=ax^2 + bx + c $
C.$ y=x(2x - 3) $
D.$ y=2x + 5 $
答案：C
解析：
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先将每个选项的函数式化简为最简形式，再对照上述标准逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：化简$y=(x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$，最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：$y=ax^2+bx+c$中未注明$a≠0$，若$a=0$，函数不是二次函数，不符合要求；
C选项：化简$y=x(2x-3)=2x^2 - 3x$，满足二次项系数$2≠0$，最高次数为2，且是整式函数，属于二次函数；
D选项：$y=2x+5$最高次数为1，属于一次函数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题时需注意两点：一是要先将函数式化简到最简形式再判断次数，二是要牢记二次函数的二次项系数不能为0，避免错选B选项。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先将每个选项的函数式化简为最简形式，再对照上述标准逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：化简$y=(x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$，最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：$y=ax^2+bx+c$中未注明$a≠0$，若$a=0$，函数不是二次函数，不符合要求；
C选项：化简$y=x(2x-3)=2x^2 - 3x$，满足二次项系数$2≠0$，最高次数为2，且是整式函数，属于二次函数；
D选项：$y=2x+5$最高次数为1，属于一次函数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题时需注意两点：一是要先将函数式化简到最简形式再判断次数，二是要牢记二次函数的二次项系数不能为0，避免错选B选项。
【难度系数】
0.8
2. 下列问题中，y与x满足的函数关系是二次函数关系的是（）。
①面积为10 cm²的矩形中，矩形的长y（单位：cm）与宽x（单位：cm）的关系；②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y（单位：cm²）与圆柱的高x（单位：cm）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100－2x）件，利润y（单位：元）与每件售价x（单位：元）的关系。
A.①
B.②
C.③
D.①③
①面积为10 cm²的矩形中，矩形的长y（单位：cm）与宽x（单位：cm）的关系；②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y（单位：cm²）与圆柱的高x（单位：cm）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100－2x）件，利润y（单位：元）与每件售价x（单位：元）的关系。
A.①
B.②
C.③
D.①③
答案：C
解析：
【分析】
解题前首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，核心特征是含自变量的代数式为整式，且自变量的最高次数为2。解题时先根据每个情景的数量关系列出$y$与$x$的函数解析式，再对照各类函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析三个情景的函数关系：
①矩形面积=长×宽，已知面积为$10\mathrm{cm}^2$，因此$xy=10$，整理得$y=\frac{10}{x}$，属于反比例函数，不是二次函数；
②圆柱侧面积=底面周长×高，底面半径为5cm，底面周长为$2π r=10π$，因此$y=10π x$，属于正比例函数（一次函数的特殊形式），不是二次函数；
③总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-80)$元，销售量为$(100-2x)$件，因此$y=(x-80)(100-2x)$，展开整理得$y=-2x^2+260x-8000$，符合二次函数的定义，是二次函数。
综上只有③是二次函数关系，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 实际问题列函数关系式
3. 函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对不同函数类型的区分能力，解题关键是正确根据实际情景的数量关系列出函数解析式，再结合各类函数的形式特征判断，熟练掌握各类函数的定义是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，核心特征是含自变量的代数式为整式，且自变量的最高次数为2。解题时先根据每个情景的数量关系列出$y$与$x$的函数解析式，再对照各类函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析三个情景的函数关系：
①矩形面积=长×宽，已知面积为$10\mathrm{cm}^2$，因此$xy=10$，整理得$y=\frac{10}{x}$，属于反比例函数，不是二次函数；
②圆柱侧面积=底面周长×高，底面半径为5cm，底面周长为$2π r=10π$，因此$y=10π x$，属于正比例函数（一次函数的特殊形式），不是二次函数；
③总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-80)$元，销售量为$(100-2x)$件，因此$y=(x-80)(100-2x)$，展开整理得$y=-2x^2+260x-8000$，符合二次函数的定义，是二次函数。
综上只有③是二次函数关系，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 实际问题列函数关系式
3. 函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对不同函数类型的区分能力，解题关键是正确根据实际情景的数量关系列出函数解析式，再结合各类函数的形式特征判断，熟练掌握各类函数的定义是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 函数$y=(m-n)x^2 + mx + n$是二次函数的条件是（）.
A.m，n为常数，且$m≠0$
B.m，n为常数，且$m≠n$
C.m，n为常数，且$n≠0$
D.m，n为任意常数
A.m，n为常数，且$m≠0$
B.m，n为常数，且$m≠n$
C.m，n为常数，且$n≠0$
D.m，n为任意常数
答案：B
解析：
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先回忆二次函数的核心定义：必须满足最高次项的次数为2，且二次项系数不为0。本题中先找到函数的二次项系数为$(m-n)$，因此只需保证二次项系数不为0，同时$m、n$为常数即可，再对照选项筛选答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
本题中函数$y=(m-n)x^2 + mx + n$的二次项系数为$m-n$，要使该函数为二次函数，需满足两个条件：
1. $m、n$为常数；
2. 二次项系数不为0，即$m-n≠0$，也就是$m≠ n$。
因此函数是二次函数的条件为m，n为常数，且$m≠n$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数的核心限制条件：二次项系数不能为0，避免混淆系数要求误选其他选项。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，首先回忆二次函数的核心定义：必须满足最高次项的次数为2，且二次项系数不为0。本题中先找到函数的二次项系数为$(m-n)$，因此只需保证二次项系数不为0，同时$m、n$为常数即可，再对照选项筛选答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
本题中函数$y=(m-n)x^2 + mx + n$的二次项系数为$m-n$，要使该函数为二次函数，需满足两个条件：
1. $m、n$为常数；
2. 二次项系数不为0，即$m-n≠0$，也就是$m≠ n$。
因此函数是二次函数的条件为m，n为常数，且$m≠n$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数的核心限制条件：二次项系数不能为0，避免混淆系数要求误选其他选项。
【难度系数】
0.9