11. 若方程$x^2 -6x +8=0$的两个根是等腰三角形的底边长和腰长，求这个等腰三角形的周长.
答案：解：
解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
分两种情况讨论：
1. 当底边长为2，腰长为4时，三边长为2，4，4。
由$2+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+4+4=10$。
2. 当底边长为4，腰长为2时，三边长为4，2，2。
由$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
答：这个等腰三角形的周长为10。
解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
分两种情况讨论：
1. 当底边长为2，腰长为4时，三边长为2，4，4。
由$2+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+4+4=10$。
2. 当底边长为4，腰长为2时，三边长为4，2，2。
由$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
答：这个等腰三角形的周长为10。
解析：
【分析】
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个根；由于题目未明确说明哪个根是等腰三角形的底边长、哪个是腰长，因此需要分两种情况分类讨论；每种情况得到三边长后，必须先验证是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
分两种情况讨论：
1. 当底边长为2，腰长为4时，三边长为2，4，4。
由$2+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+4+4=10$。
2. 当底边长为4，腰长为2时，三边长为4，2，2。
由$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何知识的综合应用题，解题时需注意分类讨论思想的应用，易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长导致错解，完成分类讨论后一定要验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个根；由于题目未明确说明哪个根是等腰三角形的底边长、哪个是腰长，因此需要分两种情况分类讨论；每种情况得到三边长后，必须先验证是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
分两种情况讨论：
1. 当底边长为2，腰长为4时，三边长为2，4，4。
由$2+4＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+4+4=10$。
2. 当底边长为4，腰长为2时，三边长为4，2，2。
由$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何知识的综合应用题，解题时需注意分类讨论思想的应用，易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长导致错解，完成分类讨论后一定要验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
12. 某超市今年年初以每件25元的价格购进一批商品. 当每件商品售价为40元时，一月份销售128件，二、三月份该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件.
（1）求二、三月份该商品销售量的月平均增长率；
（2）从四月份起，该超市决定降价促销，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，超市获利1250元？
（1）求二、三月份该商品销售量的月平均增长率；
（2）从四月份起，该超市决定降价促销，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，超市获利1250元？
答案：解：
（1）设二、三月份该商品销售量的月平均增长率为$x$，
根据题意列方程：
$128(1+x)^2 = 200$
解得：
$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
$1+x=\pm1.25$
$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率为负不符合实际，舍去）。
（2）设当商品降价$m$元时，超市获利1250元，
此时每件商品的利润为$(40-25-m)=(15-m)$元，销售量为$(200+5m)$件，
根据题意列方程：
$(15-m)(200+5m)=1250$
整理得：
$m^2 +25m - 350=0$
解得：
$m_1=10,\quad m_2=-35$
降价为负不符合实际，舍去$m_2=-35$。
答：二、三月份该商品销售量的月平均增长率为25%；当商品降价10元时，超市获利1250元。
（1）设二、三月份该商品销售量的月平均增长率为$x$，
根据题意列方程：
$128(1+x)^2 = 200$
解得：
$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
$1+x=\pm1.25$
$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率为负不符合实际，舍去）。
（2）设当商品降价$m$元时，超市获利1250元，
此时每件商品的利润为$(40-25-m)=(15-m)$元，销售量为$(200+5m)$件，
根据题意列方程：
$(15-m)(200+5m)=1250$
整理得：
$m^2 +25m - 350=0$
解得：
$m_1=10,\quad m_2=-35$
降价为负不符合实际，舍去$m_2=-35$。
答：二、三月份该商品销售量的月平均增长率为25%；当商品降价10元时，超市获利1250元。
解析：
【分析】
（1）第一问属于平均增长率类问题，解题思路为：明确初始销售量为一月份的128件，经过2次增长后三月份销售量为200件，设月平均增长率为x，依据“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量”（n为增长次数）的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
（2）第二问属于销售利润类问题，核心等量关系为“总利润=单件利润×销售量”。设商品降价m元，先表示出降价后的单件利润为原利润减去降价金额，再表示出降价后的销售量为三月基础销量加上降价带来的新增销量，结合总获利1250元列方程，舍去不符合实际的负根即可得解。
【解析】
（1）设二、三月份该商品销售量的月平均增长率为$x$，
根据题意列方程：
$128(1+x)^2 = 200$
解得：
$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
$1+x=\pm1.25$
$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率为负不符合实际，舍去）。
（2）设当商品降价$m$元时，超市获利1250元，
此时每件商品的利润为$(40-25-m)=(15-m)$元，销售量为$(200+5m)$件，
根据题意列方程：
$(15-m)(200+5m)=1250$
整理得：
$m^2 +25m - 350=0$
解得：
$m_1=10,\quad m_2=-35$
降价为负不符合实际，舍去$m_2=-35$。
【答案】
二、三月份该商品销售量的月平均增长率为25%；当商品降价10元时，超市获利1250元。
【知识点】
平均增长率问题，销售利润问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题关键是找准对应场景的等量关系列方程，同时要结合实际意义对求解出的根进行取舍，掌握基础应用模型即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于平均增长率类问题，解题思路为：明确初始销售量为一月份的128件，经过2次增长后三月份销售量为200件，设月平均增长率为x，依据“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量”（n为增长次数）的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
（2）第二问属于销售利润类问题，核心等量关系为“总利润=单件利润×销售量”。设商品降价m元，先表示出降价后的单件利润为原利润减去降价金额，再表示出降价后的销售量为三月基础销量加上降价带来的新增销量，结合总获利1250元列方程，舍去不符合实际的负根即可得解。
【解析】
（1）设二、三月份该商品销售量的月平均增长率为$x$，
根据题意列方程：
$128(1+x)^2 = 200$
解得：
$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
$1+x=\pm1.25$
$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率为负不符合实际，舍去）。
（2）设当商品降价$m$元时，超市获利1250元，
此时每件商品的利润为$(40-25-m)=(15-m)$元，销售量为$(200+5m)$件，
根据题意列方程：
$(15-m)(200+5m)=1250$
整理得：
$m^2 +25m - 350=0$
解得：
$m_1=10,\quad m_2=-35$
降价为负不符合实际，舍去$m_2=-35$。
【答案】
二、三月份该商品销售量的月平均增长率为25%；当商品降价10元时，超市获利1250元。
【知识点】
平均增长率问题，销售利润问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题关键是找准对应场景的等量关系列方程，同时要结合实际意义对求解出的根进行取舍，掌握基础应用模型即可顺利解答。
【难度系数】
0.7