【分析】
要解决本题，首先需将给定的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，便于后续平移操作；再依据二次函数图象“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的平移规则，对顶点式进行调整得到平移后的解析式；最后根据顶点式的结构特征，直接提取平移后抛物线的顶点坐标即可。
【解析】
先将原抛物线解析式化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+4x-1\\&=(x^2+4x+4)-4-1\\&=(x+2)^2-5\end{aligned}$
根据“左加右减”的平移规则，将抛物线向左平移2个单位长度，给自变量x加2，得：
$y=(x+2+2)^2 -5=(x+4)^2 -5$
再根据“上加下减”的平移规则，向上平移3个单位长度，给函数整体加3，得平移后的解析式：
$y=(x+4)^2 -5 +3=(x+4)^2 -2$
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此所得抛物线的顶点为$(-4,-2)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-4,-2)}$
【知识点】
1.配方法化二次函数顶点式
2.二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，重点考查配方法的运用和平移规则的掌握，解题时需注意“左加右减”仅针对自变量x进行变形，避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
要确定二次函数解析式，首先需先求出直线l与y轴的交点坐标：已知直线l过(4,0)，与两坐标轴围成的直角三角形面积为8，可利用三角形面积公式求出y轴交点纵坐标，注意纵坐标有正负两种情况需分类讨论。接下来二次函数过直线l与两坐标轴的交点，且对称轴为x=3，可先设二次函数一般式，结合对称轴公式得到二次项系数a与一次项系数b的关系，再将两个交点坐标代入解析式求解系数，最后根据“开口向下”的条件舍去不符合题意的解。求最大值时，利用开口向下的二次函数顶点处取得最大值的性质，将对称轴x=3代入解析式计算即可。
【解析】
设直线$l$与$y$轴的交点坐标为$(0, b)$，
已知直线$l$与$x$轴交点为$(4, 0)$，围成的直角三角形面积为8，
则 $\frac{1}{2} × 4 × |b| = 8$，
解得 $|b|=4$，即 $b=4$ 或 $b=-4$，
因此直线$l$与$y$轴的交点为$(0,4)$或$(0,-4)$。
设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），
由二次函数对称轴为$x=3$，根据对称轴公式得 $-\frac{b}{2a}=3$，即 $b=-6a$。
① 若二次函数经过点$(4,0)$和$(0,4)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} c=4 \\ 16a +4b +c=0 \end{cases}$
将$b=-6a$、$c=4$代入$16a +4b +c=0$，得：
$16a -24a +4=0$，解得 $a=\frac{1}{2}$，
此时$a＞0$，抛物线开口向上，不符合题意，舍去。
② 若二次函数经过点$(4,0)$和$(0,-4)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} c=-4 \\ 16a +4b +c=0 \end{cases}$
将$b=-6a$、$c=-4$代入$16a +4b +c=0$，得：
$16a -24a -4=0$，解得 $a=-\frac{1}{2}$，
则 $b=-6a=3$，
因此二次函数的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2 +3x -4$。
因为抛物线开口向下，对称轴为$x=3$，函数在顶点处取得最大值，
将$x=3$代入解析式，得 $y=-\frac{1}{2}× 3^2 +3×3 -4 = \frac{1}{2}$。
【答案】
二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+3x-4}$，最大值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的性质、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题综合考察一次函数与二次函数的基础性质，解题时需注意对y轴交点的两种情况分类讨论，同时要结合开口方向的限制条件舍去不合理解，能有效锻炼学生的分类讨论思维和基础公式运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断抛物线与x轴的公共点个数，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与x轴的公共点横坐标，对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此公共点个数可通过一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。解题时只需分别计算四个选项中二次函数的判别式，选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，其符号与x轴公共点个数的对应关系为：$\Delta＞0\iff$2个公共点，$\Delta=0\iff$1个公共点，$\Delta＜0\iff$无公共点。
逐个计算选项的判别式：
A选项：$a=3$，$b=-9$，$c=3$，$\Delta=(-9)^2 - 4×3×3 = 81 - 36 = 45 ＞ 0$，与x轴有2个公共点；
B选项：$a=2$，$b=-4$，$c=12$，$\Delta=(-4)^2 - 4×2×12 = 16 - 96 = -80 ＜ 0$，与x轴无公共点；
C选项：$a=1$，$b=-6$，$c=9$，$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9 = 36 - 36 = 0$，与x轴只有1个公共点；
D选项：$a=5$，$b=-3$，$c=9$，$\Delta=(-3)^2 - 4×5×9 = 9 - 180 = -171 ＜ 0$，与x轴无公共点。
综上符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练掌握判别式的计算方法和对应规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先我们需要明确一元二次方程和对应二次函数的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。从题图中我们可以直接得到其中一个交点的横坐标为-3，也就是方程的一个根；接下来二次函数的图像是轴对称图形，两个x轴交点关于对称轴对称，我们只需要求出二次函数的对称轴，就可以利用对称性算出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
1. 根据二次函数与一元二次方程的对应关系，方程$x^2+2x+m=0$的根就是二次函数$y=x^2+2x+m$图象与x轴交点的横坐标，由题图可知一个交点横坐标为-3，因此$x_1=-3$是方程的一个根。
2. 计算二次函数的对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=2$，可得对称轴$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
3. 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个根为$x_2$，则两个根的平均值等于对称轴横坐标，即$\frac{-3+x_2}{2}=-1$，解得$x_2=1$。
因此方程的根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数章节的基础常考题，核心是理解二次函数图像与对应一元二次方程根的关联，结合二次函数的对称性即可快速解题，掌握这类题型能帮助我们更直观地理解方程根的几何意义。
【难度系数】
0.8