3. 已知函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象如图所示，
则关于 $ x $ 的方程 $ ax^2+bx+c+2=0 $ 的根的情况是（）.
A.有两个同号不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
则关于 $ x $ 的方程 $ ax^2+bx+c+2=0 $ 的根的情况是（）.
A.有两个同号不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
答案：B
解析：
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，首先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，可知其根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-2$时对应的$x$的值，也就是抛物线与直线$y=-2$交点的横坐标。先观察抛物线特征：开口向下，与x轴有两个异号交点，函数最大值为正，且x绝对值足够大时函数值趋向负无穷，因此直线$y=-2$必然与抛物线有两个交点，再判断两个交点横坐标的符号即可得到结论。
【解析】
解：将方程$ax^2+bx+c+2=0$变形为$ax^2+bx+c=-2$，即求二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=-2$时的$x$取值。
由图象可得：
1. 抛物线开口向下，与x轴交于两点，分别在x轴负半轴和正半轴，即$y=0$时方程有一个正根、一个负根；
2. 抛物线顶点纵坐标为正（函数最大值为正），当x的绝对值足够大时，函数值小于0，且可取得任意小于0的值，因此$y=-2$时对应两个$x$值：
一个$x$小于抛物线与x轴的负交点横坐标，为负数；另一个$x$大于抛物线与x轴的正交点横坐标，为正数。
因此方程$ax^2+bx+c+2=0$有两个异号不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是将方程根的问题转化为二次函数与水平直线的交点问题，结合图象特征即可快速判断根的个数和符号，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，首先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，可知其根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-2$时对应的$x$的值，也就是抛物线与直线$y=-2$交点的横坐标。先观察抛物线特征：开口向下，与x轴有两个异号交点，函数最大值为正，且x绝对值足够大时函数值趋向负无穷，因此直线$y=-2$必然与抛物线有两个交点，再判断两个交点横坐标的符号即可得到结论。
【解析】
解：将方程$ax^2+bx+c+2=0$变形为$ax^2+bx+c=-2$，即求二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=-2$时的$x$取值。
由图象可得：
1. 抛物线开口向下，与x轴交于两点，分别在x轴负半轴和正半轴，即$y=0$时方程有一个正根、一个负根；
2. 抛物线顶点纵坐标为正（函数最大值为正），当x的绝对值足够大时，函数值小于0，且可取得任意小于0的值，因此$y=-2$时对应两个$x$值：
一个$x$小于抛物线与x轴的负交点横坐标，为负数；另一个$x$大于抛物线与x轴的正交点横坐标，为正数。
因此方程$ax^2+bx+c+2=0$有两个异号不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是将方程根的问题转化为二次函数与水平直线的交点问题，结合图象特征即可快速判断根的个数和符号，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2 -2ax +a -3(a≠0)$的图象与$x$轴有两个公共点，且这两个公共点分别位于$y$轴两侧. 下列关于该函数的结论正确的是（）.
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$
答案：D
解析：
【分析】
解题思路如下：首先将二次函数解析式配方得到顶点式，确定其对称轴与顶点坐标；再结合“图象与x轴有两个公共点且分别位于y轴两侧”的条件，推导得出参数a的取值范围；最后结合二次函数的图象性质，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=ax^2-2ax+a-3=a(x^2-2x+1)-3=a(x-1)^2-3$，
可得函数对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
再求参数$a$的取值范围：
二次函数与$x$轴的两个交点是对应一元二次方程$ax^2-2ax+a-3=0$的两个根，设两根为$x_1,x_2$，由两根位于$y$轴两侧可知两根异号，即$x_1x_2＜0$。
根据韦达定理，$x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$；
此时判别式$\Delta=(-2a)^2-4a(a-3)=12a＞0$，满足与$x$轴有两个公共点的条件。
逐一判断选项：
A. 由$0＜a＜3$可知$a＞0$，二次函数图象开口向上，A错误；
B. 函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此仅当$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，$0＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，B错误；
C. 函数开口向上，顶点为图象最低点，函数最小值为顶点纵坐标$-3$，并非小于$-3$，C错误；
D. 当$x=2$时，代入解析式得$y=a×2^2-2a×2+a-3=a-3$，由$a＜3$可知$a-3＜0$，即$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数的综合基础题，需要结合函数图象性质、方程与函数的关联推导参数范围，再验证选项，解题的核心是先确定参数$a$的取值范围，再结合二次函数的性质逐一分析。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：首先将二次函数解析式配方得到顶点式，确定其对称轴与顶点坐标；再结合“图象与x轴有两个公共点且分别位于y轴两侧”的条件，推导得出参数a的取值范围；最后结合二次函数的图象性质，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=ax^2-2ax+a-3=a(x^2-2x+1)-3=a(x-1)^2-3$，
可得函数对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
再求参数$a$的取值范围：
二次函数与$x$轴的两个交点是对应一元二次方程$ax^2-2ax+a-3=0$的两个根，设两根为$x_1,x_2$，由两根位于$y$轴两侧可知两根异号，即$x_1x_2＜0$。
根据韦达定理，$x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$；
此时判别式$\Delta=(-2a)^2-4a(a-3)=12a＞0$，满足与$x$轴有两个公共点的条件。
逐一判断选项：
A. 由$0＜a＜3$可知$a＞0$，二次函数图象开口向上，A错误；
B. 函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此仅当$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，$0＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，B错误；
C. 函数开口向上，顶点为图象最低点，函数最小值为顶点纵坐标$-3$，并非小于$-3$，C错误；
D. 当$x=2$时，代入解析式得$y=a×2^2-2a×2+a-3=a-3$，由$a＜3$可知$a-3＜0$，即$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数的综合基础题，需要结合函数图象性质、方程与函数的关联推导参数范围，再验证选项，解题的核心是先确定参数$a$的取值范围，再结合二次函数的性质逐一分析。
【难度系数】
0.65
5. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与$x$轴交于$A$，$B$两点，若点$A$的坐标为（$-2$，$0$），线段$AB$的长为$8$，则抛物线的对称轴为。
答案：解：
∵ 点A的坐标为$(-2, 0)$，线段AB的长为8，
∴ 点B的坐标分两种情况：
① 当点B在点A右侧时，点B的横坐标为$-2+8=6$，即$B(6, 0)$，
此时抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+6}{2}=2$；
② 当点B在点A左侧时，点B的横坐标为$-2-8=-10$，即$B(-10, 0)$，
此时抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+(-10)}{2}=-6$。
综上，抛物线的对称轴为直线$x=2$或直线$x=-6$。
∵ 点A的坐标为$(-2, 0)$，线段AB的长为8，
∴ 点B的坐标分两种情况：
① 当点B在点A右侧时，点B的横坐标为$-2+8=6$，即$B(6, 0)$，
此时抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+6}{2}=2$；
② 当点B在点A左侧时，点B的横坐标为$-2-8=-10$，即$B(-10, 0)$，
此时抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+(-10)}{2}=-6$。
综上，抛物线的对称轴为直线$x=2$或直线$x=-6$。
解析：
【分析】
抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴的横坐标为两个交点横坐标之和的一半。本题已知点A的坐标和AB的长度，但未明确点B相对点A的位置，所以需要分两种情况讨论：先求出对应情况下点B的坐标，再利用对称性质计算对称轴即可。
【解析】
∵ 点A的坐标为$(-2, 0)$，线段AB的长为8，
∴ 分两种情况讨论点B的位置：
① 当点B在点A右侧时，点B的横坐标为$-2+8=6$，即$B(6, 0)$，
根据抛物线的轴对称性，此时对称轴为直线$x=\frac{-2+6}{2}=2$；
② 当点B在点A左侧时，点B的横坐标为$-2-8=-10$，即$B(-10, 0)$，
此时对称轴为直线$x=\frac{-2+(-10)}{2}=-6$。
【答案】
直线$x=2$或直线$x=-6$
【知识点】
抛物线的对称性；数轴上两点距离计算
【点评】
本题考查二次函数图像的轴对称性质，解题的关键是注意分类讨论点B的位置，避免因漏考虑点B在点A左侧的情况导致丢解。
【难度系数】
0.65
抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴的横坐标为两个交点横坐标之和的一半。本题已知点A的坐标和AB的长度，但未明确点B相对点A的位置，所以需要分两种情况讨论：先求出对应情况下点B的坐标，再利用对称性质计算对称轴即可。
【解析】
∵ 点A的坐标为$(-2, 0)$，线段AB的长为8，
∴ 分两种情况讨论点B的位置：
① 当点B在点A右侧时，点B的横坐标为$-2+8=6$，即$B(6, 0)$，
根据抛物线的轴对称性，此时对称轴为直线$x=\frac{-2+6}{2}=2$；
② 当点B在点A左侧时，点B的横坐标为$-2-8=-10$，即$B(-10, 0)$，
此时对称轴为直线$x=\frac{-2+(-10)}{2}=-6$。
【答案】
直线$x=2$或直线$x=-6$
【知识点】
抛物线的对称性；数轴上两点距离计算
【点评】
本题考查二次函数图像的轴对称性质，解题的关键是注意分类讨论点B的位置，避免因漏考虑点B在点A左侧的情况导致丢解。
【难度系数】
0.65
6. 直线$ l $与一条抛物线交于$ A(-1, 0) $，$ B(4, 5) $两点，抛物线与$ x $轴的另一个公共点为$ (3, 0) $，顶点为$ D $。
（1）求直线和抛物线对应的函数解析式；
（2）求$△ ABD$的面积。
（1）求直线和抛物线对应的函数解析式；
（2）求$△ ABD$的面积。
答案：解：
(1) 设直线$l$对应的函数解析式为$y=kx+b$，
将$A(-1,0)$，$B(4,5)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = 0 \\ 4k + b = 5 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
因此直线$l$对应的函数解析式为$y=x+1$。
由题意，抛物线与$x$轴交于点$A(-1,0)$和$(3,0)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，
将$B(4,5)$代入解析式得：
$5=a·(4+1)·(4-3)$
解得$a=1$，
展开得$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
因此顶点$D$的坐标为$(1,-4)$。
设直线$x=1$与直线$l:y=x+1$交于点$E$，
将$x=1$代入$y=x+1$，得$y=2$，即$E(1,2)$，
则$DE=2 - (-4)=6$。
$S_{△ ABD}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}$
$=\frac{1}{2}· DE· |1 - (-1)| + \frac{1}{2}· DE· |4 - 1|$
$=\frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×3$
$=15$
综上，直线对应的函数解析式为$y=x+1$，抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$，$△ ABD$的面积为$15$。
(1) 设直线$l$对应的函数解析式为$y=kx+b$，
将$A(-1,0)$，$B(4,5)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = 0 \\ 4k + b = 5 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
因此直线$l$对应的函数解析式为$y=x+1$。
由题意，抛物线与$x$轴交于点$A(-1,0)$和$(3,0)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，
将$B(4,5)$代入解析式得：
$5=a·(4+1)·(4-3)$
解得$a=1$，
展开得$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
因此顶点$D$的坐标为$(1,-4)$。
设直线$x=1$与直线$l:y=x+1$交于点$E$，
将$x=1$代入$y=x+1$，得$y=2$，即$E(1,2)$，
则$DE=2 - (-4)=6$。
$S_{△ ABD}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}$
$=\frac{1}{2}· DE· |1 - (-1)| + \frac{1}{2}· DE· |4 - 1|$
$=\frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×3$
$=15$
综上，直线对应的函数解析式为$y=x+1$，抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$，$△ ABD$的面积为$15$。
解析：
【分析】
（1）求解直线解析式：已知直线经过A、B两个定点，选用待定系数法，设直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入构造二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定直线解析式。求解抛物线解析式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，选用交点式设解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，代入点B的坐标求出a的值，整理即可得到抛物线的解析式。
（2）先将抛物线配方得到顶点D的坐标，再采用割补法计算$△ ABD$的面积：过D作x轴的垂线交直线AB于点E，将$△ ABD$拆分为$△ ADE$和$△ BDE$两个共底的三角形，先求出DE的长度，再分别计算两个小三角形的面积，求和即为$△ ABD$的面积。
【解析】
(1) 设直线$l$对应的函数解析式为$y=kx+b$，
将$A(-1,0)$，$B(4,5)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = 0 \\ 4k + b = 5 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
因此直线$l$对应的函数解析式为$y=x+1$。
由题意，抛物线与$x$轴交于点$A(-1,0)$和$(3,0)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，
将$B(4,5)$代入解析式得：
$5=a·(4+1)·(4-3)$
解得$a=1$，
展开得$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
因此顶点$D$的坐标为$(1,-4)$。
设直线$x=1$与直线$l:y=x+1$交于点$E$，
将$x=1$代入$y=x+1$，得$y=2$，即$E(1,2)$，
则$DE=2 - (-4)=6$。
$S_{△ ABD}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}$
$=\frac{1}{2}· DE· |1 - (-1)| + \frac{1}{2}· DE· |4 - 1|$
$=\frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×3$
$=15$
【答案】
直线对应的函数解析式为$y=x+1$，抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$，$△ ABD$的面积为$15$。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的性质、割补法求面积
【点评】
本题为一次函数与二次函数结合的基础综合题，考查了函数解析式的求解方法以及坐标系中三角形面积的计算技巧，选择合适的解析式形式、灵活运用割补法可简化运算，是二次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解直线解析式：已知直线经过A、B两个定点，选用待定系数法，设直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入构造二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定直线解析式。求解抛物线解析式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，选用交点式设解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，代入点B的坐标求出a的值，整理即可得到抛物线的解析式。
（2）先将抛物线配方得到顶点D的坐标，再采用割补法计算$△ ABD$的面积：过D作x轴的垂线交直线AB于点E，将$△ ABD$拆分为$△ ADE$和$△ BDE$两个共底的三角形，先求出DE的长度，再分别计算两个小三角形的面积，求和即为$△ ABD$的面积。
【解析】
(1) 设直线$l$对应的函数解析式为$y=kx+b$，
将$A(-1,0)$，$B(4,5)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = 0 \\ 4k + b = 5 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
因此直线$l$对应的函数解析式为$y=x+1$。
由题意，抛物线与$x$轴交于点$A(-1,0)$和$(3,0)$，设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，
将$B(4,5)$代入解析式得：
$5=a·(4+1)·(4-3)$
解得$a=1$，
展开得$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
因此顶点$D$的坐标为$(1,-4)$。
设直线$x=1$与直线$l:y=x+1$交于点$E$，
将$x=1$代入$y=x+1$，得$y=2$，即$E(1,2)$，
则$DE=2 - (-4)=6$。
$S_{△ ABD}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}$
$=\frac{1}{2}· DE· |1 - (-1)| + \frac{1}{2}· DE· |4 - 1|$
$=\frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×6×3$
$=15$
【答案】
直线对应的函数解析式为$y=x+1$，抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$，$△ ABD$的面积为$15$。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的性质、割补法求面积
【点评】
本题为一次函数与二次函数结合的基础综合题，考查了函数解析式的求解方法以及坐标系中三角形面积的计算技巧，选择合适的解析式形式、灵活运用割补法可简化运算，是二次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7