3. 某商店经营一种小商品，已知购进时的单价是20元. 调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件. 每件商品的售价不高于40元. 当月销售利润最大时，销售单价为（）.
A.35元
B.36元
C.37元
D.36元或37元
A.35元
B.36元
C.37元
D.36元或37元
答案：C
解析：
【分析】
解决这类利润最值问题，首先要明确核心等量关系：月销售总利润=单件商品的利润×月销售量。我们可以先设销售单价为未知数，结合题中给出的进价、售价对应的销量变化规律以及售价上限要求，分别用含未知数的式子表示出单件利润和月销售量，进而列出利润关于销售单价的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和自变量的取值范围，找到利润最大时对应的销售单价即可。
【解析】
设销售单价为$x$元，月销售利润为$y$元，由题意可知售价的取值范围为$30≤ x≤40$。
1. 单件利润：每件商品的利润为$(x-20)$元。
2. 月销售量：销售单价较30元上涨了$(x-30)$元，月销量对应减少$10(x-30)$件，因此月销售量为$240-10(x-30)=540-10x$件。
3. 列利润函数：
$\begin{aligned}y&=(x-20)(540-10x)\\&=-10x^2+740x-10800\end{aligned}$
4. 求最值：
该二次函数中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{740}{2×(-10)}=37$，且$37$在$30≤ x≤40$的取值范围内，因此当$x=37$时，月销售利润最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质；利润问题计算
【点评】
本题是销售利润类的典型二次函数应用题，解题关键是找准数量关系列出正确的函数解析式，同时要注意题目给出的自变量取值限制，避免脱离实际取值导致错误。
【难度系数】
0.7
解决这类利润最值问题，首先要明确核心等量关系：月销售总利润=单件商品的利润×月销售量。我们可以先设销售单价为未知数，结合题中给出的进价、售价对应的销量变化规律以及售价上限要求，分别用含未知数的式子表示出单件利润和月销售量，进而列出利润关于销售单价的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和自变量的取值范围，找到利润最大时对应的销售单价即可。
【解析】
设销售单价为$x$元，月销售利润为$y$元，由题意可知售价的取值范围为$30≤ x≤40$。
1. 单件利润：每件商品的利润为$(x-20)$元。
2. 月销售量：销售单价较30元上涨了$(x-30)$元，月销量对应减少$10(x-30)$件，因此月销售量为$240-10(x-30)=540-10x$件。
3. 列利润函数：
$\begin{aligned}y&=(x-20)(540-10x)\\&=-10x^2+740x-10800\end{aligned}$
4. 求最值：
该二次函数中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{740}{2×(-10)}=37$，且$37$在$30≤ x≤40$的取值范围内，因此当$x=37$时，月销售利润最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质；利润问题计算
【点评】
本题是销售利润类的典型二次函数应用题，解题关键是找准数量关系列出正确的函数解析式，同时要注意题目给出的自变量取值限制，避免脱离实际取值导致错误。
【难度系数】
0.7
4. 童装专卖店销售一款童装，已知该款童装每天所获得的利润y（单位：元）与童装的销售单价x（单位：元）之间满足关系式$y=-x^2+50x+500$，则要想每天获得最大利润，单价应定为元。
答案：解：
在二次函数$y=-x^2+50x+500$中，$a=-1$，$b=50$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，对应最大利润的销售单价为顶点的横坐标。
代入顶点横坐标公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
答：要想每天获得最大利润，单价应定为25元。
在二次函数$y=-x^2+50x+500$中，$a=-1$，$b=50$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，对应最大利润的销售单价为顶点的横坐标。
代入顶点横坐标公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
答：要想每天获得最大利润，单价应定为25元。
解析：
【分析】
题目给出了每天利润y与销售单价x的二次函数关系式，要求获得最大利润时的单价，本质是求二次函数取得最大值时对应的自变量x的值。首先回忆二次函数的性质：当二次项系数a＜0时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点的横坐标就是所求的单价，代入顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
在二次函数$y=-x^2+50x+500$中，$a=-1$，$b=50$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，对应最大利润的销售单价为顶点的横坐标。
代入顶点横坐标公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
【答案】
25
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的基础应用，核心考查二次函数的最值性质，只要熟练掌握二次函数开口方向与最值的关系，以及顶点横坐标的计算公式，即可快速求解。
【难度系数】
0.85
题目给出了每天利润y与销售单价x的二次函数关系式，要求获得最大利润时的单价，本质是求二次函数取得最大值时对应的自变量x的值。首先回忆二次函数的性质：当二次项系数a＜0时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点的横坐标就是所求的单价，代入顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
在二次函数$y=-x^2+50x+500$中，$a=-1$，$b=50$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，对应最大利润的销售单价为顶点的横坐标。
代入顶点横坐标公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
【答案】
25
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的基础应用，核心考查二次函数的最值性质，只要熟练掌握二次函数开口方向与最值的关系，以及顶点横坐标的计算公式，即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更大利润，商店决定提高销售价格，经试验发现：若按每件20元的价格销售，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售，每月能卖210件. 假定每月销售量y（单位：件）是单价x（单位：元）的一次函数.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，当销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润为多少？（总利润=总收入－总成本.）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，当销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润为多少？（总利润=总收入－总成本.）
答案：解：
（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将x=20,y=360和x=25,y=210代入解析式得：
$\begin{cases}20k + b = 360 \\25k + b = 210 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-30 \\b=960 \end{cases}$由题意得销售单价x≥16，且销售量y≥0，即-30x+960≥0，解得x≤32，因此y关于x的函数解析式为$\boldsymbol{y=-30x+960\quad(16≤ x≤32)}$。（2）设每月获得的总利润为W元，根据总利润公式：W=(x-16)· y将y=-30x+960代入得：$\begin{aligned}$
W&=(x-16)(-30x+960)\\
$&=-30x^2 + 1440x - 15360\$
$&=-30(x-24)^2 + 1920$
$\end{aligned}\because a=-30$＜0，且16≤24≤32，\therefore 当x=24时，W取得最大值，最大值为1920。
答：当销售价格为24元时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润为1920元。
（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将x=20,y=360和x=25,y=210代入解析式得：
$\begin{cases}20k + b = 360 \\25k + b = 210 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-30 \\b=960 \end{cases}$由题意得销售单价x≥16，且销售量y≥0，即-30x+960≥0，解得x≤32，因此y关于x的函数解析式为$\boldsymbol{y=-30x+960\quad(16≤ x≤32)}$。（2）设每月获得的总利润为W元，根据总利润公式：W=(x-16)· y将y=-30x+960代入得：$\begin{aligned}$
W&=(x-16)(-30x+960)\\
$&=-30x^2 + 1440x - 15360\$
$&=-30(x-24)^2 + 1920$
$\end{aligned}\because a=-30$＜0，且16≤24≤32，\therefore 当x=24时，W取得最大值，最大值为1920。
答：当销售价格为24元时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润为1920元。
解析：
【分析】
（1）题目明确说明每月销售量y是单价x的一次函数，因此使用待定系数法求解：先设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），将题中给出的两组x、y对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的数值后，结合销售单价不低于成本、销售量不能为负数的实际要求，确定自变量x的取值范围，即可得到完整的函数解析式。
（2）根据总利润的计算公式“总利润=每件商品的利润×销售量”，其中每件利润为（x-16）元，销售量为第一问求出的y，代入后可得到总利润W关于x的二次函数解析式；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，验证顶点横坐标在x的取值范围内后，即可求出最大利润及对应的销售价格。
【解析】
（1）设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$x=20,y=360$和$x=25,y=210$代入解析式得：
$\begin{cases}20k + b = 360 \\25k + b = 210 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-30 \\b=960 \end{cases}$
由题意得销售单价$x≥16$，且销售量$y≥0$，即$-30x+960≥0$，解得$x≤32$，因此y关于x的函数解析式为$y=-30x+960\quad(16≤ x≤32)$。
（2）设每月获得的总利润为W元，根据总利润公式：$W=(x-16)· y$
将$y=-30x+960$代入得：
$\begin{aligned}W&=(x-16)(-30x+960)\\&=-30x^2 + 1440x - 15360\\&=-30(x-24)^2 + 1920\end{aligned}$
$\because a=-30＜0$，且$16≤24≤32$，
$\therefore$当$x=24$时，W取得最大值，最大值为1920。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-30x+960\quad(16≤ x≤32)}$
（2）当销售价格为24元时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润为1920元。
【知识点】
1.待定系数法求一次函数解析式
2.二次函数的实际应用
3.二次函数的最值
【点评】
本题是函数结合销售利润的典型应用题，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了二次函数最值的计算，解题时需要特别注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确说明每月销售量y是单价x的一次函数，因此使用待定系数法求解：先设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），将题中给出的两组x、y对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的数值后，结合销售单价不低于成本、销售量不能为负数的实际要求，确定自变量x的取值范围，即可得到完整的函数解析式。
（2）根据总利润的计算公式“总利润=每件商品的利润×销售量”，其中每件利润为（x-16）元，销售量为第一问求出的y，代入后可得到总利润W关于x的二次函数解析式；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，验证顶点横坐标在x的取值范围内后，即可求出最大利润及对应的销售价格。
【解析】
（1）设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$x=20,y=360$和$x=25,y=210$代入解析式得：
$\begin{cases}20k + b = 360 \\25k + b = 210 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-30 \\b=960 \end{cases}$
由题意得销售单价$x≥16$，且销售量$y≥0$，即$-30x+960≥0$，解得$x≤32$，因此y关于x的函数解析式为$y=-30x+960\quad(16≤ x≤32)$。
（2）设每月获得的总利润为W元，根据总利润公式：$W=(x-16)· y$
将$y=-30x+960$代入得：
$\begin{aligned}W&=(x-16)(-30x+960)\\&=-30x^2 + 1440x - 15360\\&=-30(x-24)^2 + 1920\end{aligned}$
$\because a=-30＜0$，且$16≤24≤32$，
$\therefore$当$x=24$时，W取得最大值，最大值为1920。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-30x+960\quad(16≤ x≤32)}$
（2）当销售价格为24元时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润为1920元。
【知识点】
1.待定系数法求一次函数解析式
2.二次函数的实际应用
3.二次函数的最值
【点评】
本题是函数结合销售利润的典型应用题，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了二次函数最值的计算，解题时需要特别注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.7