1. 某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流成抛物线形，一条水流的高度$h$（单位：m）与水流运动时间$t$（单位：s）之间的函数解析式为$h=30t-5t^2$，该水流从喷出至回落到地面所需要的时间为（）。
A.6 s
B.4 s
C.3 s
D.2 s
A.6 s
B.4 s
C.3 s
D.2 s
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先要明确实际场景的数学含义：水流喷出的初始时刻和回落到地面的时刻，水流高度都为0。因此我们可以令函数解析式中的高度h=0，求解对应的时间t，舍去代表初始时刻的t=0，剩下的解就是水流从喷出到回落地面需要的总时间。
【解析】
当水流回落到地面时，水流高度h=0，将h=0代入函数解析式$h=30t-5t^2$，可得：
$0=30t-5t^2$
整理方程得：$5t^2-30t=0$
因式分解得：$5t(t-6)=0$
解得$t_1=0$，$t_2=6$
其中$t=0$是水流喷出的初始时刻，不符合题意，舍去，因此水流从喷出至回落到地面所需时间为6s。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用、解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础题，解题核心是将实际场景的特征转化为数学条件，把问题转化为一元二次方程求解，同时要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确实际场景的数学含义：水流喷出的初始时刻和回落到地面的时刻，水流高度都为0。因此我们可以令函数解析式中的高度h=0，求解对应的时间t，舍去代表初始时刻的t=0，剩下的解就是水流从喷出到回落地面需要的总时间。
【解析】
当水流回落到地面时，水流高度h=0，将h=0代入函数解析式$h=30t-5t^2$，可得：
$0=30t-5t^2$
整理方程得：$5t^2-30t=0$
因式分解得：$5t(t-6)=0$
解得$t_1=0$，$t_2=6$
其中$t=0$是水流喷出的初始时刻，不符合题意，舍去，因此水流从喷出至回落到地面所需时间为6s。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用、解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础题，解题核心是将实际场景的特征转化为数学条件，把问题转化为一元二次方程求解，同时要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，假设水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度$y$（单位：m）关于水流到原点的水平距离$x$（单位：m）的函数解析式为$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$（$x＞0$），则水流喷出的最大高度为（）.
A.1.75 m
B.2 m
C.2.75 m
D.3 m
A.1.75 m
B.2 m
C.2.75 m
D.3 m
答案：C
解析：
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察函数解析式$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$，二次项系数为-1＜0，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们只需要求出顶点的纵坐标即可得到最大高度，可通过配方法或者顶点纵坐标公式求解。
【解析】
解法1：配方法
对函数解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 - 2x) + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 -2x +1 -1) + \frac{7}{4}\\&=-[(x-1)^2 -1] + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + 1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + \frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$(x-1)^2≥0$，所以$-(x-1)^2≤0$，当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{11}{4}=2.75$，即水流喷出的最大高度为2.75m。
解法2：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{max}&=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-7 -4}{-4}\\&=\frac{11}{4}=2.75\end{aligned}$
即水流喷出的最大高度为2.75m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是将求最大高度的实际问题转化为求二次函数最大值的数学问题，熟练掌握二次函数的性质和顶点求解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察函数解析式$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$，二次项系数为-1＜0，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们只需要求出顶点的纵坐标即可得到最大高度，可通过配方法或者顶点纵坐标公式求解。
【解析】
解法1：配方法
对函数解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 - 2x) + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 -2x +1 -1) + \frac{7}{4}\\&=-[(x-1)^2 -1] + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + 1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + \frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$(x-1)^2≥0$，所以$-(x-1)^2≤0$，当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{11}{4}=2.75$，即水流喷出的最大高度为2.75m。
解法2：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{max}&=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-7 -4}{-4}\\&=\frac{11}{4}=2.75\end{aligned}$
即水流喷出的最大高度为2.75m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是将求最大高度的实际问题转化为求二次函数最大值的数学问题，熟练掌握二次函数的性质和顶点求解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，小明以40 m/s的速度将小球沿与地面成$30°$角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度$h$（单位：m）与飞行时间$t$（单位：s）之间具有函数关系$h=20t -5t^2$。下列说法正确的是（）。
A.小球的飞行高度不能达到15 m
B.小球的飞行高度可以达到25 m
C.小球从飞出到落地要用时4 s
D.小球飞出1 s时的飞行高度为10 m
A.小球的飞行高度不能达到15 m
B.小球的飞行高度可以达到25 m
C.小球从飞出到落地要用时4 s
D.小球飞出1 s时的飞行高度为10 m
答案：C
解析：
【分析】
这道题是二次函数在实际抛体问题中的应用，解题时可根据问题类型分别处理：①判断能否达到某一高度，可将该高度代入函数，看所得方程是否有正的时间解；②求最大高度，可通过配方法求二次函数的最大值；③求落地时间，令高度$h=0$，解出不为0的正时间解即可；④求某时刻的高度，直接将时间代入函数计算即可，逐个验证选项即可得到正确答案。
【解析】
已知飞行高度与时间的函数关系为$h = 20t - 5t^2=-5t^2+20t$，逐一分析选项：
1. 验证A选项：令$h=15$，代入得$15=20t-5t^2$，整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解得$(t-1)(t-3)=0$，解得$t_1=1$、$t_2=3$，均为有效时间，说明小球可以达到15m高度，A错误。
2. 验证B选项：对函数配方求最值：$h=-5t^2+20t=-5(t-2)^2+20$，二次项系数$-5＜0$，函数开口向下，最大高度为20m，无法达到25m，B错误。
3. 验证C选项：小球落地时$h=0$，令$h=0$得$0=20t-5t^2$，提取公因式得$5t(4-t)=0$，解得$t_1=0$（为小球刚击出的时刻，舍去），$t_2=4$，即小球从飞出到落地用时4s，C正确。
4. 验证D选项：将$t=1$代入函数得$h=20×1 -5×1^2=15m$，不是10m，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、解一元二次方程
【点评】
本题结合抛球的生活情境考查二次函数的相关性质，解题时需要将实际问题转化为二次函数的对应问题求解，掌握二次函数的基本性质和一元二次方程的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这道题是二次函数在实际抛体问题中的应用，解题时可根据问题类型分别处理：①判断能否达到某一高度，可将该高度代入函数，看所得方程是否有正的时间解；②求最大高度，可通过配方法求二次函数的最大值；③求落地时间，令高度$h=0$，解出不为0的正时间解即可；④求某时刻的高度，直接将时间代入函数计算即可，逐个验证选项即可得到正确答案。
【解析】
已知飞行高度与时间的函数关系为$h = 20t - 5t^2=-5t^2+20t$，逐一分析选项：
1. 验证A选项：令$h=15$，代入得$15=20t-5t^2$，整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解得$(t-1)(t-3)=0$，解得$t_1=1$、$t_2=3$，均为有效时间，说明小球可以达到15m高度，A错误。
2. 验证B选项：对函数配方求最值：$h=-5t^2+20t=-5(t-2)^2+20$，二次项系数$-5＜0$，函数开口向下，最大高度为20m，无法达到25m，B错误。
3. 验证C选项：小球落地时$h=0$，令$h=0$得$0=20t-5t^2$，提取公因式得$5t(4-t)=0$，解得$t_1=0$（为小球刚击出的时刻，舍去），$t_2=4$，即小球从飞出到落地用时4s，C正确。
4. 验证D选项：将$t=1$代入函数得$h=20×1 -5×1^2=15m$，不是10m，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、解一元二次方程
【点评】
本题结合抛球的生活情境考查二次函数的相关性质，解题时需要将实际问题转化为二次函数的对应问题求解，掌握二次函数的基本性质和一元二次方程的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.7