4. 如图所示是一个抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m. 当水面下降1 m时，水面宽度为. 
答案：解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意得，水面宽4m、拱顶离水面2m时，抛物线上对应点的坐标为$(2, -2)$。
将$(2, -2)$代入解析式：
$-2 = a · 2^2$，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $。
当水面下降1m时，水面的纵坐标为 $ y = -3 $，
将$ y=-3 $代入解析式：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$，
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $，
此时水面宽度为 $ \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
答：当水面下降1 m时，水面宽度为$ 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意得，水面宽4m、拱顶离水面2m时，抛物线上对应点的坐标为$(2, -2)$。
将$(2, -2)$代入解析式：
$-2 = a · 2^2$，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $。
当水面下降1m时，水面的纵坐标为 $ y = -3 $，
将$ y=-3 $代入解析式：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$，
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $，
此时水面宽度为 $ \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
答：当水面下降1 m时，水面宽度为$ 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
解析：
【分析】
这是抛物线的实际应用问题，解题核心是通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解。为简化计算，我们选取拱顶为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$（$a≠0$）；再结合已知的水面宽度和拱顶到水面的距离，得到抛物线上的已知点坐标，代入求出待定系数$a$，确定抛物线解析式；最后根据水面下降1m的条件，得到此时水面对应的纵坐标，代入解析式求出横坐标，两个横坐标的差就是此时的水面宽度。
【解析】
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意可知，当拱顶离水面2m、水面宽4m时，抛物线上对应点的坐标为$(2, -2)$。
将$(2, -2)$代入解析式得：
$-2 = a · 2^2$
解得 $ a = -\frac{1}{2} $
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $。
当水面下降1m时，水面的纵坐标为 $ y = -2 -1 = -3 $，
将$ y=-3 $代入解析式得：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $
此时水面宽度为 $ \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
【答案】
$2\sqrt{6} \, \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系，将实际场景中的长度关系转化为二次函数上的点坐标关系，再通过函数运算求解，重点考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
这是抛物线的实际应用问题，解题核心是通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解。为简化计算，我们选取拱顶为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$（$a≠0$）；再结合已知的水面宽度和拱顶到水面的距离，得到抛物线上的已知点坐标，代入求出待定系数$a$，确定抛物线解析式；最后根据水面下降1m的条件，得到此时水面对应的纵坐标，代入解析式求出横坐标，两个横坐标的差就是此时的水面宽度。
【解析】
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意可知，当拱顶离水面2m、水面宽4m时，抛物线上对应点的坐标为$(2, -2)$。
将$(2, -2)$代入解析式得：
$-2 = a · 2^2$
解得 $ a = -\frac{1}{2} $
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $。
当水面下降1m时，水面的纵坐标为 $ y = -2 -1 = -3 $，
将$ y=-3 $代入解析式得：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $
此时水面宽度为 $ \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
【答案】
$2\sqrt{6} \, \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系，将实际场景中的长度关系转化为二次函数上的点坐标关系，再通过函数运算求解，重点考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，一个小孩将一个皮球从A处抛出去，皮球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球到达的最高点为B(8，9)，则这个二次函数的解析式为，小孩将皮球抛出了约 m（精确到0.1 m）。
答案：解：
设该二次函数的解析式为$y=a(x-8)^2+9$。
由题意知$OA=1$，点A在y轴上，得$A(0,1)$。
将$A(0,1)$代入解析式：
$1=a·(0-8)^2+9$
解得$a=-\frac{1}{8}$，
展开整理得二次函数解析式为：
$y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$
令$y=0$，得方程$-\frac{1}{8}x^2+2x+1=0$，
两边同乘$-8$整理得：$x^2-16x-8=0$，
由求根公式解得$x_1=8+6\sqrt{2}$，$x_2=8-6\sqrt{2}$（不符合实际意义，舍去），
计算得$x=8+6\sqrt{2}\approx16.5$。
答：这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$，小孩将皮球抛出了约16.5 m。
设该二次函数的解析式为$y=a(x-8)^2+9$。
由题意知$OA=1$，点A在y轴上，得$A(0,1)$。
将$A(0,1)$代入解析式：
$1=a·(0-8)^2+9$
解得$a=-\frac{1}{8}$，
展开整理得二次函数解析式为：
$y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$
令$y=0$，得方程$-\frac{1}{8}x^2+2x+1=0$，
两边同乘$-8$整理得：$x^2-16x-8=0$，
由求根公式解得$x_1=8+6\sqrt{2}$，$x_2=8-6\sqrt{2}$（不符合实际意义，舍去），
计算得$x=8+6\sqrt{2}\approx16.5$。
答：这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$，小孩将皮球抛出了约16.5 m。
解析：
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：①已知二次函数的顶点坐标(8,9)，为简化计算，优先选用顶点式设函数解析式；②根据出手处A距地面高度OA=1，且A在y轴上，得到A点坐标为(0,1)，将其代入所设顶点式即可求出待定系数a，进而整理得到二次函数解析式；③求抛出距离即求皮球落地时的水平距离，令y=0解一元二次方程，结合实际意义舍去不符合要求的负根，计算正根的近似值即为所求抛出距离。
【解析】
解：设该二次函数的解析式为$y=a(x-8)^2+9$（$a≠0$）。
由题意知$OA=1$，点A在y轴正半轴上，因此A点坐标为$(0,1)$。
将$A(0,1)$代入解析式得：
$1=a·(0-8)^2+9$
解得$a=-\frac{1}{8}$。
将解析式展开整理得：
$y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$。
求抛出距离即求皮球落地（$y=0$）时的水平x值，令$y=0$，得方程：
$-\frac{1}{8}x^2+2x+1=0$
两边同乘$-8$整理得：$x^2-16x-8=0$。
由一元二次方程求根公式解得$x_1=8+6\sqrt{2}$，$x_2=8-6\sqrt{2}$，其中$x_2＜0$不符合实际意义，舍去。
计算近似值得$x=8+6\sqrt{2}\approx8+6×1.414\approx16.5$。
【答案】
$y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$；16.5
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题的关键是结合已知条件选择顶点式设解析式降低计算量，最后求解时要注意结合实际问题的意义对根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：①已知二次函数的顶点坐标(8,9)，为简化计算，优先选用顶点式设函数解析式；②根据出手处A距地面高度OA=1，且A在y轴上，得到A点坐标为(0,1)，将其代入所设顶点式即可求出待定系数a，进而整理得到二次函数解析式；③求抛出距离即求皮球落地时的水平距离，令y=0解一元二次方程，结合实际意义舍去不符合要求的负根，计算正根的近似值即为所求抛出距离。
【解析】
解：设该二次函数的解析式为$y=a(x-8)^2+9$（$a≠0$）。
由题意知$OA=1$，点A在y轴正半轴上，因此A点坐标为$(0,1)$。
将$A(0,1)$代入解析式得：
$1=a·(0-8)^2+9$
解得$a=-\frac{1}{8}$。
将解析式展开整理得：
$y=-\frac{1}{8}(x-8)^2+9=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$。
求抛出距离即求皮球落地（$y=0$）时的水平x值，令$y=0$，得方程：
$-\frac{1}{8}x^2+2x+1=0$
两边同乘$-8$整理得：$x^2-16x-8=0$。
由一元二次方程求根公式解得$x_1=8+6\sqrt{2}$，$x_2=8-6\sqrt{2}$，其中$x_2＜0$不符合实际意义，舍去。
计算近似值得$x=8+6\sqrt{2}\approx8+6×1.414\approx16.5$。
【答案】
$y=-\frac{1}{8}x^2+2x+1$；16.5
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题的关键是结合已知条件选择顶点式设解析式降低计算量，最后求解时要注意结合实际问题的意义对根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
6. 某大桥桥拱的形状可以用抛物线的一部分表示，函数解析式为$y=-\dfrac{1}{18}x^2$。当水面宽度为12 m时，求水面与桥拱顶之间的距离。
答案：解：
由题意，水面宽度为12 m，抛物线$y=-\dfrac{1}{18}x^2$的对称轴为y轴，
可得水面两侧端点的横坐标分别为$x=-6$和$x=6$。
将$x=6$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{18}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{18}× 6^2 = -2$。
桥拱顶位于坐标原点$(0,0)$，因此水面与桥拱顶之间的距离为$|-2|=2\ \mathrm{m}$。
答：水面与桥拱顶之间的距离为2 m。
由题意，水面宽度为12 m，抛物线$y=-\dfrac{1}{18}x^2$的对称轴为y轴，
可得水面两侧端点的横坐标分别为$x=-6$和$x=6$。
将$x=6$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{18}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{18}× 6^2 = -2$。
桥拱顶位于坐标原点$(0,0)$，因此水面与桥拱顶之间的距离为$|-2|=2\ \mathrm{m}$。
答：水面与桥拱顶之间的距离为2 m。
解析：
【分析】
本题是二次函数在实际拱桥场景的应用，解题思路如下：1. 首先明确给定抛物线的性质：$y=-\dfrac{1}{18}x^2$的对称轴为y轴，桥拱顶恰好位于坐标原点$(0,0)$；2. 结合水面宽度为12m的条件，根据抛物线的对称性可知，水面两端点到y轴的距离相等，因此两端点的横坐标分别为$-6$和$6$；3. 将横坐标代入函数解析式求出对应纵坐标，由于纵坐标为负，取其绝对值即为水面与桥拱顶的距离（距离为非负数）。
【解析】
解：由题意，抛物线$y=-\dfrac{1}{18}x^2$的对称轴为y轴，桥拱顶位于坐标原点$(0,0)$。
已知水面宽度为12 m，根据抛物线的对称性，可得水面两侧端点的横坐标分别为$x=-6$和$x=6$。
将$x=6$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{18}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{18}× 6^2 = -\dfrac{1}{18}×36 = -2$
水面与桥拱顶之间的距离为纵坐标的绝对值，即$|-2|=2\ \mathrm{m}$。
答：水面与桥拱顶之间的距离为2 m。
【答案】
2 m
【知识点】
二次函数的应用；抛物线的对称性；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，解题核心是利用抛物线的对称性确定水面端点的坐标，代入解析式计算后要注意结合实际意义，对负的计算结果取绝对值得到距离。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际拱桥场景的应用，解题思路如下：1. 首先明确给定抛物线的性质：$y=-\dfrac{1}{18}x^2$的对称轴为y轴，桥拱顶恰好位于坐标原点$(0,0)$；2. 结合水面宽度为12m的条件，根据抛物线的对称性可知，水面两端点到y轴的距离相等，因此两端点的横坐标分别为$-6$和$6$；3. 将横坐标代入函数解析式求出对应纵坐标，由于纵坐标为负，取其绝对值即为水面与桥拱顶的距离（距离为非负数）。
【解析】
解：由题意，抛物线$y=-\dfrac{1}{18}x^2$的对称轴为y轴，桥拱顶位于坐标原点$(0,0)$。
已知水面宽度为12 m，根据抛物线的对称性，可得水面两侧端点的横坐标分别为$x=-6$和$x=6$。
将$x=6$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{18}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{18}× 6^2 = -\dfrac{1}{18}×36 = -2$
水面与桥拱顶之间的距离为纵坐标的绝对值，即$|-2|=2\ \mathrm{m}$。
答：水面与桥拱顶之间的距离为2 m。
【答案】
2 m
【知识点】
二次函数的应用；抛物线的对称性；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，解题核心是利用抛物线的对称性确定水面端点的坐标，代入解析式计算后要注意结合实际意义，对负的计算结果取绝对值得到距离。
【难度系数】
0.8